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厦门双十中学2015-2016学年新高一入学考试数学试题


厦门双十中学 2015 级高一新生入学考试 数 学 试 题
(满分:150 分;考试时间:120 分钟) 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的.请把答案填涂在答题卷的相应位置. 1. 掷一枚质地均匀的硬币 10 次,下列说法正确的是( ▲ ) A.每 2 次必有 1 次正面向上 C.必有 5 次正面向上 2. 化简 B.可能有 5 次正面向上 D.不可能有 10 次正面向上

2 1 ? 的结果是( ▲ ) x ?1 x ?1 2 2 A. B. 3 x ?1 x ?1
2

C.

2 x ?1

D. 2( x ? 1)

2 3. 已知函数 y ? 2x ? 4x ? 5 ,当 ? 3 ? x ? 2 时,函数值 y 的取值范围是( ▲ )

A. ? 3 ? y ? 1

B. ? 7 ? y ? 1

C. ? 7 ? y ? 11

D. ? 7 ? y ? 11

4. 某工厂为了选拔 1 名车工参加直径为 5 ㎜精密零件的加工技术比赛,随机抽取甲、乙两名车
2 2 工加工的 5 个零件,现测得的结果如下表,平均数依次为 x甲 、 x乙 ,方差依次为 s甲 、 s乙 ,

则下列关系中完全正确的是( ▲ )

A. x甲 < x乙 , C. x甲 = x乙 ,
2

2 2 < s乙 s甲

B. x甲 = x乙 , D. x甲 > x乙 ,

2 2 < s乙 s甲

2 2 > s乙 s甲

2 2 > s乙 s甲

2 5. 若 a , b 是方程 x ? 2 x ? 2015 ? 0 的两根,则 a ? 3a ? b ? ( ▲ )

A.2013

B.2014

C.2015

D.2017

6. 如图在 Rt△ ABC 中, ?ACB ? 90? , ?BAC ? 30? , AD ? 2 ,D 是 AB 边上的一个动点 (不与点 A、B 重合) ,过点 D 作 CD 的垂线交射线 CA 于点 E. 设 AD ? x , CE ? y ,则 下列图象中,能表示 y 与 x 的函数关系所对应的图象是( ▲ )
E A D B C

新高一入学考试数学试题 第 1 页(共 6 页)

7. 如图,抛物线 y1 ? a( x ? 2)2 ? 3 与 y2 ?

1 ( x ? 3) 2 ? 1 交于点 A(1, 3) , 2

过点 A 作 x 轴的平行线, 分别交两条抛物线于点 B,C . 则以下结论: ①无论 x 取何值, y2 的值总是正数; ③当 x ? 0 时, y2 ? y1 ? 4 ; 其中正确的结论序号是( ▲ ) A.①② B.②③ C.③④ D.①④ ② a ? 1; ④ 2 AB ? 3 AC ;

8. 已知 AD 是△ABC 的高(在形内). 给出下列四个条件: ① AB ? BD ? AC ? CD ; ③ AB ? BD ? AC ? CD ; 一定能得到 AB=AC 的有( ▲ )个 A.1 B.2 C.3 D.4 ② AB ? BD ? AC ? CD ; ④ AB : BD ? AC : CD .

二、填空题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.请把答案填在答题卷的相应位置. 9. 在 1? 2 的正方形网格格点上放三枚棋子,按右图所示的位置已放置了两枚棋 子,若第三枚棋子随机放在其他格点上,则以这三枚棋子所在的格点为顶点 的三角形是直角三角形的概率为 ▲ .

10.如图,两个正六边形的边长均为 1,其中一个正六边形的一边恰在另一个正六 边形的对角线上,则这个图形(阴影部分)外轮廓线的周长是 ▲ .

11.某数学活动小组的 20 位同学站成一列做报数游戏,规则是:从前面第一位 同学开始,每位同学依次报自己顺序数的倒数加 1,第 1 位同学报 ? ? 1 ? ,

?1 ?1

? ?

