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广东省潮州市2015年高考第二次模拟考试数学(理)试题word含答案


绝密★启用前 潮州市 2014-2015 年高中毕业班第二次统一检测题 数 学(理科)

本试卷共 4 页,20 小题,满分 150 分. 考试用时 120 分钟. 注 意事项: 1. 答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔,将自己所在县(市、区) 、姓名、试 室号、 座位号填写在答题卷上对应位置,再用 2B 铅笔将准考证号涂黑. 2. 选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑;如需要 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,答案不能写在试卷上或草稿纸上. 3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答, 答案必须写在答题卷各题目指定区域 内相应的位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂 改液. 不按以上要求作答的答案无效. 参考公式:
2 球的表面积 S ? 4?R

一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满 分40分. 1.若复数 (2 ? i)(1 ? ai) 是纯虚数( i 是虚数单位, a 是实数),则 a 等于( A. -1 B. ? )

1 2

C.2

D. 3

2.为了了解潮州市居民月用电情况,抽查了该市 100 户居民月用电量(单位:度) ,得到频 率分布直方图如下:根据下图可得这 100 户居民月用电量在〔150,300〕的用户数是( A. 70 B. 64 C. 48 D.30 )

-1-

2 2 3.已知数列 {an } 的前 n 项和 S n ? n 2 ,则 a3 的值为( ? a2

) D.11 ) D.不能确定 开始 输入 p

A. 9

B. 16

C.21

4. 在 ?ABC 中,若 sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C ,则 ?ABC 的形状是( A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 )

5.执行右边的程序框图,若输出 s ? A.6 B. 7 C.8

127 ,则输入 p ? ( 128

D.9

? x ?1 ? 6. 设集合 A ? ? x ? 0? , B ? x x ? 1 ? a , ? x ?1 ?

?

?

n ? 0, S ? 0

n? p




则“ a ? 1 ”是“ A A.充分不必要条件 C.充分必要条件

B ? ? ”的(



n ? n ?1
B.必要不充分条件 D.既不充分又必要条件

输出 S 结束

S?S?

1 2n

7. 已知 A(1,?2) , 其中 a ? 0, b ? 0 , 则 B(a,?1) , C (?b,0) 三点共线, A.2 B.4 C.6 D.8

1 2 ? 的最小值是 ( a b



8.已知奇函数 y ? f ( x) 的导函数 f ? ? x ? ? 0 在 R 恒成立,且 x , y 满足不等式

f ( x 2 ? 2x) ? f ( y 2 ? 2 y) ? 0 ,则 x 2 ? y 2 的取值范围是(
A. [0,2 2 ] B. [0,2] C. [1,2]

) D. [0,8]

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9-13 题) 9.设随机变量 X 服从正态分布 N (0,1) ,若 P( x ? 1) ? p, 则 P?? 1 ? x ? 0? ? ___ _____. 10.右图是一个几何体的三视图,根据图中数据, 得该几何体的表面积是________.
2 11.已知 n 为正偶数,且 ( x ?

1 n ) 的展开式中第 3 项的 2x
. (用数字作答)

二项式系数最大,则第 3 项的系数是

-2-

12.抛物线 y ?

1 2 x 上到焦点的距离等于 6 的点的坐标为 4



13.函数 f(x)=sin ( ? x ? ? )的导函数 y ? f ?( x) 的部分图像右图所示,其中 A,C 为图像与 x 轴的两个交点,B 为图像的最低点,P 为 图像与 y 轴的交点. 若在曲线段 ABC 与 x 轴所围成的区域内随机取一点,则该点在△ABC 内的概率为 (二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题) 14. (坐标系与参数方程选做题)已知圆的极 坐标方程 ? ? 2 cos ? , 直线的极坐标方程为 ? cos ? ? 2? sin ? ? 7 ? 0 , 则圆心到直线距离为 . .

15. (几何证明选讲选做题)如图所示,⊙ O 的两条切线 PA 和 PB 相交于点 P ,与⊙ O 相切 于 A, B 两点, C 是⊙ O 上的一点,若 ?P ? 70? ,则 ?ACB ? ________.

三.解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知向量 m ? ? sin ,?1? , n ? ?

? ?

x 3

? ?

? 3 1 x? ?, ( A ? 0) ,函数 f ? x ? ? n ? m 的最大值为 2. A , A cos ? 2 ? 2 3 ? ?

(1)求 f ( x ) 的最小正周期和解析式; (2)设 ? , ? ? [0,

?
2

] , f (3? ?

