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1.1.1 正弦定理


第一章 解三角形
1.1 正弦定理和余弦定理

1.1.1 正弦定理

为了测定河岸A点到对岸C点的距离,在岸边选定1公 里长的基线AB,并测得∠ABC=120o,∠BAC=45o,如何求 A,C两点的距离呢?

.C

.A

.B

1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索,

掌握正弦定理的内容及其证明方法.
2.会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三

角形的两类基本问题.(重点、难点)

探究点1 正弦定理 在初中,我们已学过如何解直角三角形,下面首先 来探讨直角三角形中角与边的等式关系.
A

解析:如图,在RtΔABC中,设BC = a,AC = b, C B a AB = c,根据直角三角形中正弦函数的定义,有 = sinA, c b c a b c = sinB,sinC = 1 = ,则 = = =c c c sinA sinB sinC a b c 从而在RtΔABC中,有 = = . sinA sinB sinC

思考:对于任意的三角形,以上关系式是否仍然成立?

解析:(1)锐角三角形
当ΔABC是锐角三角形时,设边AB上的高是CD, 根据任意角三角函数的定义,有CD = asinB = bsinA, C a b 则 = sinA sinB a b c b 同理可得 = sinB sinC a b c B A 从而 = = . D sinA sinB sinC

(2)钝角三角形

C

如右图,类比锐角三角形,请同
学们自己推导.

a b

B
可证得,当ΔABC是钝角三角形时,也有

A

D

a b c = = . sinA sinB sinC

探究点2 其他推导方法

因为涉及边长问题,从而可以考虑用向量来研究此问题 .

? ?? ? ? ?? ? 作单位向量j⊥AC, j与AB夹角为锐角. ? ?? ? ?? ? ?? ? j 由向量的加法可得AB = AC + CB, ? ?? ? ? ?? ? ?? ? a 则j · AB = j ·( AC + CB ), ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? B 所以j · AB = j · AC + j · CB

C b A

? ?? ? ? ?? ? j AB cos(90° - A) = 0 + j CB cos(90° - C), a c 所以c·sinA = a·sinC,即 = , sinA sinC ? ?? ? ? ?? ? 同理,作j⊥BC, j与AC夹角为锐角. b c a b c 可得 = ,从而 = = . sinB sinC sinA sinB sinC

外接圆法

B a c ·O

c c ' 如图:?C=?C , ? ? 2 R. ' sin C sin C
如下图所示同理:

C
b

A b a ? 2 R, ? 2 R. 即得 : C′ sin B sin A a b c ? ? ? 2 R.? R为三角形外接圆的半径 ? . sin A sin B sin C A C c B B` b aO C

O a b B c A` A

一、正弦定理: 在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等, a b c ? ? . 即 sin A sin B sin C 注意:(1)正弦定理指出了任意三角形中三条边与对应角 的正弦之间的一个关系式.由正弦函数在区间上的

单调性可知,正弦定理非常好地描述了任意三角形
中边与角的一种数量关系. a b c ? ? , 等价于 ? 2? sin A sin B sin C a b b c a c ? , ? , ? . sin A sin B sin B sin C sin A sin C

探究点3 正弦定理的基本作用

(1)已知三角形的任意两角与一边,求其他的边, b sin A 如 a? . sin B

(2)已知三角形的任意两边与其中一边 的对角可以求其他角的正弦值, a 如 sin A= sin B. b

二、解三角形

1.一般地,把三角形的三个角A,B,C和它们的对
边a,b,c叫做三角形的元素. 2.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做 解三角形.

例1

在△ABC中,已知A=32.0°,B=81.8°,a

=42.9 cm,解三角形.

解:根据三角形内角和定理,

C ? 180? ? ? A ? B? ? 180? ? ? 32.0? ? 81.8? ? ? 66.2?.
a sin B 42.9sin81.8? 根据正弦定理,b= = ? 80.1 (cm); sin A sin 32.0? a sin C 42.9sin 66.2? 根据正弦定理,c= = ? 74.1 (cm). sin A sin 32.0?

例2

在△ABC中,已知a=20cm,b=28cm,A=40°,

解三角形(角度精确到1°, 边长精确到1 cm).

bsinA 28sin40° 解:根据正弦定理,sinB = = ? 0.899 9. a 20 因为0° <Β< 180°,所以B ? 64°,或B ? 116°.
(1)当B ? 64° 时,C = 180° (A + B) ? 180° (40° + 64°) = 76°, asinC 20sin76° c= = ? 30(cm). sinA sin40° 注意精确度

(2)当B ? ????时,C=180? ? (A+B) ? 180? ? (40? ? 116?) =24?, a sin C 20sin 24? c= = ? 13 (cm). sin A sin 40?

三、已知边a,b和角A,求其他边和角的各种类型. 1.A为锐角 C b A a

C b A
a

C b
B2

C a A B1
a≥b 一解 b a

B A
a=bsinA 一解



a<bsinA 无解

bsinA<a<b 两解

2.A为钝角
C b A C B a>b 一解 b A

a

a

a≤b 无解

A为直角时,与A为钝角相同, a>b时,一解;

a≤b时,无解.

1.△ABC 中,sin2A=sin2B+sin2C,则△ABC 为( A ) A.直角三角形? C.等边三角形 B.等腰直角三角形? D.等腰三角形

2.在△ABC中,b= 则此三角形有( A. 一解

3 ,B=60°,c=1,

A

) C. 无解 D. 不确定

B. 两解

3. (2014·湖北高考 )在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边 分别为 a,b,c.已知 A=
π 6 ,a=1,b= 3 ,则
1

B=

.
3 sinB= 2 ,

3 【解析】依题意 ,由正弦定理知 sin? = sin B ,得出

6

由于 0<B<π , 所以 B= 3 或 答案 :
?
3

?

2? 3

.



2? 3

3 5 4.在Δ ABC中,已知sinA = ,cosB = , 5 13 求sinC. 5 12 3 解:因为cosB = ,B ?(0, π),所以sinB = .又sinA = , 13 13 5 a b 所以sinA < sinB, 由正弦定理 = 可知 sinA sinB 4 a < b,所以A < B,所以A只能为锐角,所以cosA = . 5 63 所以sinC = sin(A + B)= . 65

a b c ? ? 1.正弦定理 sin A sin B sin C
它是解三角形的工具之一. 2.应用正弦定理可以解以下两种类型的三角形: (1)已知两角及任意一边;

(2)已知两边及其中一边的对角.

饭可以一日不吃,觉可以一日不睡,书不 可以一日不读. ———毛泽东



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