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解直角三角形典型例题与练习


同角三角函数的基本关系
1、 三角函数 角α 30
0

sin α

cos α

tan α

1 2

3 2 2 2 1 2

3 3
1

45

0

2 2 3 2

60

0

3

① sin A + cos B = 1
2 2

(平方关系)

sin A cos A , cot A = (商的关系) cos A sin A ③ tan A ? cot A = 1 (倒数关系)
② tan A = 2、方向角: 从南北方向线较近的一端起,到目标方向线的夹角,如图所示:射线 OA 为北偏东 60°,射线 OB 为南偏西 30°,此外,东、南、西、北四个方向角平分线分别是东北、东南、西南、西北。

2.坡度和坡角: 坡度

坡角为坡面与水平面的夹角 B

例 1 如图,在 Rt△ ABC 中, ∠ACB = Rt∠ , BC = 1 , AB = 2 ,则下列结论正 确的是( A. sin A = ) A B. tan A = C

3 2
3 2

1 2

C. cos B =

D. tan B = 3

例 2.在 A ABC 中,已知∠C=90°,sinB=

3 ,则 cosA 的值是 5

(

)
B

3 A. 4

4 B. 3
0

3 4 C. D. 5 5
)
b cos B
A α

3.在 RtΔABC 中,∠C=90 ,则下列等式中不正确的是( (A)a=csinA;(B)a=bcotB;(C)b=csinB;(D)c=

C

.

计算:1. 3 sin 60 ? 2 cos 45 + 3 8
0 0

2. 计算 ( ?2) + tan 45 ? 2 cos 60 ;
2 。 。

3.计算: 2 cos 60° ( 2009 ? π ) + 9 ?
0

例 1 如图,已知 AC=1,求 BD。 例 2 如图,已知 中,∠B= 45°,∠C=30°,BC=3+ ,求 AB 的长。

1.在

中,∠C=90°,

,∠A-∠B=30°,试求 的值。

例 1 ?ABC 中,∠B=45°,AB=3,∠C=60 ° ,求 BC 及 ?ABC 的面积.

已知:四边形 ABCD 中,AB=2.8, ∠B=45°, BC=6.7,CD=3.4.求四边形 ABCD 的面积.

2. 如图,在

中,



,D 为 AC 上一点,

,DC=8,求 AB 的长。

2.在直角三角形 ABC 中,如果各边长度都缩小 2 倍,则锐角 A 的正切值和余切值( ) A、都缩小 2 倍; B、都扩大 2 倍; C、都没有变化; D、不能确 5.如图,AB 是斜靠在墙壁上的长梯,梯脚 B 距墙 1.6 米,梯上点 D 距墙 1.4 米,BD 长 0.55 米,则梯子 的长为( ) A、3.85 米; B、4.00 米; C、4.40 米; D、4.50 米

6.在△ABC 中,∠C=90°,BC=3,sinA= A、3 B、4 C、5 D、6

,则 AC 的长是(



7.已知在 Rt△ABC 中,∠C=90°,sinA=

,则 cosB 的值等于(



A、

B、

C、

D、1 )

8.如图 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,CD⊥AB 于 D,BC=3,AC=4,设∠BCD=α,则 tanα的值为(

A、

B、

C、

D、 )

9.在△ABC 中,BC=10,∠B=60°,∠C=45°,则点 A 到边 BC 的距离是( A、10-5 B、5+5 C、15-5 D、15-10 )

10.某人沿倾斜角为β的斜坡前进 100 米,则他上升的最大高度是(

A、



B、100sinβ米 C、



D、100cosβ米

1、 如图, 水库大坝的横断面是梯形, 坝顶宽 6cm,坝高 23cm,斜坡 AB 的坡度 i=1: 斜坡 CD 的坡度 i’=1:2.5. 3, 求斜坡 AB 的坡角 a,坝底宽 AD 和斜坡 AB 的长(精确到 0.1) 2、如图,河对岸有铁塔 AB,在 C 处测得塔顶 A 的仰角为 30?,向塔前进 14 米到达 D,在 D 处测得 A 的 仰角为 45?,求铁塔 AB 的高 A

