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版高中数学第二章统计222用样本的数字特征估计总体的数字特征学案新人教B版必修3(数学教案)


2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征 [学习目标] 1.会求样本的众数、中位数、平均数、标准差、方差. 2.理解用样本的数字特征来估计总体数字特征的方法. 3.会应用相关知识解决简单的统计实际问题. [知识链接] 1.在数据 2,2,3,4,4,5,5,6,7,8 中众数为 2,4,5. 2 .一组数据的和除以数据的个数所得到的数叫做这组数据的平均数.例如,数据 1,2,3,3,4,5 的平均数为 3. [预习导引] 1.有关概念 (1)众数:在一组数据中,出现次数最多的数据(即频率分布最大值所对应的样本数据) 叫这组数据的众数. 若有两个或两个以上的数据出现得最多,且出现的次数一样,则这些数据都叫众数;若 一组数据中每个数据出现的次数一样多,则没有众数. (2)中位数:将一组数据按大小依次排列,把处在最中间位置的一个数据(或两个数据的 平均数)叫这组数据的中位数. (3)平均数:指样本数据的算术平均数. 1 即 x = (x1+x2+?+xn). n 2.平均距离 假设样本数据是 x1, x2, ?, xn, x 表示这组数据的平均数. xi 到 x 的距离是|xi- x |(i =1,2,?,n).于是,样本数据 x1,x2,?,xn 到 x 的“平均距离”是 |x1- x |+|x2- x |+?+|xn- x | . S= n 3.标准差 由于平均距离中含有绝对值,运算不太方便,因此改用如下公式来计算标准差 s= 1 2 2 2 [?x1- x ? +?x2- x ? +?+?xn- x ? ]. n 1 显然,标准差越大,数据的离散程度越大;标准差越小,数据的离散程度越小.所以标 准差可以用来刻画数据的分散程度的大小. 4.方差 1 2 2 2 2 2 标准差 s 的平方 s ,即 s = [(x1- x ) +(x2- x ) +?+(xn- x ) ]叫这组数据的方 n 差. 方差也是用来测量样本数据的分散程度的特征数.在刻画样本数据的分散程度上,方差 与标准差是一样的.但在解决实际问题时,一般多采用标准差. 要点一 众数、中位数、平均数的简单运用 例 1 在上一节调查的 100 位居民的月均用水量的问题中,制作出了这些样本数据的频 率分布直方图: 从中可以看出,月均用水量的众数估计是 ________ ;中位数是 ________ ;平均数为 ________. 答案 2.25 t 2.02 t 2.02 t 解析 众数大致的值就是样本数据的频率分布直方图中最高矩形的中点的横坐标,因此 众数估计是 2.25 t; 在样本中,有 50%的个体小于或等于中位数,也有 50%的个体大于或等于中位数,因此, 在频率分布直方图中,中位数使得在它左边和右边的直方图的面积应该相等,由此可以 估计中位数的值, 下图中虚线代表居民月均用水量的中位数的估计值, 此数据值为 2.02 t. 2 平均数是频率分布直方图的“重心”,是直方图的平衡点,因此,每个小矩形的面积与 小矩形底边中点的横坐标的乘积之和为平均数,平均数为 2.02 t. 规律方法 根据样本频率分布直方图,可以分别估计总体的众数、中位数和平均数. (1)众数:最高矩形下端中点的横坐标; (2)中位数:直方图面积平分线与横轴交点的横坐标; (3)平均数:每个小矩形的面积与小矩形底边中点的横坐标的乘积之和. 跟踪演练 1 在一次中学生田径运动会上,参加男子跳高的 17 名运动员的成绩如表所示: 成绩(单位:m) 人数 1.50 2 1.60

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