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2013年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷(理科)(新课标Ⅱ卷)


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2013 年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷(理科) (新课标Ⅱ卷)
一、 选择题:本大题共 10 小题.每小题 5 分,共 50 分.在每个小题给出的四个选项

中, 只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 M ? x ? x ? 1? ? 4, x ? R? , N ? ?1,0,1,2,3? ,则 M ? N ? (
2

?

?



? C. ??1,0,2,3?
A. 0,1, 2? A. ? 1 ? i B. ? 1 ? i C. 1 ? i D. 1 ? i

B. ?????????

? D. ?0,1,2,3?

2.设复数 z 满足 ?1 ? i ? z ? 2i ,则 z ? (



3.等比数列 an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 S3 ? a2 ? 10a1 , a5 ? 9 ,则 a1 ? ( A.

?



1 3

B. ?

1 3

C.

1 9

D. ?

1 9

l ? ?,l ? ? , 4. 已知 m ,n 为异面直线,m ? 平面 α,n ? 平面 ? . 直线 l 满足 l ? m , l⊥ n,
则( )

A.α∥ β 且 l∥ α B.α⊥ β 且 l⊥ β C.α 与 β 相交,且交线垂直于 l D.α 与 β 相交,且交线平行于 l 5.已知(1+ɑ x)(1+x)5 的展开式中 x2 的系数为 5,则 a ? ( A. ? 4 B. ? 3 C. ?2 D. ? 1 ) )

6.执行下面的程序框图,如果输入的 N=10,那么输出的 S=(

1

A. 1 ? B. 1 ? C. 1 ? D. 1 ?

1 1 1 ? ?? ? 2 3 10 1 1 1 ? ?? ? 2! 3! 10! 1 1 1 ? ?? ? 2 3 11 1 1 1 ? ?? ? 2! 3! 11!

7.一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O ? xyz 中的坐标分别是(1,0,1) , (1,1,0) , (0,1,1) , (0,0,0) ,画该四面体三视图中的正视图时,以 zOx 平面为投影面,则得到 正视图可以为( )

A.

B.

2

C.

D.

8.设 a ? log3 6, b ? log5 10, c ? log7 14 ,则( A.c>b>a B.b>c>a C.a>c>b D.a>b>c



? x ? 1, ? 9.已知 a>0,x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 3, 若 z=2x+y 的最小值为 1,则 a ? ( ?y ? a x ?3 , ? ? ?
A.



1 4 1 2

B.

C.1 D.2 10.已知函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? c ,下列结论中错误的是(
3 2



A. ?x0 ? R, f( x0 ) ? 0 B.函数 y ? f ( x) 的图象是中心对称图形 C.若 x0 是 f ( x ) 的极小值点,则 f ( x ) 在区间 ? ??, x0 ? 单调递减 D.若 x0 是 f ( x ) 的极值点,则 f ' ? x0 ? ? 0 11.设抛物线 y ? 3 px ? p ? 0? 的焦点为 F ,点 M 在 C 上, MF ? 5 ,若以 MF 为直径的
2

(0, 2) 圆过点 ,则 C 的方程为(
A. y ? 4 x 或 y ? 8 x
2 2



B. y ? 2 x 或 y ? 8 x
2 2

3

C. y 2 ? 4 x 或 y 2 ? 16 x D. y 2 ? 2 x 或 y 2 ? 16 x 12.已知点 A ,直线 y ? ax ? b ? a ? 0? 将△ ABC 分割为面积相等 (? 1,0),B ( 1,0),C (0,1 ) 的两部分,则 b 的取值范围是( A. (0,1) B. ? 1 ? )

? ? ?

2 1? , ? 2 2? ? 2 1? , 2 3? ?

C. ? 1 ?

? ? ?

D. ? ,

?1 1 ? ? ?3 2 ?
??? ? ??? ?

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.已知正方形 ABCD 的边长为 2,E 为 CD 的中点,则 AE ? BD =_______. 14.从 n 个正整数 1,2,…,n 中任意取出两个不同的数,若取出的两数之和等于 5 的概率 为

1 ,则 n ? ________. 14

15.设 θ 为第二象限角,若 tan ? ? ?