?
2

)?

10 6 , f (3? ? 2? ) ? ,求 sin(? ? ? ) 的值. 13 5

-3-

17. (本小题满分 12 分) 甲乙两人进行围棋比赛,约定先连胜两局者直接赢得比赛,若赛完 5 局仍未出现连胜, 则判定获胜局数多者赢得比赛,假设每局甲获胜的概率为 结果相互独立。 (1)求乙在 4 局以内(含 4 局)赢得比赛的概率; (2)若每局比赛胜利方得 1 分,对方得 0 分,求甲最终总得分 X 的分布列及数学期望。

1 2 ,乙获胜的概率为 ,各局比赛 3 3

18. (本小题满分 14 分) 如图 1,平面五边形 SABCD 中 SA ?

15 2? , AB ? BC ? CD ? DA ? 2, ?ABC ? , ?SAD 沿 2 3

AD 折起成.如图 2,使顶点 S 在底面的射影是四边形 ABCD 的中心 O , M 为 BC 上一点,

BM ?

1 . 2

(1)证明: BC ? 平面SOM ; (2)求二面角 A ? SM ? C 的正弦值。 S D O A 如图 1 B A 如图 2 M B C

D S

C

-4-

19. (本小题满分 14 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Tn 满足 an?1 ? 2Tn ? 6 ,且 a1 ? 6 . (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)求数列 ?

?1? ? 的前 n 项和 S n ; ? an ?
1 1 ? 2 ? 3 ? S1 3 ? S2 1 ? 3. 3 ? Sn
n

(3)证明:

20.(本小题满分 14 分)

-5-

已知直线 l : y ?

x2 y2 3 x ? 1 过椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的一个焦点和一个顶点。 3 a b

(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)过原点的直线与椭圆 C 交于 A,B 两点(A,B 不是椭圆 C 的顶点). 点 D 在椭圆 C 上,且 AD ? AB ,直线 BD 与 x 轴交于点 M,求常数 ? 使得 k AM ? ?k BD

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ?

x2 (a ? R) ln( x ? a) ? ax

(1)当 a=0 时,求函数 f ( x) 的单调区间; (2)当 a=1 时,设 h( x) ?

x2 , f ( x)
2

(i)若对任意的 x ? ?0,??? , h( x) ? kx 成立,求实数 k 的取值范围; (ii)对任意 x1 ? x2 ? ?1 ,证明:不等式

x1 ? x2 x ?x ?2 恒成立. ? 1 2 h( x1 ) ? h( x1 ) ? x1 ? x2 2

-6-

潮州市 2014-2015 学年度高考第二次模拟考试 数学(理科)参考答案及评分说明 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分. 题号 答案 解析: 5. 1 C 2 B 3 B 4 A 5 B 6 A 7 D 8 D

S?

1 1 ? ? 21 22

?

1 1 127 ? 1? n ? ?p?7. n 2 2 128

6. A ? (?1,1) , B ? (1 ? a,1 ? a) ,当 a ? 1 时, B ? (0, 2) , A 不一定有 a ? 1 , 7.由 AC ? ? ?b ? 1, 2 ? , AB ? ? a ? 1,1? 共线,有 2a+b=1 有

B ? ? ,反之,若 A

B ? ?,

2 ? 2a ? b ? 1 2a ? b 2a ? b ? ? ? ?8. ? ? ? ab 2ab ? 2 ? 4
8. 因为函数 y= f ( x) 为奇函数,所以 f ( x ? 2x) ? f (2 y ? y ) ,由函数 y= f ( x) 的导函数
2 2

2

f ? ? x ? ? 0 在 R 恒成立,知函数 y= f ( x) 为减函数,? x 2 ? 2x ? 2 y ? y 2
2 2 即?( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 2 ,故 x ? y 的最小值为 0,最大值为直径 2 2 ,

从而 x ? y 的最小值为 0,最大值为直径的平方 8
2 2

二、填空题: 9.

1 ? p; 2

10. 12π ;

11. 3 ;
2

12. (2 5,5), (?2 5,5) ;

13.

? 4



14.

8 5 ; 15. 55 5

解析:

-7-

2? T ? 13.由图知 AC ? ? ? ? , S 2 2 ?

ABC

?

1 ? AC ? ? ? ,设 AC 的横坐标分别为 a , b . 2 2

设曲线段 ABC 与 x 轴所围成的区域的面积为 S 则

S?

