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2018版人教B版必修一课后作业:第二章 函数 2-2-2 含答案 精品

2.2.2 学习目标 二次函数的性质与图象 1.掌握二次函数的概念,能用“描点法”作二次函数的图象.2.掌握二次函数解 析式的基本形式,会求二次函数图象的对称轴及顶点坐标.3.会根据图象研究二次函数的性 质.4.会求二次函数在给定区间上的最值. 知识点一 二次函数的概念 思考 结合一次函数的特征,请给出二次函数的定义、定义域? 答案 函数 y=ax2+bx+c(a≠0)叫二次函数,定义域为 R. 梳理 1.二次函数的定义 函数 y=ax2+bx+c(a≠0)叫做二次函数,定义域为 R. 2.二次函数的解析式 (1)一般式:y=ax2+bx+c(a≠0). (2)顶点式:y=a(x-h)2+k,其中(h,k)为顶点. (3)两根式:y=a(x-x1)(x-x2),其中 x1,x2 为方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根. 知识点二 二次函数的图象与性质 思考 1 二次函数的图象是一条抛物线,那么哪一个是影响图象的开口方向? 答案 x2 的系数 a 影响开口方向. 思考 2 二次函数的图象是轴对称图形,那么对称轴的位置与哪些量有关?对称轴方程是什 么? 答案 对称轴的位置与 a,b 两个量有关. b 对称轴为 x=- . 2a 梳理 二次函数的性质与图象 a>0 a<0 图象 图象 特点 b (1)对称轴:x=- 2a 2 b 4ac-b ? (2)顶点:?- , 4a ? ? 2a 定义域 值域 奇偶性 R ?4ac-b ,+∞? ? 4a ? ?-∞,- b ?为减区间, 2a? ? ?- b ,+∞?为增区间 ? 2a ? 抛物线有最低点, b 当 x=- 时,y 有最小值 ymin= 2a 4ac-b2 4a 2 ?-∞,4ac-b ? 4a ? ? ?-∞,- b ?为增区间, 2a? ? ?- b ,+∞?为减区间 ? 2a ? 抛物线有最高点, b 当 x=- 时,y 有最大值 ymax= 2a 4ac-b2 4a 2 b=0 时为偶函数,b≠0 时为非奇非偶函数 单调性 最值 类型一 二次函数的图象 例 1 画出函数 f(x)=-x2+2x+3 的图象,并根据图象回答下列问题: (1)比较 f(0),f(1),f(3)的大小; (2)若 x1<x2<1,比较 f(x1)与 f(x2)的大小; (3)由图象判断 x 为何值时,y>0,y=0,y<0. 解 f(x)=-x2+2x+3=-(x-1)2+4 的图象如图所示. (1)由图可知, 二次函数 f(x)的图象对称轴为 x=1 且开口向下, 且|0-1|<|3-1|, 故 f(1)>f(0) >f(3). (2)∵x1<x2<1, ∴|x1-1|>|x2-1|, ∴f(x1)<f(x2). (3)由图可知: 当 x>3 或 x<-1 时,y<0; 当 x=-1 或 x=3 时,y=0; 当-1<x<3 时,y>0. 反思与感悟 观察图象主要是把握其本质特征: 开口方向决定 a 的符号, 在 y 轴上的交点决 b 定 c 的符号(值),对称轴的位置决定- 的符号.另外,还要注意与 x 轴的交点,函数的单 2a 调性等,从而解决其他问题. 跟踪训练 1 已知二次函数 y=2x2-4x-6. (1)画出该函数的图象,并指明此函数图象的开口方向,对称轴及顶点坐标; (2)由图象判断 x 为何值时,y>0,y=0,y<0. 解 (1)由 y=2x2-4x-6=2(x-1)2-8, 图象如图: 由图象可知,函数图象开口向上, 对称轴是直线 x=1,顶点坐标是(1,-8). (2)由图象可知,x>3,或 x<-1 时,y>0; x=-1 或 x=3 时,y=0;-1<x<3 时,y<0. 类型二 二次函数的对称性与单调性 例 2 已知函数 f(x)=x2-ax 的单调增区间为(2,+∞). (1)求参数 a 的值;(2)求对称轴方程;(3)求在 R 上的最小值. a a2 解 (1)∵f(x)=x2-ax=(x- )2- , 2 4 a ? ∴f(x)的单调增区间为? ?2,+∞?. 又 f(x)的单调增区间为(2,+∞), a ∴ =2 即 a=4. 2 (2)对称轴方程为 x=2. (3)f(x)min=f(2)=-4. 引申探究 1.若 f(x)=x2-ax 在(2,+∞)上单调递增,则 a 的取值范围为________. 答案 (-∞,4] a 解析 ∵ ≤2,∴a≤4. 2 2.若 f(x)=x2-ax 在[1,3]上单调,求 a 的范围. 解 ∵f(x)=x2-ax 在[1,3]上单调, a ∴区间必在对称轴 x= 的一侧, 2 a a ∴ ≤1 或 ≥3, 2 2 ∴a≤2 或 a≥6, 即 a∈(-∞,2]∪[6,+∞). 反思与感悟 (1)利用二次函数的单调性求参数的取值范围的方法 已知函数的单调性,求函数解析式中参数的范围,是函数单调性的逆向思维问题.解答此类 问题的关键在于借助于函数的对称轴,通过集合间的关系来建立变量间的关系. (2)比较二次函数函数值的大小的方法 ①若抛物线开口向上,则离对称轴越近,函数值越小. ②若抛物线开口向下,则离对称轴越近,函数值越大. 1 跟踪训练 2 已知函数 y=ax2+(a-1)x+ 在[1,+∞)上是减函数,求 a 的范围. 4 1 解 (1)当 a=0 时,y=-x+ 在[1,+∞)上是减函数. 4 a-1 ? (2)当 a>0 时,在?- ? 2a ,+∞?上为增函数,不合题意. a-1 ? (3)当 a<0 时,在?- ? 2a ,+∞?上为减函数, a-1 1 ∴- ≤1,即 a≤ , 2a 3 ∴a<0. 综上所述 a∈(-∞,0]. 类型三 二次函数在给定区间上的最值的求法 例 3 求二次函数 f(x)=x2-2ax+2 在[2,4]上的最小值. 解 ∵f(x)=x2-2ax+2 的对称轴为 x=a 且开口向上. ∴①当 a≤2 时,f(

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