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专题复习:高中数学必修5基本不等式经典例题(教师用)


基本不等式
知识点: 1. (1)若 a, b ? R ,则 a ? b ? 2ab
2 2

(2)若 a, b ? R ,则 ab ?

a2 ? b2 2

(当且仅当 a ? b 时取“=”) (当且仅当 a ? b 时取“=” )

2. (1)若 a, b ? R * ,则

a?b * ? ab (2)若 a, b ? R ,则 a ? b ? 2 ab 2
2

a ?b? (3)若 a, b ? R * ,则 ab ? ? ? ? ? 2 ?
3.若 x ? 0 ,则 x ?

(当且仅当 a ? b 时取“=” )

1 ? 2 (当且仅当 x ? 1 时取“=” ) x 1 若 x ? 0 ,则 x ? ? ?2 (当且仅当 x ? ?1 时取“=” ) x
若 x ? 0 ,则 x ? 1 ? 2即x ? 1 ? 2或x ? 1 ? -2 x x x (当且仅当 a ? b 时取“=” )

a b 4.若 ab ? 0 ,则 ? ? 2 b a

(当且仅当 a ? b 时取“=” )若 ab ? 0 ,则

a b a b a b ? ? 2即 ? ? 2或 ? ? -2 b a b a b a

(当且

仅当 a ? b 时取“=” ) 5.若 a, b ? R ,则 (

a ? b 2 a2 ? b2 (当且仅当 a ? b 时取“=” ) ) ? 2 2

注意: (1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值, 当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大” . (2)求最值的条件“一正,二定,三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用

应用一:求最值
例:求下列函数的值域 1 (1)y=3x 2+ 2 2x 1 解:(1)y=3x 2+ 2 ≥2 2x 1 (2)当 x>0 时,y=x+ ≥2 x 1 (2)y=x+

x

1 3x 2· 2 = 2x 1 x· x =2;

6 ∴值域为[

6 ,+∞)

1 1 当 x<0 时, y=x+ = -(- x- )≤-2 x x

1 x· x

=-2

∴值域为(-∞,-2]∪[2,+∞)

解题技巧 技巧一:凑项 例 已知 x ?

5 ,求函数 y ? 4 x ? 2 ? 1 的最大值。 4 4x ? 5
1 不是常数,所以对 4 x ? 2 要进行拆、凑项, 4x ? 5

解:因 4 x ? 5 ? 0 ,所以首先要“调整”符号,又 (4 x ? 2)

5 1 1 ? ? x ? ,? 5 ? 4 x ? 0 ,? y ? 4 x ? 2 ? ? ? ? 5 ? 4x ? ? ? 3 ? ?2 ? 3 ? 1 4 4x ? 5 5 ? 4x ? ?
当且仅当 5 ? 4 x ?

1 ,即 x ? 1 时,上式等号成立,故当 x ? 1 时, ymax ? 1 。 5 ? 4x

技巧二:凑系数 例: 当 时,求 y ? x(8 ? 2 x) 的最大值。 解析:由 知, ,利用均值不等式求最值,必须和为定值或积为定值,此题为两个式子积的形式, 但其和不是定值。注意到 2 x ? (8 ? 2 x) ? 8 为定值,故只需将 y ? x(8 ? 2 x) 凑上一个系数即可。



,即 x=2 时取等号 当 x=2 时, y ? x(8 ? 2 x) 的最大值为 8。

变式:设 0 ? x ?

3 ,求函数 y ? 4 x(3 ? 2 x) 的最大值。 2
2 3 2x ? 3 ? 2x ? 9 ∴ 3 ? 2 x ? 0 ∴ y ? 4 x(3 ? 2 x) ? 2 ? 2 x(3 ? 2 x) ? 2? ? ? ? 2 2 2 ? ?

解:∵ 0 ? x ?

当且仅当 2 x ? 3 ? 2 x, 即 x ? 技巧三: 分离换元 例:求 y ?