?

b

a

f ?( x)dx ? f ( x)

b a

? sin(? a ? ? ) ? sin(?b ? ? ) ? 2 ,

由几何概型知该点在△ABC 内的概率为 P ? 三、解答题:

S

ABC

S

? ? 2 ? . 2 4

?

16.解: (1) f ( x) ?

? 3 3 x 1 x x 1 x? ? x ?? A sin ? A cos ? A? sin ? cos ? ? A sin ? ( ? ? ? ? 2 3 2 3 3 2 3? ? 3 6? ? 2

…3 分

f ( x) 的最小正周期 T ?

2? ? 6? 1 3

……………………………………………4 分

因为 A ? 0 ,由题意知 A=2, 所以 f ( x) ? 2sin( x ? (2)

……………………………5 分 ……………………………6 分

1 3

?
6

), x ? R

10 ?? ?1 ? ?? ?? ? ? f ? 3? ? ? ? 2sin ? ? ? 3? ? ? ? ? ? 2sin ? , 13 2? 2? 6? ? ?3 ?

6 ?? ?? ?1 ? ? f (3? ? 2? ) ? 2sin ? ? (3? ? 2? ) ? ? ? 2sin ? ? ? ? ? 2cos ? , 5 6? 2? ?3 ? ………8 分
? sin ? ?

? 5 3 , cos ? ? , ? , ? ? [0, ] 2 13 5
2

12 ?5? ? cos ? ? 1 ? sin 2 ? ? 1 ? ? ? ? , 13 ? 13 ?
4 ?3? sin ? ? 1 ? cos ? ? 1 ? ? ? ? , 5 ?5?
2 2

……………… ……………10 分

sin(? ? ? )= sin ? cos ? ? cos ? sin ? ?

5 3 12 4 33 ? ? ? ?? 13 5 13 5 65

…………………12 分

17 解:用 A 表示“乙在 4 局以内(含 4 局)赢得比赛” , Ak 表示“第 k 局乙获胜” , Bk 表

-8-

示“第 k 局甲获胜” ,则 P( Ak ) ?

2 1 , P( Bk ) ? , k ? 1, 2,3, 4,5 3 3

………………1 分

(Ⅰ) P( A) ? P( A 1A 2 ) ? P( B 1A 2A 3 ) ? P( A 1B2 A 3A 4)

? P( A1 ) P( A2 ) ? P( B1 ) P( A2 ) P( A3 ) ? P( A1 ) P ( B2 ( A3 ) P ( A4 ) 2 2 1 2 2 2 1 2 2 56 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 3 3 3 3 3 3 3 3 81
(Ⅱ) X 的可能取值为 0,1,2,3 …………………4 分

……………………………5 分 ……………………………6 分 ……………7 分

P ( X ? 0) ? P( A1 A2 ) ?

2 2 4 ? ? 3 3 9

1 2 2 2 1 2 2 20 P( X ? 1) ? P( B1 A2 A3 ) ? P( A1B2 A3 A4 ) ? ? ? ? ? ? ? ? 3 3 3 3 3 3 3 81
P( X ? 2) ? P( B1 B2 ) ? P( A1 B2 B2 ) ? P( A1 B2 A3 B4 A5 ) ? P( B1 A2 B3 A4 A5 ) 1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 61 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 243

P( X ? 3) ? 1 ? P( X ? 0) ? P( X ? 1) ? P ( X ? 2) ?
故 X 的分布列为

14 243

………………………9 分

X
P

0

1

2

3

4 20 61 9 81 243 4 20 61 14 224 ? EX ? 0 ? ? 1 ? ? 2? ? 3? ? 9 81 243 243 243

14 243
……………………………12 分

18.解: (Ⅰ)证明:题知四边形 ABCD 为菱形, O 为菱形中心,连结 OB ,则 AO ? OB ,

因 ?BAD

?

?
3

,故 OB ? AB ? sin ?OAB ? 2sin

?
6

?1

……………………………1 分

又因为 BM

?

