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高中数学-数列求和专项练习题7

数列求和 一、基础过关 1 1 1 1.数列 , , ,…, 2·5 5·8 8·11 3n-1 项和为 A. 3n+2 3n C. 6n+4 D. ( ) 1 ,…的前 n · 3n+2 n B. 6n+4 n n+1 n+2 a1+a2+a3+…+an 所确定 n 2.已知数列{an}的通项 an=2n+1,由 bn= 的数列{bn}的前 n 项之和是 ( A.n(n+2) 1 C. n(n+5) 2 ) 1 B. n(n+4) 2 1 D. n(n+7) 2 3.如果一个数列{an}满足 an+an+1=H (H 为常数,n∈N*),则称数列 {an}为等和数列,H 为公和,Sn 是其前 n 项的和,已知等和数列{an} 中,a1=1,H=-3,则 S2 011 等于( A.-3 016 C.-3 014 B.-3 015 D.-3 013 ) 4.已知数列{an}前 n 项和为 Sn=1-5+9-13+17-21+…+(-1)n -1 (4n-3),则 S15+S22-S31 的值是 ( ) A.13 B.-76 1 C.46 D.76 5.数列{an}满足 a1,a2-a1,a3-a2,…,an-an-1 是首项为 1,公比 为 2 的等比数列,那么 an 等于 ( A.2n-1 C.2n+1 B.2n-1-1 D.4n-1 ) 6.一个数列{an},其中 a1=3,a2=6,an+2=an+1-an,那么这个数列 的第 5 项是________. 7.在数列{an}中,an+1= 2an 对所有正整数 n 都成立,且 a1=2,则 2+an an=______. 8.已知等差数列{an}满足:a3=7,a5+a7=26,{an}的前 n 项和为 Sn. (1)求 an 及 Sn; (2)令 bn= 1 (n∈N*),求数列{bn}的前 n 项和 Tn. a n- 1 2 二、能力提升 ? 1? 9.在数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln?1+ ?,则 an 等于( ? n? ) A.2+ln n C.2+nln n B.2+(n-1)ln n D.1+n+ln n 1 10.数列{an}中,Sn 是其前 n 项和,若 a1=1,an+1= Sn (n≥1),则 3 an=____________. 11.已知数列{an}满足 a1=1,an+1=2an+1. (1)求证:数列{an+1}是等比数列; (2)求数列{an}的通项公式 an 和前 n 项和 Sn. 12.设数列{an}满足 a1=2,an+1-an=3·22n-1. 2 (1)求数列{an}的通项公式; (2)令 bn=nan,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. 三、探究与拓展 13.等比数列{an}中,a1,a2,a3 分别是下表第一、二、三行中的某一 个数,且 a1,a2,a3 中的任何两个数不在下表的同一列. 第一 列 第一 行 第二 行 第三 行 3 第二 列 2 第三 列 10 6 4 14 9 8 18 (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足:bn=an+(-1)nln an,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. 3 答案 1.B 2.C 3.C 4.B 5.A 2 6.-6 7. n 8.解 (1)设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d. 因为 a3=7,a5+a7=26, ? ?a1+2d=7, 所以? ? ?2a1+10d=26, ? ?a1=3, 解得? ? ?d=2. 所以 an=3+2(n-1)=2n+1, n n-1 Sn=3n+ ×2=n2+2n. 2 所以,an=2n+1,Sn=n2+2n. (2)由(1)知 an=2n+1, 所以 bn= 1 1 = an-1 2n+1 2 2 -1 1 ? 1 1 1 ?1 ?, = · = ·? - 4 n n+1 4 ?n n+1? 1 1 1 1 1 1 所以 Tn= ·(1- + - +…+ - ) 4 2 2 3 n n+1 1 1 n = ·(1- )= , 4 n+1 4 n+1 即数列{bn}的前 n 项和 Tn= 4 n+1 ? 1? 9.A [∵an+1=an+ln?1+ ?, ? n . n? ? 1? n+1 ∴an+1-an=ln?1+ ?=ln ? n? n =ln(n+1)-ln n. 4 又 a1=2, ∴an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+…+(an-an-1)=2+[ln 2-ln 1+ln 3-ln 2+ln 4-ln 3+…+ln n-ln(n-1)]=2+ ln n-ln 1=2+ln n.] 1, ? ? 10.?1 ?4?n ·? ? ? ?3 ?3? n=1 -2 , n≥2 11.(1)证明 ∵an+1=2an+1, ∴ = an+1+1 2an+1 +1 2an+2 = = an+1 an+1 an+1 2 an+1 =2, an+1 ∴数列{an}是等比数列,公比为 2,首项为 a1+1=2. (2)解 由(1)知{an+1}为等比数列, ∴an+1=(a1+1)·2n-1=2n, ∴an=2n-1. ∴Sn=a1+a2+…+an =(21-1)+(22-1)+(23-1)+…+(2n-1) =(21+22+…+2n)-n 2 1-2n = -n=2n+1-n-2. 1-2 12.解 (1)由已知,当 n≥1 时,an+1=[(an+1-an)+(an-an-1)+… +(a2-a1)]+a1=3(22n-1+22n-3+…+2)+2=22(n+1)-1. 而 a1=2,符合上式, 所以数列{an}的通项公式为 an=22n-1. (2)由 bn=nan=n·22n-1 知 5 Sn=1·2+2·23+3·25+…+n·22n-1,

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