B

C

A

A

E

F

D

C

D

B

B

D

C

3、如图,在?ABC 中,AD 是 BC 边上的高 tanB=cos∠DAC (1)求证:AC=BD (2)若 sinc=

12 ,BC=12,求 AD 的长 13

4、在一次生存训练中,黄参谋从大本营 A 出发,经过 C、D、E 到达 B 处,如图所示(长度单位:千米) , 求他离大本营的距离 AB。 (精确到 0。1 千米,供选用的数据: 2 = 1.414 , 3 = 1.732, )
60°

B
2

E A
11

D

C

5、如图,临江市为促进本地经济发展,计划修建跨河大桥,需要测出河的宽度 AB,在河边一座高度为 300 米的山顶观测点 D 处测得点 A,点 B 的俯角分别为 a=30?, β =60?.求河的宽度 AB 6、如图,某电视塔 AB 和楼 CD 的水平距离为 100m,从楼顶 C 处及楼底 D 处测得塔顶 A 的仰角分别为 30 和 45?,试求塔高和楼高
D

A

C E
B A E

D

B

A

C E

7、如图,楼 AB 的高是 26 米,从楼顶 A 处测得旗杆顶 C 的俯角是 60?,又从距离楼底 B 处 4 米高的一窗 口 E 处测得旗杆顶 C 的仰角是 45?,求旗杆 CD 的高 6、人民海关缉私巡逻艇在东海执行巡逻任务时,发现在其所处位置 O 点的正北方向 30 海里处的 A 点有 一涉嫌走私船只,正以 40 海里/小时的速度向正东方向航行,为迅速实施检查,巡逻艇航向沿直线 OB, 以 50 海里/小时的速度追赶,在涉嫌船只不改变航向和航速的前提下,问(1)需要几小时才能追上?(2) 确定巡逻艇的追赶方向?


B

D

1.(2010 年毕节地区)在正方形网格中, △ ABC 的位置如图 所示,则 cos ∠B 的值为( B ) A.

A
A O B

a α

C

1 2

B.

2 2

C.

3 2

D.

3 3



B

2.(2010 年浙江省东阳市)如图,为了测量河两岸 A、B 两点的距离,在与 AB 垂直的方向点 C 处测得 AC= a,∠ACB=α,那么 AB 等于 A、a·sinα B、a·tanα ( B ) C、a·cosα D、
a tan α

3.(2010 日照市)11.如图,在等腰 Rt△ABC 中,∠C=90o,AC=6,D 是 AC 上一点,若 tan∠DBA= 则 AD 的长为_______
B

1 , 5

A

C

4.(2010 年福建省晋江市)如图, ∠BAC 位于 6 × 6 的方格纸中,则 tan ∠BAC =

3 2

5.(2010 日照市)15.如图,C 岛在 A 岛的北偏东 50o 方向,C 岛在 B 岛的北偏西 40o 方向,则从 C 岛看 A,B 两岛的视角∠ACB 等于 .

6.(2010 年辽宁省丹东市)计算: 2(2 cos 45° ? sin 60°) +

24 . 4

(2)

7.(2010 重庆市) 已知:如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC= 3 .点 D 为 BC 边上一点,且 BD= 2010 重庆市) 2AD,∠ADC=60°求△ABC 的周长(结果保留根号)

解:∵∠C=90°,∠ADC=60° ∴CD=ACtan30°=1, ∴AD=

AC 2 + CD 2 = 12 + ( 3 ) 2 = 2 . AC 2 + BC 2 = 2 7 ,

∴BD=2AD=4. ∴AB=

∴△ABC 的周长= AB +AC+ BC=5+ 2 7 + 3 . 8.(2010 重庆潼南县)16. 如图所示,小明在家里楼顶上的点 A 处,测量建在与小明家楼房同一水平线上 相邻的电梯楼的高,在点 A 处看电梯楼顶部点 B 处的仰角为 60°,在点 A 处看这栋电梯楼底部点 C 处 的俯角为 45°,两栋楼之间的距离为 30m,则电梯楼的高 BC 为 据: 2 ≈ 1.414 米(精确到 0.1).(参考数