1 ? ,且 ?OBM ? ,在 ?OBM 中 3 2
2

1 ? 3 ?1? OM 2 ? OB2 ? BM 2 ? 2OB ? BM ? cos ?OBM ? 12 ? ? ? ? 2 ?1? ? cos ? 2 3 4 ?2?
2 2 2 所以 OB ? OM ? BM ,故 OM ? BM 即 OM ? BC

…3 分

………………………4 分

又顶点 S 在底面的射影是四边形 ABCD 的中心 O 有 SO ? 平面ABCD , 所以 SO ? BC ,
-9-

……………………………5 分

从而 BC 与平面 SOM 内两条相交直线 OM, SO 都垂直, 所以 BC ? 平面SOM (Ⅰ)法二如图 2,连结 AC , BD ,因 ABCD 为菱形,则 AC

………6 分

BD ? O ,且 AC ? BD ,

以 O 为坐标原点, OA, OB, OS 的方向分别为 x 轴, y 轴, z 轴的正方向, 建立空间直角坐标系 o ? xyz , 因 ?BAD ? ……………………………2 分

?
3

,故 OA ? AB ? cos

?
6

? 3, OB ? AB ? sin

?
6

? 1,
S D O

z

D S

C

C

A 如图 1

B x

A 如图 2

M B y

所以

O ? 0, 0, 0 ? , A
由 BM ?

?

3, 0, 0 , B ? 0,1, 0 ? , C ? 3, 0, 0 , OB ? ? 0,1, 0 ? , BC ? ? 3, ?1, 0 .

?

?

?

?

?

…3 分

? 1 1 3 1 ? , BC ? 2 知, BM ? BC ? ? ? ? 4 ,? 4 ,0? ? 2 4 ? ? ? ?
? 3 3 ? 3 3 ? , ,0? ,即 M ? ? ? 4 , 4 ,0? ?. 4 4 ? ? ? ?
…………………4 分

从而 OM ? OB ? BM ? ? ? ?

题意及如图 2 知 SO ? AB ,有

SO ? SA2 ? OA2 ?

15 3 3 ?3 ? , OS ? (0, 0, ) 2 4 2

………………………5 分 ……………………………6 分

?OS ? BC ? 0, OM ? BC ? 0, 所以 BC ? 平面SOM
(Ⅱ)由(Ⅰ)知, AS ? ? ? 3, 0, ?

? ?

? 3 3 3? ? 3? 3? , MS ? , ? , , CS ? 3, 0, ? ? ? ? ? ? 4 ? ? ?, 2 ? 4 2 2 ? ? ? ? ?
…8 分

设平面 ASM 的 法向量为 n1 ? ? x1 , y1 , z1 ? ,平面 SMC 的法向量为 n2 ? ? x2 , y2 , z2 ?

- 10 -

? 3 z1 ? 0 ?- 3x1 ? ? 2 由 n ? AS ? 0, n ? MS ? 0, 得 ? ? 3 x ?3 y ? 3 z ?0 1 1 1 ? ? 4 4 2
故可取 n1 ? ? 1,

? 5 3 ? ? 3 ,2? ?, ? ?

………………………………………………9 分

? 3 3 3 x2 ? y2 ? z2 ? 0 ? ? 4 4 2 由 n2 ? MS ? 0, n2 ? CS ? 0, 得 ? ? 3x ? 3 z ? 0 2 2 ? ? 2
故可取 n2 ? 1, ? 3, ?2

?

?

……………………………………………………11 分

从而法向量 n1 , n2 的夹角的余弦值为 cos ? n1 , n2 ??

n1 ? n2 15 ?? 5 | n1 | ? | n2 |

……………13 分

故所求二面角 A ? SM ? C 的正弦值为

10 . 5

……………………………14 分

19.解: (1)由 an?1 ? 2Tn ? 6 ①得 an ? 2Tn?1 ? 6(n ? 2) ② ②-①:有 an?1 ? an ? 2Tn ? 2Tn?1 即 an?1 ? 3an (n ? 2) , …………………………2 分 …………………………4 分 ………………5 分 …6 分

又 a1 ? 6 ,由②有 a2 ? 2T1 ? 6 ? 2a1 ? 6 ? 18 知 a2 ? 3a1

∴数列 ?an ? 是以 6 为首项,公比为 3 的等比数列,∴ an ? 6 ? 3n?1 ? 2 ? 3n (2)由(1)得:

1 1 1 ? ? , an 2 3n

……………………………7 分

得 Sn ?

1 1 ? ? a1 a2

1 1 1 1 ? ( ? ? an 2 31 32
1 4 ? n 3 ? Sn 3 ? 1
n

1 1 (1 ? n ) 1 1 3 3n ? 1 3 , )? ? ? 3n 2 1? 1 4 ? 3n 3

…8 分

(3)证法一:由(2)得:由

……………………………9 分

n n ?1 n ?1 n ?1 n ?1 ∵ 3 ?1 ? 3 ? 3 ?1 ? 2 ? 3 ? 3 ?1 ? 2 ? 3

………………………11 分


- 11 -

1 4 4 4 2 ? k ? ? ? k ?1 ,(k ? 1, 2,..., n) k ?1 k ?1 k ?1 3 ? Sk 3 ? 1 2 ? 3 ? 3 ? 1 2 ? 3 3
k

……………12 分

1 1 ? 2 ? 3 ? S1 3 ? S2

1 1 1 ? 2(1 ? ? 2 ? 3 ? Sn 3 3
n

1 n 1 1 ? n?1 ) ? 2 3 ? 3(1 ? n ) ? 3 ………14 分 1 3 3 1? 3 1?