? ?

?? 1 ? ? ,则 sin ? ? cos ? =_________. 4? 2

16. 等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , 已知 S10 ? 0 ,S15 ? ?? , 则 nS n 的最小值为________. 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分)

△ ABC 在内角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c ,已知 a ? b cos C ? c sin B .
(Ⅰ )求 B; (Ⅱ )若 b ? 2 ,求 △ ABC 面积的最大值. 18.如图,直棱柱 ABC ? A1B1C1 中,D,E 分别是 AB ,BB1 的中点,

AA1 ? AC ? CB ?

2 AB . 2

4

(Ⅰ )证明: BC1 / / 平面 ACD ; 1 (Ⅱ )求二面角 D ? AC 1 ? E 的正弦值. 19.(本小题满分 12 分) 经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出 1t 该产品获利润 500 元,未售出的产 品,每 1t 亏损 300 元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如 下图所示.经销商为下一个销售季度购进了 130t 该农产品.以 x(单位:t,100≤x≤150)表 示下一个销售季度内经销该农产品的利润.

(Ⅰ )将 T 表示为 x 的函数; (Ⅱ )根据直方图估计利润 T,不少于 57000 元的概率; (Ⅲ )在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值,需求量落入该区 间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如:若 x ??100,110? ),则取 x=105,且 x=105 的概率等于需求量落入 ?100,110? 的利润 T 的数学期望. 20.(本小题满分 12 分) 平面直角坐标系 xOy 中,过椭圆 M:

x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0)右焦点的直线 x ? y ? 3 ? 0 交 M a 2 b2
1 . 2

于 A,B 两点,P 为 AB 的中点,且 OP 的斜率为 (Ⅰ)求 M 的方程;

(Ⅱ )C,D 为 M 上的两点,若四边形 ACBD 的对角线 CD⊥ AB,求四边形 ACBD 面积的最

5

大值. 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? ex ? ln ? x ? m? . (Ⅰ)设 x ? 0 是 f ? x ? 的极值点,求 m ,并讨论 f ? x ? 的单调性; (Ⅱ )当 m ? 2 时,证明 f ? x ? ? 0 . 请考生在第 22、23、24 题中任选择一题作答,如果多做,则按所做的第一部分,做答时请 写清题号. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1 几何证明选讲

如图,CD 为 △ ABC 外接圆的切线,AB 的延长线交直线 CD 于点 D,E、F 分别为弦 AB 与弦 AC 上的点,且 BC ? AE ? DC ? AF , B、E、F、C 四点共圆. (1)证明: CA 是 △ ABC 外接圆的直径;

B ? B E E A? (2) 若D

, 求过 B、E、F、C 四点的圆的面积与 △ ABC 外接圆面积的比值.

23. (本小题满分 10 分)选修 4—4;坐标系与参数方程 已知动点 P,Q 都在曲线 C : ?

? x ? 2cos ? ? y ? 2sin ?

? ? 为参数? 上,对应参数分别为 ? ? ? ,

与 ? ? 2?(0<?<2?) , M 为 PQ 的中点. (Ⅰ )求 M 的轨迹的参数方程; (Ⅱ )将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 a 的函数,并判断 M 的轨迹是否过坐标原点. 24. (本小题满分 10 分)选修 4—5;不等式选讲 设 a,b,c 均为正数,且 a ? b ? c ? 1 ,证明: (Ⅰ ) ab ? bc ? ca ?