3 ≈ 1.732 )
A

C D

30° 40m

60° F E

G B

11.(2010 年眉山市)23. 如图, 在一次数学课外实践活动中, 要求测教学楼的高度 AB. 小刚在 D 处用高 1.5m 的测角仪 CD,测得教学楼顶端 A 的仰角为 30°,然后向教学楼前进 40m 到达 E,又测得教学楼顶端 A 的仰角为 60°.求这幢教学楼的高度 AB. AG AG AG 解:在 Rt△AFG 中, tan ∠AFG = ∴ FG = = FG tan ∠AFG 3 在 Rt△ACG 中, 又

tan ∠ACG =

CG ? FG = 40 即

AG AG ∴ CG = = 3 AG CG tan ∠ACG AG 3 AG ? = 40 ∴ AG = 20 3 ∴ AB = 20 3 + 1.5 (米) 3

12. ( 年福建省泉州) 12 . 2010 年福建省泉州) 如图,在梯形 ABCD 中, ∠A = ∠B = 90° , AB = 5 2 ,点 E 在 AB 上,

∠AED = 45° , DE = 6 , CE = 7 .
求: AE 的长及 sin ∠BCE 的值.

( sin ∠BCE =

BE 2 2 = ) CE 7

13.(本题满分 8 分)如图是某货站传送货物的平面示意图. 为了提高传送过程的安全性,工人师傅欲减 小传送带与地面的夹角,使其由 45°改为 30°. 已知原传送带 AB 长为 4 米.

(1)求新传送带 AC 的长度; (2)如果需要在货物着地点 C 的左侧留出 2 米的通道,试判断距离 B 点 4 米的货物 MNQP 是否需要挪 走,并说明理由.(说明:⑴⑵的计算结果精确到 0.1 米,参考数据: 2 ≈1.41, 3 ≈1.73, 5 ≈2.24, 6 ≈2.45)

(1)如图,作 AD⊥BC 于点 D

Rt△ABD 中,

AD=ABsin45°=4

×

2 =2 2 2

在 Rt△ACD 中,∵∠ACD=30°∴AC=2AD= 4 2 ≈ 5.6 即新传送带 AC 的长度约为 5.6 米. (2)结论:货物 MNQP 应挪走.在 Rt△ABD 中,BD=ABcos45°=4 在 Rt△ACD 中,CD=AC cos30°=

×

2 =2 2 2

4 2×

3 =2 6 2

∴CB=CD—BD= 2 6 ? 2 2 = 2( 6 ? 2 ) ≈2.1 ∵PC=PB—CB ≈4—2.1=1.9<2 ∴货物 MNQP 应挪走. 14. (2010 年济宁市)如图,是一张宽 m 的矩形台球桌 ABCD ,一球从点 M (点 M 在长边 CD 上)出发 沿 虚 线 MN 射 向 边 BC , 然 后 反 弹 到 边 AB 上 的 P 点 . 如 果

A

B
· N ·

MC = n , ∠CMN = α . 那 么 P 点 与 B 点 的 距 离
为 答案: .