3 ? 3? ? ? 0, ? 时等号成立。 4 ? 2?

x 2 ? 7 x ? 10 ( x ? ?1) 的值域。 x ?1

解析一:本题看似无法运用均值不等式,不妨将分子配方凑出含有(x+1)的项,再将其分离。



,即

时, y ? 2 (x ? 1) ?

4 ? 5 ? 9 (当且仅当 x=1 时取“=”号)。 x ?1

解析二:本题看似无法运用均值不等式,可先换元,令 t=x+1,化简原式在分离求最值。

(t ? 1)2 ? 7(t ? 1 ) +10 t 2 ? 5t ? 4 4 = ? t ? ?5 t t t 4 当 ,即 t= 时, y ? 2 t ? ? 5 ? 9 (当 t=2 即 x=1 时取“=”号)。 t a 技巧五:在应用最值定理求最值时,若遇等号取不到的情况,结合函数 f ( x ) ? x ? 的单调性。 x y?
例:求函数 y ?

x2 ? 5 x2 ? 4

的值域。

2 解:令 x2 ? 4 ? t (t ? 2) ,则 y ? x ? 5 ? x2 ? 4

x2 ? 4 ?

1 ? t ? (t ? 2) t x ?4
2

1

因 t ? 0, t ? ? 1 ,但 t ? 解得 t ? ?1 不在区间 ? 2, ?? ? ,故等号不成立,考虑单调性。 因为 y ? t ? 在区间 ?1, ?? ? 单调递增,所以在其子区间 ? 2, ?? ? 为单调递增函数,故 y ? 所以,所求函数的值域为 ? , ?? ? 。

1 t

1 t

1 t

5 。 2

?5 ?2

? ?

技巧六:整体代换( “1”的应用) 多次连用最值定理求最值时,要注意取等号的条件的一致性,否则就会出错。 。 例:已知 x ? 0, y ? 0 ,且 错解 : ..

1 9 ? ? 1 ,求 x ? y 的最小值。 x y

1 9 1 9? 9 x ? 0, y ? 0 ,且 ? ? 1 ,? x ? y ? ? ? ?? x ? y? ? 2 2 xy ? 12 故 ? x y xy ? x y?

? x ? y ?min ? 12



1 9 错因:解法中两次连用均值不等式,在 x ? y ? 2 xy 等号成立条件是 x ? y ,在 1 ? 9 ? 2 9 等号成立条件是 ?
x y xy

x

y

即 y ? 9 x ,取等号的条件的不一致,产生错误。因此,在利用均值不等式处理问题时,列出等号成立条件是解题的必要 步骤,而且是检验转换是否有误的一种方法。 正解:

? 1 9 ? y 9x 1 9 x ? 0, y ? 0, ? ? 1 ,? x ? y ? ? x ? y ? ? ? ? ? ? ? 10 ? 6 ? 10 ? 16 x y ? x y? x y

当且仅当 技巧七

1 9 y 9x ? 时,上式等号成立,又 ? ? 1 ,可得 x ? 4, y ? 12 时, ? x ? y ?min ? 16 。 x y x y
y2
2

例:已知 x,y 为正实数,且 x +

2

=1,求 x 1+y

2

的最大值.

分析:因条件和结论分别是二次和一次,故采用公式 ab≤ 1 2

a 2 +b 2
2

。 1+y 2 2· = 2 1 2

同时还应化简

1+y 1 2

2

中 y2 前面的系数为



x 1+y 2 =x

2 x·



y2
2

下面将 x,



y2
2

分别看成两个因式: y2 + 2 2 2 1 y2 1 x 2+ + 2 2 2 1



1 2



y2
2

x 2 +( ≤

)2 =

3 = 4

即x

1+y

2



2 ·x

1 2



y2
2



3 4

2

技巧八: 已知 a,b 为正实数,2b+ab+a=30,求函数 y=

ab

的最小值.

