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24.圆锥曲线中的最值和范围问题(教师版)


海宁市高级中学 2014 届高三第二学期数学第二轮复习?课时作业

24.圆锥曲线中的最值和范围

班级

姓名
2 . 3

1.设点 A( ? 3 ,0) ,B( 3 ,0) ,直线 AM、BM 相交于点 M,且它们的斜率之积为 ? (Ⅰ)求动点 M 的轨迹 C 的方程;

(Ⅱ)若直线 l 过点 F(1,0)且绕 F 旋转, l 与圆 O : x 2 ? y 2 ? 5 相交于 P、Q 两点,

l 与轨迹 C 相交于 R、S 两点,若|PQ| ? [4, 19], 求△ F ' RS 的面积的最大值和最小值
(F′为轨迹 C 的左焦点).

x2 y 2 8 3 4 3 ? ? 1( x ? ? 3) ; 【答案】 (Ⅰ) (Ⅱ)? Smin ? , Smax ? 3 2 9 3
【解析】 试题分析: (Ⅰ)根据椭圆的定义、几何性质可求; (Ⅱ)直线与椭圆相交,联立消元,设 点代入化简,利用基本不等式求最值. 试题解析: (Ⅰ)设 M ( x, y ) ,则 kMA ? kMB ?

y y 2 ? ? ? ( x ? ? 3) 3 x? 3 x? 3

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考点:椭圆,根与系数关系,基本不等式,坐标表示

2. 已知抛物线 C 的顶点为原点,其焦点 F ? 0, c ?? c ? 0? 到直线 l : x ? y ? 2 ? 0 的距离



3 2 .设 P 为直线 l 上的点,过点 P 作抛物线 C 的两条切线 PA, PB ,其中 A, B 为 2

切点. (Ⅰ) 求抛物线 C 的方程; (Ⅱ) 当点 P ? x0 , y0 ? 为直线 l 上的定点时,求直线 AB 的方程; (Ⅲ) 当点 P 在直线 l 上移动时,求 AF ? BF 的最小值. 依题意,设抛物线 C 的方程为 x ? 4cy ,由
2

0?c?2 2

?

3 2 结合 c ? 0 ,解得 c ? 1 . 2

所以抛物线 C 的方程为 x ? 4 y .
2 2 (Ⅱ) 抛物线 C 的方程为 x ? 4 y ,即 y ?

1 2 1 x ,求导得 y? ? x 4 2

设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ( 其 中 y1 ?

x12 x2 , y2 ? 2 ), 则 切 线 PA, PB 的 斜 率 分 别 为 4 4

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1 1 x1 , x2 , 2 2
所 以 切 线 PA 的 方 程 为 y ? y1 ?

x1 x1 x12 x ? x y ? x ? ? y1 , 即 , 即 ? 1? 2 2 2

x1 x ? 2 y ? 2 y1 ? 0
同理可得切线 PB 的方程为 x2 x ? 2 y ? 2 y2 ? 0 因为切线 PA, PB 均过点 P ? x0 , y0 ? ,所以 x1x0 ? 2 y0 ? 2 y1 ? 0 , x2 x0 ? 2 y0 ? 2 y2 ? 0 所以 ? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? 为方程 x0 x ? 2 y0 ? 2 y ? 0 的两组解. 所以直线 AB 的方程为 x0 x ? 2 y ? 2 y0 ? 0 . (Ⅲ) 由抛物线定义可知 AF ? y1 ? 1, BF ? y2 ? 1 , 所以 AF ? BF ? ? y1 ? 1?? y2 ? 1? ? y1 y2 ? ? y1 ? y2 ? ? 1 联立方程 ?

? x0 x ? 2 y ? 2 y0 ? 0 ?x ? 4 y
2

2 2 2 ,消去 x 整理得 y ? 2 y0 ? x0 y ? y0 ? 0

?

?

由一元二次方程根与系数的关系可得 y1 ? y2 ? x02 ? 2 y0 , y1 y2 ? y02 所以 AF ? BF ? y1 y2 ? ? y1 ? y2 ? ? 1 ? y0 ? x0 ? 2 y0 ? 1
2 2

又点 P ? x0 , y0 ? 在直线 l 上,所以 x0 ? y0 ? 2 ,

1? 9 ? 所以 y0 ? x0 ? 2 y0 ? 1 ? 2 y0 ? 2 y0 ? 5 ? 2 ? y0 ? ? ? 2? 2 ?
2 2 2

2

所以当 y0 ? ?
2

1 9 时, AF ? BF 取得最小值,且最小值为 . 2 2

3. 过抛物线 E : x ? 2 py( p ? 0) 的焦点 F 作斜率分别为 k1 , k2 的两条不同的直线 l1 , l2 ,且

k1 ? k2 ? 2 , l1与E 相交于点 A,B, l2与E 相交于点 C,D.以 AB,CD 为直径的圆 M,圆 N(M,N
为圆心)的公共弦所在的直线记为 l . (I)若 k1 ? 0, k2 ? 0 ,证明: FM ? FN ? 2 p 2 ;
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(II)若点 M 到直线 l 的距离的最小值为

7 5 ,求抛物线 E 的方程. 5

p F (0, ).设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), C ( x3 , y3 ), D( x4 , y4 ), M ( x12 , y12 ), N ( x34 , y34 ), 2 p 直线 l1方程: y ? k1 x ? , 与抛物线 E方程联立,化简整理得 : ? x 2 ? 2 pk1 x ? p 2 ? 0 2 ? x1 ? x2 ? 2k1 p, x1 ? x2 ? ? p 2 ? 0 ? x12 ? 同理, ? x34 ?