15 (2010 株洲市) (本题满分 8 分) 如图, 直角 ?ABC 中,∠C = 90° ,

m ? n ? tan α tan α

α

D

M

C
A

5 AB = 2 5 ,sin B = , P 为边 BC 上一动点,PD ∥ AB ,PD 点 5
交 AC 于点 D ,连结 AP . (1)求 AC 、 BC 的长;
B P

D C

(2)设 PC 的长为 x , ?ADP 的面积为 y .当 x 为何值时, y 最大,并求出最大值. 16.(2010,浙江义乌)如图 1,已知∠ABC=90°,△ABE 是等边三角形,点 P 为射线 BC 上任意一点(点 P 与点 B 不重合) ,连结 AP,将线段 AP 绕点 A 逆时针旋转 60°得到线段 AQ,连结 QE 并延长交射 线 BC 于点 F. (1)如图 2,当 BP=BA 时,∠EBF= ▲ °,猜想∠QFC= ▲ °; (2)如图 1,当点 P 为射线 BC 上任意一点时,猜想∠QFC 的度数,并加以证明; (3)已知线段 AB= 2 3 ,设 BP= x ,点 Q 到射线 BC 的距离为 y,求 y 关于 x 的函数关系式.

Q Q A A E E B 【答案】 (1) ∠EBF = F P C 30°. ∠QFC = 60° B F P C

(2) ∠QFC =60° 不妨设 BP> 3AB , 如图 1 所示 ∵∠BAP=∠BAE+∠EAP=60°+∠EAP ∠EAQ=∠QAP+∠EAP=60°+∠EAP ∴∠BAP=∠EAQ 在△ABP 和△AEQ 中 AB=AE,∠BAP=∠EAQ, AP=AQ ∴△ABP≌△AEQ(SAS) ∴∠AEQ=∠ABP=90° ∴∠BEF = 180° ? ∠AEQ ? ∠AEB = 180° ? 90° ? 60° = 30° ∴ ∠QFC =∠EBF +∠BEF =30°+30°=60° (事实上当 BP≤ 3AB 时,如图 2 情形,不失一般性结论仍然成立,不分类讨论不扣分)(3) 1 中,过点 F 作 FG⊥BE 于点 G ∵△ABE 是等边三角形 ∴BE=AB= 2 3 ,由(1)得 ∠EBF = 30° 在 Rt△BGF 中, BG = 在图

BE BG ∴BF= ∴EF=2 = 3 =2 2 cos 30° ∵△ABP≌△AEQ ∴QE=BP= x ∴QF=QE+EF = x + 2 过点 Q 作 QH⊥BC,垂足为 H
在 Rt△QHF 中, y = QH = sin 60°iQF = 即 y 关于 x 的函数关系式是: y =

3 ( x + 2) (x>0) 2

3 x+ 3 2

2 一艘轮船自西向东航行,在 A 处测得东偏北 21.3°方向有一座小岛 C,继续向东航行 60 海里到达 B 处, 测得小岛 C 此时在轮船的东偏北 63.5°方向上,之后,轮船继续向东航行多少海里,距离小岛 C 最近?

(参考数据:



3 如图,水池的横断面为梯形 ABCD,迎水坡 BC 的坡角 B 为 30°,背水坡 AD 的坡度

,坝底宽

DC=2.5m,坝高 CF=4.5m。求:(1)坝底 AB 的长;(2)迎水坡 BC 的长;(3)迎水坡 BC 的坡度。

1. 如图,在△ABC 中,∠A=90 ,D 是 AB 上一点,∠ACD=37 ,∠BCD=26 30 ,AC=60,求 AD,CD 及 AB 的长。 (以下数据供选用 sin 37 0 ≈

0

0

0

/

3 4 3 4 , cos 37 0 ≈ , tg 37 0 ≈ , ctg 37 0 ≈ ) 5 5 4 3

2.某船向正东航行,在 A 处望见灯塔 C 在东北方向,前进到 B 处望见灯塔 C 在北偏西 30 ,又航行了 半小时到 D 处,望见灯塔 C 恰在西北方向,若船速为每小时 20 海里。求 A、D 两点间的距离。 (结果不取 近似值) 1(2009 泸州)如图,已知 Rt△ABC 中,AC=3,BC= 4,过直角顶点 C 作 CA1⊥AB,垂足为 A1,再过 A1 作 A1C1⊥BC,垂足为 C1,过 C1 作 C1A2⊥AB,垂足为 A2,再过 A2 作 A2C2⊥BC,垂足为 C2,…,这样一直 做下去,得到了一组线段 CA1,A1C1, C1 A2 ,…,则 CA1= ,