新高一入学考试数学试题 第 2 页(共 6 页)

第 2 位同学报 ?

?1 ? ?1 ? ? 1 ? ,第 3 位同学报 ? ? 1 ? ,?,这样得到的 20 个数的积为 ?2 ? ?3 ?
1 ? y




.

12.设 19 ? 8 3 的整数部分为 x,小数部分为 y,则 x ? y ? 13.阅读下列文字与例题:

.(需要化至最简)

将一个多项式分组后,可提公因式或运用公式继续分解的方法叫分组分解法. 例如:⑴am+an+bm+bn=(am+bm)+(an+bn)=m(a+b)+n(a+b)=(a+b)(m+n) ⑵ x 2 - y 2 - 2 y - 1 = x2 ? ( y 2 ? 2 y ? 1) = x 2 ? ( y ? 1)2 = ( x ? y ? 1)( x ? y ? 1) 试用上述方法分解因式: a 2 ? 2ab ? ac ? bc ? b2 ? ▲ .

14.二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 的图像与 x 轴有两个交点 A, B ,顶点为 C . 若 ?ACB 恰是直角三 角形,则判别式的值是 ▲ .

15.如图,在平面直角坐标系中,Rt△OAB 的顶点 A 的坐标为 (9,0), tan?BOA =

3 ,点 C 的坐标为(2,0) ,点 P 3
▲ .

为斜边 OB 上的一个动点,则 PA+PC 的最小值为

P 到P 16.设 P 1, P 2 ,?, P n 为平面内的 n 个点,在该平面内的所有点中,若点 1, P 2 ,?, P n 点的距
离之和最小,则称点 P 为 P .例如 ,线段 AB 上的任意点都 1, P 2 ,?, P n 点的一个“中位点” 是端点 A, B 的中位点.则有下列命题: ①若 A, B, C 三个点共线, C 在线段 AB 上,则 C 是 A, B, C 的中位点; ②直角三角形斜边的点是该直角三角形三个顶点的中位点; ③若四个点 A, B, C , D 共线,则它们的中位点存在且唯一; ④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点. 其中的真命题是 ▲ .(写出所有真命题的序号)

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 .请在答题 .............. 卷相应题目的答题区域内作答. 新高一入学考试数学试题 第 3 页(共 6 页)

17. (本小题满分 10 分) 小晗家客厅里装有一种三位单极开关,分别控制着 A(楼梯) 、B(客厅) 、C(走廊)三盏 电灯,在正常情况下,小晗按下任意一个开关均可打开对应的一盏电灯,既可三盏、两盏齐 开,也可分别单盏开.因刚搬进新房不久,不熟悉情况. (1)若小晗任意按下一个开关,正好楼梯灯亮的概率是多少? (2)若任意按下其中的两个开关,则正好客厅灯和走廊灯同时亮的概率 是多少?请用树状图或列表加以说明. 18. (本小题满分 10 分) 已知关于 x 的一元二次方程 x 2 ? 2 x ? k ? 1 ? 0 . (1)若此方程有两个不相等的实数根,求实数 k 的取值范围; (2)已知 x=3 是此方程的一个根,求方程的另一个根及 k 的值; (3)当 Rt△ABC 的斜边长 c= 3 ,且两条直角边 a 和 b 恰好是这个方程的两个根时,求 Rt△ABC 的面积. 19. (本小题满分 10 分) ( 1 )在遇到 问题: “钟面上 ,如果把时 针与分针看 作是同一平 面内的两条 线段, 在 2∶00~2 ∶15 之间,时针与分针重合的时刻是多少?”时,小明尝试运用建立函数关 ..... 系 的方法: . ①恰当选取变量 x 和 y.小明设 2 点钟之后经过 x min(0≤x≤15) ,时针、分针分别与竖轴 线(即经过表示“12”和“6”的点的直线,如图 1)所成的角的度数为 y1° 、y2° ; ②确定函数关系.由于时针、分针在单位时间内转动的角度不变,因此既可以直接写出 y1、 y2 关于 x 的函数关系式,也可以画出它们的图象.小明选择了后者,画出了图 2; ③根据题目的要求,利用函数求 解.本题中小明认为求出两个 图象交点的横坐标就可以解决 问题. 请你按照小明的思路解决这个问题. (2)请运用建立函数关系 的方法 ...... 10 9 8 7 6 5 4
竖轴线 y(° )