证法二:

2 2 ? 3n ? 1 4 3n ?1 ? 1 3 ? ?4 n ? 6? n 3n ? Sn 3n ? 1 (3 ? 1)(3n ?1 ? 1) (3 ? 1)(3n ?1 ? 1)

? 6?
? 1 1 ? 2 ? 3 ? S1 3 ? S2

2 ? 3n 1 1 ? 6?( n ? n?1 ) ………………………12 分 n n ?1 (3 ? 1)(3 ? 1) 3 ?1 3 ?1
?( 1 1 ? n?1 )] 3 ?1 3 ?1
n

1 1 1 1 1 ? 6[( 1 ? 2 ) ? ( 2 ? 3 )? 3 ? Sn 3 ?1 3 ?1 3 ?1 3 ?1
n

1 1 6 ? 6 ? ( ? n ?1 ) ? 3 ? n ?1 ? 3 ………………………14 分 2 3 ?1 3 ?1
证法三:当 n ? 1 时,不等式显然成立, 当 n ? 2 时, 令 cn ?

1 4 4 4 1 1 4 1 ? n , cn ? n ? ? ? ? n?1 ? ? cn?1 …11 分 1 3 ? Sn 3 ? 1 3 ? 1 3 3n?1 ? 3 3 ?1 3 3
n

1 1 ? cn ? ? cn ?1 ? 2 ? cn ? 2 ? 3 3

?

1 1 ? c1 ? 2 ? n ?1 , n ?1 3 3

……………………………12 分

1 1? n 1 1 1 1 ? c1 ? c2 ? ... ? cn ? 2(1 ? ? 2 ? ... ? n ?1 ) ? 2 ? 3 ? 3(1 ? n ) ? 3 . …………14 分 1 3 3 3 3 1? 3
综上得命题得证. 证法四:令 cn ?

1 4 ? n , 下面用数学归纳法证明, 3 ? Sn 3 ? 1
n

①当 n ? 1 时,结论显然成立

……………………………9 分

②假设当 n ? k (k ? 1) 时,结论成立,即 c1 ? c2 ???? ? ck ? 3 , 当 n ? k ? 1 时,

- 12 -

左边= c1 ? c2

???? ? ck ? ck ?1 ? 2 ?

1 4 4 ?2 ? ( ?2 ? 3 3? 1 3 ? 1

4 ? ? 1 1 2 3(3 ? ) 3(3 ? ) 3 3 4 1 ?k )? 2 ? ?3 ?3 3 3? 1

4

?

4 1 3(3k ? ) 3

所以当 n ? k ? 1 时,结论也成立 综合①、②可知 c1 ? c2 ????? cn ? 3 即

……………………………13 分

1 1 ? 2 ? 3 ? S1 3 ? S2

1 ? 3 对 n ? N? 都成立. …14 分 3 ? Sn
n

20.解: (1)直线 l : y ?

3 x ? 1 过两点 ? 0,1? , ? 3, 0 3

?

?

………………………1 分

因为椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的焦点在 x 轴时, a2 b2

故焦点为 ? 3, 0 ,顶点为 ?0,1?

?

?

………………………………………2 分.

? b ? 1, c ? 3

………………………………………3 分. ………………………………………4 分. ………… ……………………………5 分

? a ? b2 ? c 2 ? 2
x2 ? y2 ? 1 所以,所求椭圆 C 的方程为 4

(2)设 A( x1 , y1 )( x1 y1 ? 0), D( x2 , y2 ) ,则 B(? x1 , ? y1 ) ,直线 AB 的斜率 k AB ?

y1 ,…6 分 x1

又 AB ? AD ,所以直线 AD 的斜率 k ? ?

x1 , y1

…………………………………7 分

设直线 AD 的方程为 y ? kx ? m ,由题意知 k ? 0, m ? 0 ,

………………………8 分

? y ? kx ? m ? 2 2 2 由 ? x2 ,可得 (1 ? 4k ) x ? 8mkx ? 4m ? 4 ? 0 . 2 ? ? y ?1 ?4
所以 x1 ? x2 ? ?