1 3

a 2 b2 c2 ? ? ?1 (Ⅱ ) b c a

6

2013 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试卷 (新课标Ⅱ卷)参考答案
一、选择题 1.答案:A 解题思路:求出集合 M 中不等式的解集,确定出 M ,找出 M 与 N 的公共元素,即可 确定出两集合的交集. 2.答案:A 解题思路: 根据所给的等式两边同时除以 1 ? i , 得到 z 的表示式, 进行复数的除法运算, 分子和分母同乘以分母的共轭复数,整理成最简形式,得到结果. 3.答案:C 解题思路:设等比数列 an ? 的公比为 q ,利用已知和等比数列的通项公式即可得到

?

a1 ? a1q ? a1q2 ? a1q ? 10a1 , a1q4 ? 9 ,解出即可.
4.答案:D 解题思路:由题目给出的已知条件,结合线面平行,线面垂直的判定与性质,可以直接 得到正确的结论 5.答案:D
2 1 解题思路: 由展开式中的通项可得展开式中 x2 的系数为 C5 由此解得 a 的值. +aC5 ? 5,

6.答案:B 解题思路:从赋值框给出的两个变量的值开始,逐渐分析写出程序运行的每一步,便可 得到程序框图表示的算法的功能. 7.答案:A 解题思路:由题意画出几何体的直观图,然后判断以 zOx 平面为投影面,则得到正视图 即可. 8.答案:D 解题思路: 利用 loga xy ? loga x ? loga y ? x, y ? 0? , 化简 a, b, c 然后比较 log32, log52, log72 大小即可. 9.答案:B 解题思路:先根据约束条件画出可行域,设 z ? 2 x ? y ,再利用 z 的几何意义求最值, 只需求出直线 z ? 2 x ? y 过可行域内的点 B 时,从而得到 a 值即可. 10.答案:C 解题思路:利用导数的运算法则得出 f '( x) ,分△? 0 与△? 0 讨论,列出表格,即可 得出.
7

11.答案:C 解题思路:根据抛物线方程算出 OF ?

3 (0, 2) p ,设以 MF 为直径的圆过点 A ,在 4

Rt△ AOF 中利用勾股定理算出|AF|= 4 ?

9 p2 .再由直线 AO 与以 MF 为直径的圆相切得到 16

∠ OAF=∠ AMF,Rt△ AMF 中利用∠ AMF 的正弦建立关系式,从而得到关于 p 的方程,解之 得到实数 p 的值,进而得到抛物线 C 的方程. 12.答案:B

(? 解题思路:先求得直线 y ? ax ? ( 与 x 轴的交点为 M b a>0)

b b , 0) ,由 ? ? 0 可得 a a 1 ; 3

点 M 在射线 OA 上.求出直线和 BC 的交点 N 的坐标,① 若点 M 和点 A 重合,求得 b=

② 若点 M 在点 O 和点 A 之间,求得 b< 合所给的选项,综合可得结论.

1 2 ;③ 若点 M 在点 A 的左侧,求得 b> 1 ? .结 2 2

二、填空题 13.答案:2 解题思路:建立平面直角坐标系,将所需要向量用坐标表示出来,利用数量积计算. 14.答案:8 解题思路:n 个正整数 1,2,…,n 中任意取出两个不同的数 Cn ?
2

n(n ? 1) ,两正整 2

数之和等于 5 只有 1+4=5 和 2+3=5 两种情况,然后代入古典概率的计算公式即可. 15.答案: ?

10 5

解题思路: 已知等式利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简, 求出 tanθ 的值,再根据 θ 为第二象限角,利用同角三角函数间的基本关系求出 sinθ 与 cosθ 的值, 即可求出 sin ? ? cos ? 的值. 16.答案: ?49 解题思路: 由等差数列的前 n 项和公式化简已知两等式, 联立求出首项 a 与公差 d 的值, 利用数列的前 n 项和公式写出 Sn ,求 nS n 的最小值就转化为了三次函数求最值问题.

三.解答题 17.答案: (Ⅰ ) B ? 45 ; (Ⅱ ) 2 ?1
?