11 12

1 2 3

9 0 67. 6 5 0 3 0 O 5 1 0 1 2 x(min )

新高一入学考试数学试题 图 第 1 4 页(共 6 页)

图 20 5

解决问题:钟面上,如果把时针与分针看作是同一平面 内的两条线段,在 7∶30~8∶00 之间,时针与分针互相垂直的时刻是多少? 20. (本小题满分 10 分) 观察思考 某种在同一平面进行传动的机械装置如图 14-1,图 14-2 是它的示意图.其工作原理是:滑块 Q 在平直滑道 l 上可以 左右滑动,在 Q 滑动的过程中,连杆 PQ 也随之运动,并且 PQ 带动连杆 OP 绕固定点 O 摆动.在摆动过程中,两连杆的 接点 P 在以 OP 为半径的⊙O 上运动.数学兴趣小组为进一步研 究其中所蕴含的数学知识,过点 O 作 OH ⊥l 于点 H,并测得 OH = 4 分米,PQ = 3 分米,OP = 2 分米. 解决问题 (1)点 Q 与点 O 间的最小距离是 点 Q 与点 O 间的最大距离是 分米; 分米;
O l 图 14-1 Q 连杆 滑道 滑块

H

P

点 Q 在 l 上滑到最左端的位置与滑到最右端位置间 的距离是 分米.
图 14-2

(2)如图 14-3,小明同学说: “当点 Q 滑动到点 H 的位 置时,PQ 与⊙O 是相切的. ”你认为他的判断对吗? 为什么?
P l H (Q)

(3)①小丽同学发现: “当点 P 运动到 OH 上时,点 P 到 l 的距离最小. ”事实上,还存在着点 P 到 l 距离最大 的位置,此时,点 P 到 l 的距离是 分米;
O

图 14-3

②当 OP 绕点 O 左右摆动时,所扫过的区域为扇形, 求这个扇形面积最大时圆心角的度数. 21. (本小题满分 15 分) 在正方形 ABCD 中,对角线 AC,BD 交于点 O,点 P 在线段 BC 上(不含点 B) ,∠BPE=

1 ∠ACB,PE 交 BO 于点 E,过点 B 作 BF⊥PE,垂足为 F,交 AC 于点 G. 2
(1) 当点 P 与点 C 重合时(如图①) .求证:△BOG≌△POE; 新高一入学考试数学试题 第 5 页(共 6 页)

(2)通过观察、测量、猜想:

BF = ▲ ,并结合图②证明你的猜想; PE

(3)把正方形 ABCD 改为菱形,其他条件不变(如图③) ,若∠ACB=α, 求

BF 的值. (用含 α 的式子表示) PE

22. (本小题满分 15 分)

3 x ? c ( a ? 0 )与 x 轴交于 A、B 两点(点 2 3 A 在点 B 的右侧) ,与 y 轴交于点 C,点 A 的坐标为(4,0) ,抛物线的对称轴是直线 x ? . 2
2 如图,在平面直角坐标系中,抛物线 y ? ax ?

(1)求抛物线的解析式; (2)M 为第一象限内的抛物线上的一个点,过点 M 作 MG⊥x 轴于点 G,交 AC 于点 H, 当线段 CM=CH 时,求点 M 的坐标; (3)在(2)的条件下,将线段 MG 绕点 G 顺时针旋转一个角 α(0° <α<90° ) ,在旋转过 程中,设线段 MG 与抛物线交于点 N,在线段 GA 上是否存在点 P,使得以 P、N、G 为顶点的三角形与△ABC 相似?若存在,请求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由.

新高一入学考试数学试题 第 6 页(共 6 页)


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