x1 ? x2 p 2 2 ? k1 p, y12 ? k1 p ? ? FM ? (k1 p,?k1 p) 2 2

x1 ? x2 p 2 2 ? k2 p, y34 ? k2 p ? ? FN ? (k2 p,?k2 p) . 2 2
2 2

? FM ? FN ? k1k2 p2 ? k1 k2 p2 ? p2k1k2 (k1k2 ?1)

? k1 ? 0, k2 ? 0, k1 ? k2 ,2 ? k1 ? k2 ? 2 k1k2 ? k1k2 ? 1,? FM ? FN ? p 2 k1k2 (k1k2 ? 1) ? p 2 ?1 ? (1 ?
所以, FM ? FN ? 2 p 2 成立. (证毕) (Ⅱ)

1 p p 1 p 2 2 设圆 M、N的半径分别为 r1 , r2 ? r1 ? [( ? y1 ) ? ( ? y2 )] ? [ p ? 2(k1 p ? )] ? k1 p ? p, 2 2 2 2 2

? r1 ? k1 p ? p,同理2r1 ? k2 p ? p,
设圆M、N的半径分别为 r1 , r2 .

2

2

2

M、N的方程分别为 ( x ? x12 )2 ? ( y ? y12 )2 ? r1 ,

( x ? x34 )2 ? ( y ? y34 )2 ? r2 ,直线l的方程为: 2( x34 ? x12 ) x ? 2( y34 ? y12 ) y ? x12 ? x34 ? y12 ? y34 - r1 ? r2 ? 0 .
2 2 2 2 2 2 2 2

2

? 2 p(k2 ? k1) x ? 2 p(k2 ? k1 ) y ? ( x12 ? x34 )(x12 ? x34 ) ? ( y12 ? y34 )( y12 ? y34 ) ? (r2 - r1)(r2 ? r1) ?
2 2 2 2 2 2 2 2 2

? 2 p(k2 ? k1) x ? 2 p(k2 ? k1 ) y ? 2 p2 (k1 ? k2 ) ? p2 (k1 ? k2 )(k1 ? k2 ? 1) ? p2 (k2 ? k1 )(k1 ?
? x ? 2 y ? p ? p(k1 ? k2 ?1) ? p(k1 ? k2 ? 2) ? 0 ? x ? 2 y ? 0
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2 2 2 2

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x ? 2 y12 2k ? k1 ? 1 点M ( x12 , y12 )到直线 l的距离 d ?| 12 |? p? | 1 |? p ? 5 5 ? p ? 8 ? 抛物线的方程为 x2 ? 16y
4. 已知椭圆 C1 : 的弦长为 1.
.u..\\\.o.m

2

1 1 2( ? ) 2 ? ( ? ) ? 1 7p 7 4 4 ? ? 5 8 5 5

y 2 x2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的右顶点 A (1,0) ,过 C1 的焦点且垂直长轴 a 2 b2

(I) 求椭圆 C1 的方程; (II) 设点 P 在抛物线 C2 : y ? x2 ? h(h ? R) 上, C2 在点 P 处的切线与 C1 交于点 M ,

N .当线段 AP 的中点与 MN 的中点的横坐标相等时,求 h 的最小值. ?b ? 1 y2 ?a ? 2 ? 解析: (I)由题意得 ? b 2 ,? ? , 所求的椭圆方程为 ? x 2 ? 1, 4 ?2 ? ? 1 ?b ? 1 ? a
( II ) 不 妨 设 M ( x t2,t ? 1, y 1 ), N ( x 2 ,y 2 ), P (

w.w.w. k. s.5.u.c.o.m

h则 ),抛 物 线 C2 在 点 P 处 的 切 线 斜 率 为

y?

x ?t

? 2t ,直线 MN 的方程为 y ? 2tx ? t 2 ? h ,将上式代入椭圆 C1 的方程中,得

4 x2 ? (2tx ? t 2 ? h)2 ? 4 ? 0 ,即 4 ?1 ? t 2 ? x 2 ? 4t (t 2 ? h) x ? (t 2 ? h)2 ? 4 ? 0 ,因为直线
4 2 2 MN 与椭圆 C1 有两个不同的交点,所以有 ?1 ? 16 ? ? ?t ? 2(h ? 2)t ? h ? 4 ? ? ? 0,

设线段 MN 的中点的横坐标是 x3 ,则 x3 ? 设线段 PA 的中点的横坐标是 x4 , 则 x4 ?

x1 ? x2 t (t 2 ? h) , ? 2 2(1 ? t 2 )

w.w.w. k. s.5.u.c.o.m

t ?1 2 , 由题意得 x3 ? x4 , 即有 t ? (1 ? h)t ? 1 ? 0 , 2

其中的 ?2 ? (1 ? h)2 ? 4 ? 0,?h ? 1 或 h ? ?3 ;
4 2 2 2 当 h ? ?3 时有 h ? 2 ? 0, 4 ? h ? 0 , 因此不等式 ?1 ? 16 ? ? ?t ? 2(h ? 2)t ? h ? 4 ? ? ? 0不

2 成立;因此 h ? 1 ,当 h ? 1 时代入方程 t ? (1 ? h)t ? 1 ? 0 得 t ? ?1 ,将 h ? 1, t ? ?1 代入
4 2 2 不等式 ?1 ? 16 ? ? ?t ? 2(h ? 2)t ? h ? 4 ? ? ? 0 成立,因此 h 的最小值为 1.

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