8

解题思路: (Ⅰ )已知等式利用正弦定理化简,再利用两角和与差的正弦函数公式及诱 导公式变形,求出 tan B 的值,由 B 为三角形的内角,利用特殊角的三角函数值即可求出 B 的度数; (Ⅱ )利用三角形的面积公式表示出三角形 ABC 的面积,把 sinB 的值代入,得到三 角形面积最大即为 ac 最大, 利用余弦定理列出关系式, 再利用基本不等式求出 ac 的最大值, 即可得到面积的最大值. 解答过程: 解: (Ⅰ )因为 a ? b cos C ? c sin B ,所以

sin A ? sin ? B ? C ? ? sin B cos C ? sin C sin B ,
sin B cos C ? cos B sin C ? sin B cos C ? sin C sin B .
? 因为 sin C ? 0 ,所以有 cos B ? sin B ,从而 B ? 45 .

(Ⅱ )由余弦定理可知:

b2 ? a2 ? c2 ? 2ac cos 45? ? 2ac ? 2ac ,
所以有 ac ? 2(2 ? 2 ) ,当且仅当 a ? c 取等号,

1 1 2 S ? ac sin B ? ? 2(2 ? 2) ? ? 2 ? 1. 2 2 2
故 △ ABC 面积的最大值为 2 ? 1 .

6 18.答案: (Ⅰ )见解答过程; (Ⅱ ) 3
解题思路: (Ⅰ )通过证明 BC1 平行平面 A1CD 内的直线 DF,利用直线与平面平行的判 定定理证明 BC1∥ 平面 A1CD; (Ⅱ )证明 DE ? 平面 A 1 DC ,作出二面角 D ? AC 1 ? E 的平 面角, 然后求解二面角平面角的正弦值即可. 也建立空间直角坐标系, 可分别求出平面 ACD 1 和平面 ACE 的法向量,利用法向量夹角的正弦值来计算. 1 解答过程:

F ,则 F 平分 AC1 ,又因为 D 为 AB 的中点,所以 (Ⅰ )证明:连接 AC1 交 AC 1 于点
有 FD / / BC1 , FD ? 面 ACD , BC1 ? 面 ACD ,所以 BC1 / / 平面 ACD . 1 1 1

9

(Ⅱ )法一:由 AC ? CB ?

2 AB ,从而有 AC 2 ? CB2 ? AB2 ,得 AC ? BC . 2

以 C 为坐标原点, CA 的方向为 x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系 C ? xyz .

??? ?

设 CA = 2 ,则

???? ??? ? ??? ? D(1,1,0), E(0, 2,1), A1 (2,0, 2) , CD ? (1,1,0), CE ? (0, 2,1), CA1 ? (2,0, 2) .
设 n ? ( x1 , y1 , z1 ) 是平面 A1CD 的法向量,则 ?

? ?n ? CD ? 0, ? ?n ? CA1 ? 0,

即?

? x1 ? y1 ? 0, 可取 ?2 x1 ? 2 z1 ? 0.

n ? (1,?1,?1) .
同理,设 m 是平面 A1CE 的法向量,则 ?

? ?m ? CE ? 0, ? ?m ? CA1 ? 0.

可取 m ? (2,1,?2) .从而

cos ? n, m ??
6 . 3

n?m 3 6 ,故 sin ? n, m ?? .即二面角 D ? A1C ? E 的正弦值为 ? | n || m | 3 3

法二:(Ⅱ )因为直棱柱 ABC-A1B1C1,所以 AA1⊥ CD,由已知 AC=CB,D 为 AB 的中点, 所以 CD⊥ AB,又 AA1∩AB=A,于是,CD⊥ 平面 ABB1A1,设 AB=2 2 ,则 AA1=AC=CB=2, 得∠ ACB=90° ,CD= 2 ,A1D= 6 ,DE= 3 ,A1E=3,故 A1D2+DE2=A1E2,即 DE⊥ A1D, 所以 DE⊥ 平面 A1DC,又 A1C=2 2 ,过 D 作 DF⊥ A1C 于 F,∠ DFE 为二面角 D-A1C-E 的平 面角,在△ A1DC 中,DF=