8mk , 1 ? 4k 2 2m , 1 ? 4k 2

…………………………………………9 分

因此 y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2m ? 由题意知, x1 ? x2 ,所以 kBD ?

y1 ? y2 y 1 ?? ? 1 , x1 ? x2 4k 4 x1
- 13 -

……………………………11 分

所以直线 BD 的方程为 y ? y1 ?

y1 ( x ? x1 ) , 4 x1

令 y ? 0 ,得 x ? 3x1 ,即 M (3x1 ,0) . 可得 k AM ? ?

y1 . 2 x1

…………………………………………13 分 ………………14 分

所以 k AM ? ?2kBD ,即 ? ? ?2 .因此存在常数 ? ? ?2 使得结论成立.

x2 x ? 2ln x ? 1? f ( x ) ? ( x ? 0, x ? 1) , f ?( x) ? ( x ? 0, x ? 1) 2 21.解: (Ⅰ)当 a=0 时, ln x ? ln x ?

…1 分

令f ?( x) ? 0得x> e ,令f ?( x)<0得0<x< e 且x?1
? f ( x)的单调减区间为:? 0,1? , 1, e ;单调增区间为
(Ⅱ)当 a=1时, h( x) ? ln( x ? 1) ? x( x ? 0), (i)

…………………2 分

?

?

?

e , ??

?

……………4 分 …………………5 分

k ? 0时, 取x ? 1, h(1) ? ln 2 ? 1 ? 0,知 h( x) ? kx2 不恒成立,? k ? 0 舍去 …6 分

?当k ? 0, 设g ( x) ? h( x) ? kx2 ? ln( x ? 1) ? x ? kx2
1 ? x(2kx ? 2k ? 1) ? 1 ? 2kx ? x ?1 x ?1 2k ? 1 ? ?1 令 g ?( x) ? 0 得 x1 ? 0, x2 ? ? 2k 2k ? 1 1 若x2 ? ? ? 0,即k ? - ,g? ? x ? >0在x ? ? 0, ?? ? 上恒成立 2k 2
则 g ?( x) ? …………………7 分

? g ? x ? 在?0, ??? 上是增函数,从而有g ? x ? ? g ? 0? =0,即h ? x ? ? kx2在?0, ??? 恒成立
?k ? 1 2
…………………8 分

若x2 ? ?

2k ? 1 1 2k ? 1 ? ? ? 0,即- <k<0,当x ? ? 0, ? ? 时,g? ? x ? <0, 2k 2 2k ? ?

2k ? 1 ? ? ? g ? x ? 在 ? 0, ? ? 上单调递减 2k ? ?
2k ? 1 ? ? 2 ? 当取x0 ? ? 0, ? ? 时,g ? x0 ? <g ? 0 ? =0,即h ? x0 ? ? kx0 不成立 2k ? ? 1 ? ? ? k ? 0不合舍去 2

………………9 分

- 14 -

综上:? k ? (ii)要证明

1 2

…………………10 分

x1 ? x2 x ?x ?2 ? 1 2 h( x1 ) ? h( x1 ) ? x1 ? x2 2

只需证明

( x1 ? 1) ? ( x2 ? 1) ( x ? 1) ? ( x2 ? 1) ? 1 ln(x1 ? 1) ? ln(x2 ? 1) 2
( x1 ? 1) ? ( x2 ? 1) 1 ? ? ln( x1 ? 1) ? ln( x2 ? 1)? ( x1 ? 1) ? ( x2 ? 1) 2
…………………11 分

只需证明

( x1 ? 1) ?1 ( x 2 ? 1) x ?1 1 x ?1 t ?1 1 ? ln t ? 0 ? ln 1 (t ? 1) ,则需证明 即证明 ,令 t ? 1 ( x1 ? 1) t ?1 2 2 x2 ? 1 x2 ? 1 ?1 ( x 2 ? 1)
令 ? ( x) ?

…12 分

t ?1 1 ? (t ? 1) 2 ? ln t (t ? 1) ,则 ? ?( x) ? 1, ? ?)上单调递减 ? 0 ?? (t )在( t ?1 2 2t (t ? 1) 2 t ?1 1 ? ln t ? 0 t ?1 2
…………………14 分

? ? (t ) ? ? (1) ? 0即
故不等式

x1 ? x2 ( x ? 1) ? ( x2 ? 1) ? 1 得证 ln(x1 ? 1) ? ln(x2 ? 1) 2

- 15 -



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