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1.3.2等比数列的前n项和 课件(北师大版必修5)


3.2 等比数列的前n项和 学习目标 1.理解“错位相减法”求等比数列的前n项和公 式,掌握等比数列求和公式,并能应用公式解 决有关问题. 2.灵活运用等比数列前n项和的性质,进一步 理解等比数列的性质. 课前自主学案 温故夯基 1. 数列{an}为等比数列?? an+1 =q(q≠0 且 n∈N+) a n ________________________ . a1q 2.等比数列{an}的通项公式为 an=_______ =amqn-m(m,n∈N+) n- 1 知新益能 1.等比数列的前n项和公式 已知量 首项、公比与项数 选用 ?na1?q=1? 公式 Sn= ? ?a ?1-qn? ? ? 1- q 1 首项、末项与公比 ?na1?q=1? ? Sn= ?a1-anq ?q≠1? ? ? 1-q ?q≠1? ____________ ___________ 2.等比数列前n项和的性质 (1)连续m项的和(如Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…) 仍组成等比数列.(注意:这连续m项的和必须非 零才能成立.) (2){an}为公比不为1的等比数列?Sn=Aqn+B(A+ B=0). (3)Sn+m=Sm+qmSn(q为公比). a1 S1 S2 Sn n (4) = = =?= ( q -1≠0). 2 n 1-q 1-q 1-q 1-q S偶 (5)等比数列{an}中,若项数为 2n,则 =q; S奇 S奇-a1 若项数为 2n+1,则 =q. S偶 问题探究 1.如何从函数的观点看等比数列前n项和与n之 间的函数关系? 提示:①当 q=1 时,Sn=na1,数列{Sn}的图像是函 数 y=a1x 上的一群孤立的点; a1?1-qn? a1 a1 n ②当 q≠1 时,Sn= = - q ,设 a 1-q 1-q 1-q a1 = ,则 Sn=a-aqn,此时,数列{Sn}的图像是函 1-q 数 y=a-aqx 的图像上的一群孤立的点. 2.在计算等比数列的前 n 项和时,能否直接 a1?1-qn? 用公式 Sn= 求解? 1-q 提示:在计算等比数列的前n项和时,总是忘记公 比q=1的情形.其突破方法是明确等比数列的前n 项和公式的推导过程,再就是注意经验的积累. 在推导等比数列{an}的前n项和公式过程中, Sn=a1+a1q+…+a1qn-1, 当等式两边同乘以q后,得 qSn=a1q+a1q2+…+a1qn. 当q=1时,qSn=a1q+a1q2+…+a1qn与Sn=a1+ a1q+…+a1qn-1是同一个等式, 它们相减后得到0=0,没有什么意义, 因此当q≠1时,它们相减后得到的等式(1-q)Sn= a1-a1qn才具有意义. a1?1-q ? 所以仅有 q≠1 时,Sn= . 1-q n 当q=1时,等比数列{an}是常数列,则Sn=na1. 因此等比数列的前n项和公式要分类讨论. 根据解题经验,在计算等比数列的前n项和时, 首先考虑公比等于1的情形,否则易出错. 课堂互动讲练 考点突破 “知三求二”问题 a1-anq a1?1-qn? Sn= ,Sn= (q≠1)均为等比数列的求 1-q 1-q 和公式,一共涉及 a1,an,Sn,n,q 五个量,通常 已知其中三个, 可求另外两个, 而且方法就是解方程 组,这也是求解等比数列问题的基本方法. 例1 (2010 年高考天津卷)已知{an}是首项为 1 的 等比数列,Sn 是{an}的前 n

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