A1 D ? DC 6 3 2 2 2 = ,EF= DE ? DF ? . 2 2 A1C DE 6 ? . EF 3

所以二面角 D-A1C-E 的正弦值 sin∠ DFE=

19.解题思路: (I)由题意先分段写出,当 x∈ [100,130)时,当 x∈ [130,150)时, 和利润值,最后利用分段函数的形式进行综合即可; (II)由(I)知,利润 T 不少于 57000

10

元,当且仅当 120≤x≤150.再由直方图知需求量 x∈ [120,150]的频率为 0.7 ,利用样本估计 总体的方法得出下一个销售季度的利润 T 不少于 57000 元的概率的估计值. (III)利用利润 T 的数学期望=各组的区间中点值× 该区间的频率之和即得. 解答过程: 解: (1)当 100 ? x ? 130 时, T ? 500x ? 300 ? ?130 ? x ? ? 800x ? 39000 , 当 130 ? x ? 150 时, T ? 65000 . 所以 T 与 x 的函数关系式为 T ? ?

? ?800 x ? 39000 ?100 ? x ? 130 ? . ? ?65000 ?130 ? x ? 150 ?

(2)当 800 x ? 39000 ? 57000 时,即 x ? 120 时,概率 p ? 0.7 . (3) x 可能的取值为:

ET ? 45000 ? 0.1 ? 53000 ? 0.2 ? 61000 ? 0.3 ? 65000 ? 0.25 ? 65000 ? 0.15 ? 59400 .
20.答案: (Ⅰ)

x2 y2 8 6 (Ⅱ ) ? ? 1; 6 3 3

解题思路: (I) 把右焦点 ? c, 0 ? 代入直线可解得 c . 设 Ax , 线段 AB ( 1, y 1 ),( Bx 2y , 2 ) 的中点 P ,利用“点差法”即可得到 a, b 的关系式,再与 a ? b ? c 联立即可得到 (x0,y0)
2 2 2

a,b,c .(II)由 CD ? AB ,可设直线 CD 的方程为 y ? x ? m ,与椭圆的方程联立得到
根与系数的关系,即可得到弦长 CD .把直线 x ? y ? 3 ? 0 与椭圆的方程联立得到根与系 数的关系,即可得到弦长 AB ,利用 S ACBD ? 二次函数的单调性即可得到其最大值. 解答过程: 解: (1)设 A 将 A、B 代入得到 (x1,y1),( B x2,y2),P (x0,y0) ,

1 CD ? AB 即可得到关于 t 的表达式,利用 2

? ? ? ? ? ? ?

x12 y12 ? ? 1 (1 ) y2 ? y1 b2 x0 a2 b2 () 1 ? ( 2 ) ? ? ? , ,则 得到 x1 ? x2 a2 y0 x22 y22 ? 2 ? 1(2 ) a2 b

由直线 AB : x ? y ? 3 ? 0 的斜率 k ? ?1 ,所以 ?

x 1 b 2 x0 ? ? ? 1 , OP 的斜率为 0 ? , 2 y0 2 a y0

11

2 2 2 所以 a2 ? 2b2 ,由 a 得到 a2 ? 6,b2 ?3, ?b ?c

所以 M 得标准方程为

x2 y2 ? ? 1. 6 3
1 CD ? AB 可知, 当 CD 2

(2)若四边形 ABCD 的对角线 CD ? AB , 由面积公式 S ?

最长时四边形 ABCD 面积最大,由直线 AB : x ? y ? 3 ? 0 的斜率 k ? ?1 ,设 CD 直线 方程为 y ? x ? m ,与椭圆方程

x2 y2 ? ? 1 联立得: 3x 2 ? 4mx? 2m2 ? 6 ? 0 , 6 3

x1 ? x2 ? ?

4m 2m 2 ? 6 , x1 ? x2 ? 3 3 ,
2

CD ? 1 ? kCD

( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 ? x2 ? 2 ?

72 ? 8m2 9 ,

x2 y2 x ? y ? 3 ? 0与椭圆方程 6 ? 3 ? 1 (3)当 m ? 0 时 CD 最大值为 4, 联立直线 AB:
2 得 3x ? 4 3x ? 0 ,同理利用弦长公式 AB ? 1 ? k AB
2

( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 ? x2 ?