分析:这是一个二元函数的最值问题,通常有两个途径,一是通过消元,转化为一元函数问题,再用单调性或基本不 等式求解,对本题来说,这种途径是可行的;二是直接用基本不等式,对本题来说,因已知条件中既有和的形式,又 有积的形式,不能一步到位求出最值,考虑用基本不等式放缩后,再通过解不等式的途径进行。 30-2b 法一:a= , b+1

ab=

30-2b

b+1

·b=

-2 b 2+30b

b+1

由 a>0 得,0<b<15 -2t 2+34t-31 16 16 令 t=b+1,1<t<16,ab= =-2(t+ )+34∵t+ ≥2 16

t

t

t



t

=8

∴ ab≤18

∴ y≥

1 18

当且仅当 t=4,即 b=3,a=6 时,等号成立。 2 ab 2 ≤u≤3 2 ∴ 30-ab≥2 2 ab

法二:由已知得:30-ab=a+2b∵ a+2b≥2 令 u= ∴

ab

则 u2+2

2 u-30≤0, -5 1 18

ab ≤3 2 ,ab≤18,∴y≥

点 评 : ① 本 题 考 查 不 等式

a?b ? ab(a, b ? R ?) 的 应 用 、 不 等 式 的 解法 及 运 算 能 力 ; ② 如 何由 已 知 不 等式 2

ab ? a ? 2 b ? 30 出 发 求 得 ab 的 范 围 , 关 键 是 寻 找 到 a ? b与ab 之 间 的 关 系 , 由 此 想 到 不 等 式 (a, b ? R ?)

技巧九、取平方

a?b ? ab(a, b ? R ?) ,这样将已知条件转换为含 ab 的不等式,进而解得 ab 的范围. 2
2 2

例: 求函数 y ? 2 x ? 1 ? 5 ? 2 x ( 1 ? x ? 5 ) 的最大值。 解析:注意到 2 x ? 1与 5 ? 2 x 的和为定值。

y2 ? ( 2x ?1 ? 5 ? 2x )2 ? 4 ? 2 (2x ?1)(5 ? 2x) ? 4 ? (2x ?1) ? (5 ? 2 x) ? 8 又 y ? 0 ,所以 0 ? y ? 2 2 3 当且仅当 2 x ? 1= 5 ? 2 x ,即 x ? 时取等号。 故 ymax ? 2 2 。 2

应用二:利用均值不等式证明不等式
例:已知 a、b、c ? R ,且 a ? b ? c ? 1 。求证: ?
?

? 1 ?? 1 ?? 1 ? ? 1?? ? 1?? ? 1? ? 8 ? a ?? b ?? c ?

分析: 不等式右边数字 8, 使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个 “2” 连乘, 又 1 ? 1 ? 1 ? a ? b ? c ? 2 bc , a a a a 可由此变形入手。 解: a 、 b 、 c ? R , a ? b ? c ? 1 。?
?

1 2 ac 1 1 1 ? a b ? c 2 bc 2 ab 。同理 ? 1 ? , ?1 ? 。上述三个 ?1 ? ? ? b b a a a a c c

不等式两边均为正,分别相乘,得

1 ? 1 ?? 1 ?? 1 ? 2 bc 2 ac 2 ab ? 8 。当且仅当 a ? b ? c ? 时取等号。 ? ? 1?? ? 1?? ? 1? ? 3 a b c ? a ?? b ?? c ?

应用三:均值不等式与恒成立问题
例:已知 x ? 0, y ? 0 且

1 9 ? ? 1 ,求使不等式 x ? y ? m 恒成立的实数 m 的取值范围。 x y 1 9 x ? y 9x ? 9 y 10 y 9 x ? ? 1 ,? ? ? 1. ? ? ? ?1 x y kx ky k kx ky

解:令 x ? y ? k , x ? 0, y ? 0,

?1 ?

10 3 ? 2 ? 。? k ? 16 , m ? ? ??,16? k k

应用四:均值定理在比较大小中的应用:
例:若

a ? b ? 1, P ? lg a ? lg b , Q ?

1 a?b (lg a ? lg b), R ? lg( ) ,则 P, Q, R 的大小关系是 2 2

.

分析:∵ a ? b ? 1 ∴ lg a ? 0, lg b ? 0

Q?

1 ( lg a ? lg b) ? lg a ? lg b ? p 2 a?b 1 R ? lg( ) ? lg ab ? lg ab ? Q 2 2

∴R>Q>P。


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