0

C 4 A5 = A5 C5

P E F

30° A 第15题题

45° B

例 1(2009 中山). 如图所示,A、B 两城市相距 100km.现计划在这两座城市间修筑一条高速公路(即线 段 AB) ,经测量,森林保护中心 P 在 A 城市的北偏东 30°和 B 城市的北偏西 45°的方向上.已知森林保护 区的范围在以 P 点为圆心,50km 为半径的圆形区域内.请问计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区. 为什么?(参考数据: 3 ≈ 1.732, 2 ≈ 1.414 )

过关测试
一. 选择题: 1.某天同时同地,小红同学测得 1m 的测竿在地面上影长为 0.8m,小兰同学测得国旗旗杆在地面上的影长 为 9.6m,则国旗旗杆的长为( (A) 10m (B) 12m ). (C) 13m (D) 15m )

2 把一个直角三角形两直角边同时扩大到原来的 2 倍,则其斜边扩大到原来( (A) 1/2 倍 (B) 1 倍 (C) 2 倍 (D) 4 倍 )

3. 在△ABC 中,若 cos A = 2 , tan B =
2

3 ,则这个三角形一定是(

(A)锐角三角形

(B) 直角三角形 (C) 钝角三角形

(D)等腰三角形

4. 在△ABC 中,∠C=90°, sin A =

2 ,则 sinB 的值是( 5 4 5
(D)



(A)

2 3

(B)

2 5

(C)

21 5

5. 如图,铁路路基横断面为一个等腰梯形,若腰的坡度为 i= 2∶3,顶宽是 3 米,路基高是 4 米,则路基的下底宽是( (A) 7 米 (B)9 米 (C)12 米 (D) 15 米 的 交 角 为 )

6. 如图,两条宽度都为 1 的纸条,交叉重叠放在一起,且它们 α,则它们重叠部分(图中阻影部分)的面积为( ) D. 1

1 C. cosα 1 7.已知∠A 为锐角,且 cosA≤ ,那么( 2
A. B.

1 sin α

sin α


(A) 0°<A≤60°(B)60°≤A <90°(C)0°<A≤30°(D)30°≤A<90° 8.已知角α是锐角,且 tgα=1,则角α等于( (A) 30
0

) (D)75
0

(B)45
0

0

(C) 60

0

9.等腰三角形底角为 30 ,底边长为 2 3 ,则腰长是( (A) 4 (B) 2 3 (C) 2 (D)



3 2

10.在 Rt△PMN 中,∠P=Rt∠,sin∠M=( ) (A)

PN PM PN (B) (C) PN MN PM
0

(D)

PM MN
) 3 = 1.7 )(A) < h ≤ 5 ( 3

一棵树的影长为 10 米, 则树高 h 的范围是 ( 11.若太阳光线与地面成 37 角, (B) 5 < h < 10 (C) 10 < h < 15 (D) h > 15

12.已知:如图,在△ABC 中,AB=AC,∠C=30 ,AB⊥AD, AD=2cm。则 BC 的长等于( (A)8cm 二. 填空题: 1.在 Rt△ABC 中,AB 是斜边,AB= 6 ,BC= 2 ,则 cos A=__ __. (B) 6cm (C)4cm (D)2cm

0



2. 小明放一线长 125 米的风筝, 他的风筝线与水平地面构成 39?角, 他的风筝高为 3. 若一个等腰三角形的两边长分别为 2cm 和 6cm,则底边上的高为__________cm, 底角的余弦值为__________。 4.酒店在装修时,在大厅的主楼梯上铺设某种红色地毯,已知这种地毯每平方 米售价 30 元, 主楼梯宽 2 米, 其侧面如图所示, 则购买地毯至少需要__________ 元。 5.利用计算器求值(保留四位有效数字) : (1) cos 75 12 =___
0 ' 0



0

'