4 6 3

S ACBDmax ?

1 8 6 . CD max ? AB ? 2 3

( ? 1, 0) (0, ? ?) f x) 21.答案: (Ⅰ) ( 在 上为减函数;在 上为增函数; (Ⅱ )证明见解答过


f x) 解题思路: (Ⅰ )求出原函数的导函数,因为 x ? 0 是函数 ( 的极值点,由极值点处
的导数等于 0 求出 m 的值,代入函数解析式后再由导函数大于 0 和小于 0 求出原函数的单

f x)>0 , f x)>0 . 调区间; (Ⅱ ) 证明当 m ? 2 时,( 转化为证明当 m ? 2 时 ( 求出当 m ? 2
( ? 2, ? ?) ( ? 1, 0) 时函数的导函数,可知导函数在 上为增函数,并进一步得到导函数在 上
有唯一零点 x0 , 则当 x ? x0 时函数取得最小值, 借助于 x0 是导函数的零点证出 ( f x0)>0 , 从而结论得证. 解答过程: 解: (1) f ' ? x ? ? e ?
x

1 ,因为 x ? 0 是极值点,所以 f ' ? 0? ? 0 , x?m

即: e ?
0

? x ? 1? e x ? 1 x ? ?1 . 1 1 ? 0 ? m ? 1, f ' ? x ? ? ex ? ? ? ? m x ?1 x ?1
x x x

( ? 1, ? ?) g x) 设( 在 上为增函数, g x) ?e (x ? 1 ) ?1 ,则 g( ' x) ?e (x ?1 ) ?e > 0 ,所以 (

g x)>0 ,即 f ( ' x)>0 ;当 ?1<x<0 时, ( g x)<0 , g 0) ? 0 ,所以当 x>0 时, ( 又∵(
12

( ? 1, 0) (0, ? ?) 在 上为减函数;在 上为增函数. f( ' x)<0 .所以 ( f x) (? m, ? ?) (x ? m) ? ln (x ? 2) (Ⅱ )证明:当 m ? 2 , x ? 时,ln ,故只需证明当 m ? 2 时

( f x)>0 .当 m ? 2 时,函数 f '( x) ? e x ?

1 ( ? 2, ? ?) 在 上为增函数,且 x?2

( ? 2, ? ?) 故 f( 上有唯一实数根 x0 , . 当 f( ' ?1 )<0,f ( ' 0)>0 . ' x) ? 0在 x0 ? (?1 , 0)

' x)<0 ,当 x ? ' x)>0 ,从而当 x ? x0 时, ( f x) 时, f ( 时, f ( x? (? 2,x0) (x0, ? ?)
取得最小值.由 f ( ' x0) ? 0 ,得 e
x0

?

1 , ln( x0 ? 2) ? ? x0 . x0 ? 2

( x0 ? 1)2 1 故( f x)>0 . f x) ? f ? x0 ? ? ? x0 ? ? 0 .综上,当 m ? 2 时, ( x0 ? 2 x0 ? 2
22.答案: (1)证明见解答过程; (2) 解题思路: (1) 已知 CD 为 △ ABC 外接圆的切线, 利用弦切角定理可得 ?DCB ? ?A , 及 BC ? AE ? DC ? AF ,可知 △CDB∽△ AEF ,于是 ?CBD ? ?AFE .利用

B、E、F、C 四点共圆,可得 ?CFE ? ?DBC ,进而得到 ?CFE ? ?AFE ? 90? ,即可
证明 CA 是 △ ABC 外接圆的直径; (2)要求过 B、E、F、C 四点的圆的面积与 △ ABC 外 接圆面积的比值.只需求出其外接圆的直径的平方之比即可.由过 B、E、F、C 四点的圆
2 的直径为 CE ,及 DB ? BE ,可得 CE ? DC ,利用切割线定理可得 DC ? DB ? DA ,

