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高中数学第二章平面向量2.2平面向量的线性运算习题课练习(含解析)新人教A版必修4

2.2 一? 选择题 平面向量的线性运算 1.(2010?四川)设点 M 是线段 BC 的中点,点 A 在直线 BC 外, BC 2 =16, | AB ? AC |?| AB ? AC |, 则| AM |=() A.8 B.4 C.2 D.1 【答案】C 【解析】由 | AB ? AC |?| AB ? AC | 可知, AB ⊥ AC, 则 AM 为 Rt△ABC 斜边 BC 上的中 线,因此,| AM |? 1 | BC |? 2, 故选 C. 2 2.已知△ABC 中,点 D 在 BC 边上,且 CD ? 2DB, CD ? r AB ? sAC, 则 r+s 的值是() A. 2 3 B. 4 3 C.-3 D.0 【答案】D 【解析】∵ CD ? 2DB ∴ CD ? ∴ CD ? 2 2 CB ? ( AB ? AC ) 3 3 2 2 2 2 AB ? AC , 又 CD ? r AB ? sAC, ∴r= , s ? ? ,∴r+s=0.故选 D. 3 3 3 3 B.a,b 两向量中至少有一个为 0 D.存在不全为零的实数 λ 1,λ 2,使 λ 1a+λ 2b=0 3.平面向量 a,b 共线的充要条件是() A.a,b 方向相同 C.存在 λ ∈R,使 b=λ a 【答案】D 【解析】a,b 共线时,a,b 方向相同或相反,故 A 错.a,b 共线时,a,b 不一定是零向量,故 B 错.当 b=λ a 时,a,b 一定共线,若 b≠0,a=0.则 b=λ a 不成立,故 C 错.排除 A、B、C,故选 D. 4.已知 O? A? B 是平面上的三个点,直线 AB 上有一点 C,满足 2 AC ? CB ? 0, 则 OC 等于( ) A.2OA ? OB 2 1 C. OA ? OB 3 3 【答案】A B. ? OA ? 2OB 1 2 D. ? OA ? OB 3 3 【解析】 OC ? OB ? BC ? OB ? 2 AC ? OB ? 2(OC ? OA), ∴ OC ? 2OA ? OB, 故选 A. 5.设 D? E? F 分别是△ABC 的三边 BC、CA、AB 上的点,且 DC ? 2BD, CE ? 2EA, AF ? 2FB, 1 则 AD ? BE ? CF 与 BC () A.反向平行 C.不平行 【答案】 A B.同向平行 D.无法判断 1 2 AD ? AB ? BD ? AB ? BC , BE ? BC ? CE ? BC ? CA, 3 3 【解析】 2 CF ? CA ? AF ? CA ? AB, 3 5 5 4 AB ? CA ? BC 3 3 3 ∴ 故选 A. 5 4 5 4 1 ? ( AB ? CA) ? BC ? CB ? BC ? ? BC. 3 3 3 3 3 AD ? BE ? CF ? 6.已知 a,b 是不共线的向量, AB =λ a+b, AC =a+μ b,(λ ,μ ∈R),那么 A、B、C 三点共线 的充要条件为() A.λ +μ =2 【答案】D 【解析】对充要条件的问题,要注意从充分性和必要性两个方面进行分析论证.由 A、B、 C 三点共线 B.λ -μ =1 C.λ μ =-1 D.λ μ =1 AB ∥ AC?? AB ? mAC λ a+b=ma+mμ λ -m)a=(mμ -1)b. 因为 a,b 不共线, 所以必有 ? ?? ? m , 故可得 λ μ =1. ? m? ? 1 ? 0 1 1 1 1 . 所以 AC ? a ? b ? (λ a+b)= AB, ? AB ∥ AC, 所以 ? ? ? ? 反之,若 λ μ =1,则 μ = A、B、C 三点共线.故选 D. 二? 填空题 7.若点 O 是△ABC 所在平面内的一点,且满足 | OB ? OC |?| OB ? OC ? 2OA | ,则△ABC 的形 状为________. 【答案】直角三角形 【解析】 OB ? OC ? 2OA ? OB ? OA ? OC ? OA ? AB ? AC , OB ? OC ? CB ? AB ? AC , ∴ | AB ? AC |?| AB ? AC |, 故 A? B? C 为矩形的三个顶点,△ABC 为直角三角形. 8.在平行四边形 ABCD 中,E? F 分别是边 CD 和 BC 的中点,若 AC =λ AE +u AF , 其中 λ ,u∈R, 则 λ +u=________. 2 【答案】 4 3 【解析】设 BC ? b, BA ? a, 则 AF ? λ =u= 1 1 b ? a, AE ? b ? a, AC =b-a,代入条件得 2 2 2 4 ,∴λ +u= . 3 3 9.如图,平面内有三个向量 OA ? OB ? OC, 其中 OA 与 OB 的夹角为 120°, OA 与 OC 的夹 角为 30°,且| OA |=| OB |=1,| OC |= 2 3 ,若 OC =λ OA ? μ OB (λ ,μ ∈R),则 λ +μ 的值为________. 【答案】6 【解析】过 C 作 OA 与 OB 的平行线与它们的延长线相交,可得平行四边形,由 ∠BOC=90°,∠AOC=30°,| OC |? 2 3 ,得平行四边形的边长为 2 和 4,故 λ +μ =2+4=6. 10.如图,在△ABC 中,点 O 是 BC 的中点,过点 O 的直线分别交直线 AB,AC 于不同的两点 M,N, 若 AB ? mAM , AC ? nAN , 则 m+n 的值为________. 【答案】2 【解析】由于 MN 的任意性可用特殊位置法:当 MN 与 BC 重合时知 m=1,n=1,故 m+n=2. 三? 解答题 11.若 a,b 是两个不共线的非零向量,t∈R,若 a,b 起点相同,t 为何值时,a

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