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高二数学理科选修2-2测试卷(第一章导数)及答案2013.3.9(1)


高二数学周测试卷
一选择题
1 1、点 P 在曲线 y ? x3 ? 3 x 上移动,设点 P 处切线的倾斜角为 ? ,则角 ? 的取值范围是 ( 3 ? 2? 2? ? 2? ? ?? A. ?0, ? B. [0, ) ? [ , ? ) C. [ , ? ) D. ( , ] 2 3 3 2 3 ? 2? 2、 已知函数 y=f(x), y=g(x)的导函数的图象如图, 那么 y=f(x), y=g(x)的图象可能是 ( )



3、下列关于函数 f(x)=(2x-x2)ex 的判断正确的是

(

)

①f(x)>0 的解集是{x|0<x<2};②f(- 2)是极小值,f( 2)是极大值;③f(x)没有最小值, 也没有最大值. A.①③ B.①②③ C.② D.①② )

4、已知函数 f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1 有极大值和极小值,则实数 a 的取值范围是( A.-1<a<2 B.-3<a<6 C.a<-3 或 a>6 D.a<-1 或 a>2 ( )

5、函数 f(x)=2x3-3x2-12x+5 在[0,3]上的最大值和最小值分别是 A.12,-15 B.-4,-15 C.12,-4 D.5,-15 2 6、设 a <b,函数 y ? ( x ? a) ( x ? b) 的图像可能是

7、若函数 y ? f ( x) 的导函数在区间 [ a, b] 上是增函数, ... 则函数 y ? f ( x) 在区间 [ a, b] 上的图象可能是( y y ) y y

o

a

b x

o

a

b x

o

a

b x

o

a

b x

1

8、若函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? x ? 6 在 (0,1) 内单调递减,则实数 a 的取值范围是( A. a ? 1 B. a ? 1 C. a ? 1 D. 0 ? a ? 1 9、 、已知函数 y ? f (x) 的导函数 y ? f ?(x) 的图像如右图,则 ( ) A.函数 f (x) 有 1 个极大值点,1 个极小值点 B.函数 f (x) 有 2 个极大值点,2 个极小值点 C.函数 f (x) 有 3 个极大值点,1 个极小值点 D.函数 f (x) 有 1 个极大值点,3 个极小值点 10、设 a ? R ,若函数 y ? eax ? 3x , x ? R 有大于零的极值点, 则( ) B. a ? ?3 C. a ? ?



A. a ? ?3 11、函数 y ? 4 x 2 ? A. (0,?? )

1 3

D. a ? ?

1 3

1 的单调递增区间是( ) x 1 B. ( ,?? ) C. (??,?1) 2
x

D. (??,? ) ) D. (2,??) )

1 2

12、函数 f ( x) ? ( x ? 3)e 的单调递增区间是( A. (??,2) B. (0,3) C. (1, 4)

选做题:若函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d 的图象如图所示,且 x1 ? x2 ? 0 ,则( A. b ? 0, c ? 0 C. b ? 0, c ? 0 B. b ? 0, c ? 0 D. b ? 0, c ? 0

二、填空题 13、已知 f (x)=x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5),则 f ′(0)为 ___________ 14、设 a?R ,若函数 y ? e x ? ax ( x ? R ) 有大于零的极值点,则 a 的取值范围__________. 15、 某箱子的容积与底面边长 x 的关系为 V ( x) ? x2 ( 时,箱子底面边长为_____________ 1 16、已知函数 f(x)=ax-x4,x∈[ ,1],A、B 是其图象上不同的两点.若直线 AB 的斜率 k 2 1 总满足 ≤k≤4,则实数 a 的值是________. 2
60 ? x 则当箱子的容积最大 ) (0 ? x ? 60) , 2

2

答题卷
一、选择题 1—5______________________6—10_______________________11—12__________ 二、填空题 13_________________________ 14_________________________ 15__________________________ 三、解答题 17、证明不等式:ln(x+1)>x16__________________________

1 2 x 2

9 18、设函数 f ( x) ? x3 ? x2 ? 6x ? a . 2
(Ⅰ)对于任意实数 x , f '( x) ? m 恒成立,求 m 的最大值; (Ⅱ)若方程 f ( x) ? 0 有且仅有一个实根,求 a 的取值范围.

3

19、已知函数 f ( x) ? x3 ? (1 ? a) x2 ? a(a ? 2) x ? b (a, b ? R) . (I)若函数 f ( x ) 的图象 过原点,且在原点处的切线斜率是 ?3 ,求 a , b 的值; (II)若函数 f ( x ) 在区间 (?1,1) 上 不单调,求 a 的取值范围. ...

20、设函数 f ( x) ? x3 ? 3ax ? b(a ? 0) . (Ⅰ)若曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f ( x)) 处与直线 y ? 8 相切,求 a , b 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的单调区间与极值点.

4

21、 (1)证明不等式:ln(x+1)>x-

1 2 x 2
1 3 x3 ? x ? 8 (0<x≤120).已知甲、乙 128000 80

(2) .统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量 y(升)关于行驶速度 x (千米/小时)的函数解析式可以表示为:y=

两地相距 100 千米。 (Ⅰ)当汽车以 40 千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升? (Ⅱ)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升?

5

22、设函数 f ( x) ? xekx (k ? 0) . (1)求曲线 y ? f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程; (2)求函数 f ( x ) 的单调区间; (3)若函数 f ( x ) 在区间 (?1,1) 内单调递增,求 k 的取值范围.