CA2 ? CB 2 ? BA2 ,都用 DB 表示即可.
解答过程: 解: (Ⅰ ) 因为 CD 为 △ ABC 外接圆的切线, 所以 ?DCB=?A , 由题设知

BC DC ? , FA EA

故 △CDB∽△ AEF ,所以 ?DBC=?EFA .因为 B,E,F,C 四点共圆,所以

?CFE =?DBC ,故 ?EFA=?CFE=90? .所以 ?CBA=90? ,因此 CA 是 △ ABC 外
接圆的直径. (Ⅱ )连结 CE ,因为 ?CBE=90? ,所以过 B,E,F,C 四点的圆的直径为 CE ,由

DB=BE ,有 CE=DC ,又 BC 2 ? DB ? BA ? 2DB 2 ,所以:

CA2 ? 4DE 2 ? BC 2 ? 6DB2 .

13

而 DC 2 ? DB ? DA ? 3DB 2 ,故过 B,E,F,C 四点的圆的面积与 △ ABC 外接圆面积的 比值为

1 . 2

? x ? cos? ? cos2? , ? y ? sin ? ? sin 2? , ( ? 为参数, 0 ? ? ? 2? );(Ⅱ 23.答案:(Ⅰ )? )
d ? x 2 ? y 2 ? 2 ? 2 cos ? (0 ? ? ? 2?)
,过坐标原点

(2 cos ?, 2sin ?) 解题思路:(I)根据题意写出 P,Q 两点的坐标: P ,

Q (2cos 2?, 2sin 2?) ,再利用中点坐标公式得 PQ 的中点 M 的坐标,从而得出 M 的轨迹
的参数方程;(II)利用两点间的距离公式得到 M 到坐标原点的距离

d?

x 2 ? y 2 ? 2 ? 2 cos ? (0 ? ? ? 2? ) ,再验证当 ? ? ? 时, d ? 0 ,故 M 的轨迹过

坐标原点. 解答过程: 解: (Ⅰ )依题意有 P(2 cos? ,2 sin ? ), Q(2 cos2? ,2 sin 2? ) ,因此

M (cos? ? cos2? , sin ? ? sin 2? ) .
M 的轨迹的参数方程为 ?

? x ? cos? ? cos2? , ( ? 为参数, 0 ? ? ? 2? ) . ? y ? sin ? ? sin 2? ,
x 2 ? y 2 ? 2 ? 2 cos ? (0 ? ? ? 2?) .

(Ⅱ )M 点到坐标原点的距离 d ?

当 ? ? ? 时, d ? 0 ,故 M 的轨迹过坐标原点. 24.答案; (Ⅰ )证明见解答过程;(Ⅱ )证明见解答过程 解题思路:(Ⅰ )依题意,由
2 a ? b ? c ?1? (a ? b ? c) ? 1 ? a 2 ? b2 ? c 2 ? 2ab ? 2bc ? 2ca ? 1 ,利用基本不等式可

3 ab ? bc ? ca) ? 1 ,从而得证;(Ⅱ 得( )利用基本不等式可证得:

a2 b2 c2 ? b ? 2a, ? c ? 2b, ? a ? 2c ,三式累加即可证得结论. b c a
解答过程: 解: (Ⅰ )由 a 2 ? b 2 ? 2ab, b 2 ? c 2 ? 2bc, c 2 ? a 2 ? 2ca ,得
2 a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab ? bc ? ca .由题设得 (a ? b ? c) ? 1 ,即

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2ab ? 2bc ? 2ca ? 1 .所以 3(ab ? bc ? ca) ? 1 ,即 ab ? bc ? ca ?
(Ⅱ )因为

1 . 3

a2 b2 c2 ? b ? 2a, ? c ? 2b, ? a ? 2c , b c a
14

a2 b2 c2 a2 b2 c2 故 ? ? ? (a ? b ? c) ? 2(a ? b ? c) ,即 ? ? ? a ? b ? c. b c a b c a a2 b2 c2 所以 ? ? ? 1. b c a

15


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