__; (2) tan 44 18' __
'

0

___.
0 ' 0 '

(3) sin 35 12 + cos 26 35 =

(4) tan 28 53 + cos 45 18 =
0

6.如图,厂房屋顶人字架(等腰三角形)的跨度 AC=20m,∠A=26 ,D 为底边 AC 的 中点,则中柱 BD= m, (精确到 0.01 m)

(下列数据供选用: sin 62 0 = 0.4226 , tg 26 0 = 0.4877 ) 。 三. 解答题 1. 计算 3tan 30?+cot 45?-2tan45?+2cos60? 2.如图,一梯子 AB 长 25m,顶端 A 斜靠在墙 AC 上,梯子底端离墙 7m,则梯子的顶端离地面多少米?如果梯 子的底端在水平面上向墙外滑动 8m,则梯子的底端下滑多少米?
A
2 2

A
E

C
C B D

30°

E B

D

3.如图,有一位同学用一个有 30°角的直角三角板估测他们学校的旗杆 AB 的高度.他将 30°角的直角 边水平放在 1.3 米高的支架 CD 上,三角板的斜边与旗杆的顶点在同一直线上,他又量得 D、B 的距离为 15

米. (l)试求旗杆 AB 的高度(精确到 0.l 米) ; (2)请你设计出一种更简便的估测方法. 4.如图,在高楼前 D 点测得楼顶的仰角为 30° ,向高楼前进 60 米到 C 点,又测得仰角为 45° ,则该高楼 的高度大约是多少米?(精确到 0.01 米)
A

30°

45°

D

C

B

5. 一艘轮船自西向东航行, A 处测得东偏北 21.3°方向有一座小岛 C, 在 继续向东航行 60 海里到达 B 处, 测得小岛 C 此时在轮船的东偏北 63.5°方向上.之后,轮船继续向东航行多少海里,距离小岛 C 最近? (参考数据:sin21.3°≈

9 25

,t an21.3°≈

2 5

, sin63.5°≈

9 10

,tan63.5°≈2)


C


A

B

6.某船向正东航行,在 A 处望见灯塔 C 在东北方向,前进到 B 处望见灯塔 C 在北偏西 30 ,又航行了 半小时到 D 处,望见灯塔 C 恰在西 北方向,若船速为每小时 20 海里。求 A、D 两点间的距离。 (结果不取 近似值)

0

一. 选择题: 1. B 2. C 3. A 4. D 5. D6.A 7.B 8.B 9.C 10.C 11.B 12.B 二. 填空题:

1.

6 2.125sin39° 3. 3

4. 504,利用平移线段,把楼梯的横竖向上向左平移,构成一个

矩形,长宽分别为 5.8 米,2.6 米,则地毯的长度为 2.6+5.8=8.4 米,地毯的面积为 8.4×2=16.8 平方米, 则买地毯至少需要 16.8×30=504 元。 5.0.2554, 0.9759 , 1.4 71, 1.255 6.4.88 三. 解答题: 1.1

A

C D

30°

E B

2.24,5 3. 解:(1) AB=AE+BE=CEtan30 +BE
0

= 15 ×

3 + 1.3 ≈ 10.0 3 (米)
0

答:旗杆 AB 的高度约为 10.0 米。 (2) 用 45°角的直角三角板估测,则 AB=AE+BE=AEtan45 +BE=DB+BE 4.81.96 5.解:过 C 作 AB 的垂线,交直线 AB 于点 D,得到 Rt△ACD 与 Rt△BCD. 设 BD=x 海里, 在 Rt△BCD 中,tan∠CBD= ∴CD=x ·tan63.5°. C

CD BD

, A B D

在 Rt△ACD 中,AD=AB+BD=(60+x)海里,tanA= ∴CD=( 60+x ) ·tan21.3°. ∴x·tan63.5°=(60+x)·tan21.3°,即 2 x = 解得,x=15. 答:轮船继续向东航行 15 海里,距离小岛 C 最近 6. 30+10 3

CD AD



2 5

( 60 + x ) .



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