6

答案
18、解析 (1) f ' ( x) ? 3x2 ? 9x ? 6 ? 3( x ?1)( x ? 2) ,

因为 x ? (??, ??) , f ' ( x) ? m , 即 3x2 ? 9 x ? (6 ? m) ? 0 恒成立, 所以 ? ? 81 ? 12(6 ? m) ? 0 , 得 m ? ?

3 3 ,即 m 的最大值为 ? 4 4

(2) 因为 当 x ? 1 时, f ' ( x) ? 0 ;当 1 ? x ? 2 时, f ' ( x) ? 0 ;当 x ? 2 时, f ' ( x) ? 0 ; 所以 当 x ? 1 时, f ( x ) 取极大值 f (1) ?

5 ?a; 2

当 x ? 2 时, f ( x ) 取极小值 f (2) ? 2 ? a ; 故当 f (2) ? 0 或 f (1) ? 0 时, 方程 f ( x) ? 0 仅有一个实根. 解得 a ? 2 或 a ? 19、解析: (Ⅰ)由题意得 f ?( x) ? 3x 2 ? 2(1 ? a) x ? a(a ? 2)

5 . 2

f (0) ? b ? 0 ,解得 b ? 0 , a ? ?3 或 a ? 1 f ?(0) ? ?a(a ? 2) ? ?3 ? (Ⅱ)函数 f (x) 在区间 (?1,1) 不单调,等价于 导函数 f ?(x) 在 (?1,1) 既能取到大于 0 的实数,又能取到小于 0 的实数 即函数 f ?(x) 在 (?1,1) 上存在零点,根据零点存在定理, 有 f ?(?1) f ?(1) ? 0 ,即: [3 ? 2(1 ? a) ? a(a ? 2)][3 ? 2(1 ? a) ? a(a ? 2)] ? 0 整理得: (a ? 5)(a ? 1)(a ? 1) 2 ? 0 ,解得 ? 5 ? a ? ?1 ' 2 20、解: (Ⅰ) f ? x ? ? 3x ? 3a , ∵曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f ( x)) 处与直线 y ? 8 相切,
又?

?

? f ' ? 2 ? ? 0 ?3 ? 4 ? a ? ? 0 ? ?a ? 4, ? ?? ?? ∴? ?8 ? 6a ? b ? 8 ?b ? 24. ? f ? 2? ? 8 ? ? ' 2 (Ⅱ)∵ f ? x ? ? 3 ? x ? a ? ? a ? 0 ? ,
当 a ? 0 时, f
'

? x ? ? 0 ,函数 f ( x) 在 ? ??, ??? 上单调递增,

此时函数 f ( x ) 没有极值点. 当 a ? 0 时,由 f ' ? x ? ? 0 ? x ? ? a ,

? ? 当 x ? ? ? a , a ? 时, f ? x ? ? 0 ,函数 f ( x ) 单调递减, 当 x ? ? a , ?? ? 时, f ? x ? ? 0 ,函数 f ( x ) 单调递增,
' 当 x ? ??, ? a 时, f ? x ? ? 0 ,函数 f ( x ) 单调递增,

'

'

∴此时 x ? ? a 是 f ( x ) 的极大值点, x ?

a 是 f ( x) 的极小
100 ? 2.5 小时, 40

21、解: (I)当 x ? 40 时,汽车从甲地到乙地行驶了 要耗没 (

1 3 ? 403 ? ? 40 ? 8) ? 2.5 ? 17.5 (升) 。 128000 80
7

答:当汽车以 40 千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油 17.5 升。

100 小时,设耗油量为 h( x) 升, x 1 3 100 1 2 800 15 x3 ? x ? 8). ? x ? ? (0 ? x ? 120), 依题意得 h( x) ? ( 128000 80 x 1280 x 4
(II)当速度为 x 千米/小时时,汽车从甲地到乙地行驶了

h '( x) ?

x 800 x3 ? 803 ? ? (0 ? x ? 120). 令 h '( x) ? 0, 得 x ? 80. 640 x 2 640 x 2

当 x ? (0,80) 时, h '( x ) ? 0, h (x )是减函数;当 x ? (80,120)时, h '( x ) ? 0, h (x )是增 函数。 ∴当 x ? 80 时, h( x) 取到极小值 h(80) ? 11.25.因为 h( x) 在 (0,120] 上只有一个极值,所 以它是最小值。 答:当汽车以 80 千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少,最少为 11.25 22、解: (Ⅰ) f
'

? x? ? ?1? kx? ekx , f ' ?0? ? 1, f ?0? ? 0 ,
1 ? k ? 0? , k

曲线 y ? f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程为 y ? x . (Ⅱ)由 f ' ? x ? ? ?1 ? kx ? ekx ? 0 ,得 x ? ? 若 k ? 0 ,则当 x ? ? ??, ? 当 x ?? ?

? ?

1? ' ? 时, f ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 单调递减, k?

? 1 ? , ??, ? 时, f ' ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 单调递增, ? k ? 1? ? ' 若 k ? 0 ,则当 x ? ? ??, ? ? 时, f ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 单调递增, k? ? ? 1 ? ' 当 x ? ? ? , ??, ? 时, f ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 单调递减, ? k ? 1 (Ⅲ)由(Ⅱ)知,若 k ? 0 ,则当且仅当 ? ? ?1 ,即 k ? 1 时,函数 f ? x ? ? ?1,1? 内单 k
调递增, 若 k ? 0 ,则当且仅当 ?

1 ? 1 ,即 k ? ?1 时,函数 f ? x ? ? ?1,1? 内单调递增, k

综上可知,函数 f ? x ? ? ?1,1? 内单调递增时, k 的取值范围是

8


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