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2017届高考数学(文)一轮复习讲练测:专题4.7 正弦定理和余弦定理的应用(讲).doc


2017 年高考数学讲练测【新课标版文】 【讲】 第四章 三角函数与解三角形 第 07 节 正弦定理和 余弦定理的应用

【课前小测摸底细】 1. 【课本典型习题,必修 5 习题第 69 页第 2 题改编】如图,测量河对岸的塔高 AB 时,可 以选与塔 底 B 在同一水平面内的两个测点 C 与 D .现测得 ?BCD ? ?,?BDC ? ?,CD ? s ,并 在点 C 测得塔顶

A 的仰角为 ? ,求塔高 AB .

【答案】 AB ? BC tan ?ACB ?

s ? tan ? sin ? sin(? ? ? )
BC CD . ? sin ?BDC sin ?CBD

【解析】在 △BCD 中, ?CBD ? π ? ? ? ? .由正弦定理得: 所 以

BC ?

CD sin ? BDC s? sin? ? sin ?CBD sin( ? ?? ) s ? tan? sin? . sin(? ? ? )





Rt△ ABC





AB ? BC tan ? ACB?

2. 【2015 高考湖北,理 13】如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到 A 处时测 得公路北侧一山顶 D 在西偏北 30? 的方向上,行驶 600m 后到达 B 处,测得此山顶在西偏北
75? 的方向上,仰角为 30? ,则此山的高度 CD ?

m.

【答案】 100 6

3. 【2016 河北衡水】某工厂实施煤改电工程防治雾霾,欲拆除高为 AB 的烟囱,测绘人员 取 与 烟 囱 底 部 B 在 同 一 水 平 面 内 的 两 个 观 测 点 C, D , 测 得

?BCD ? 75? , ?BDC ? 60? , CD ? 40 米,并在点 C 处的正上方 E 处观测顶部 A 的仰角为
30? ,且 CE ? 1 米,则烟囱高 AB ?
【答案】 20 2 ? 1 【 解 析 】 ?CBD ? 180? ? ?BCD ? ?BDC ? 45? , 在 ?CBD 中 , 根 据 正 弦 定 理 得 米.

BC ?

CD sin ?BDC sin ?CBD
,∴ AB ? 1 ? tan 30 ? BC ? 1 ? 20 2 (米) ,故答案为: 20 2 ? 1 .
?

? 20 6

4. 【基础经典题】如图,为了解某海域海底构造,在海平面内一条直线上的 A,B,C 三点 进行测量,已知 AB=50 m,BC=120 m,于 A 处测得水深 AD=80 m,于 B 处测得水深 BE =200 m,于 C 处测得水深 CF=110 m,则∠DEF 的余弦值为( )

16 A. 65 16 C. 57 【答案】A 【解析】

19 B. 65 17 D. 57

如图所示, 作 DM∥AC 交 BE 于 N, 交 CF 于 M.DF= MF2+DM2= 302+1702=10 298(m), DE = DN2+EN2 = 150(m). 在△DEF 中,由余弦定理, DE2+EF2-DF2 1302+1502-102× 298 16 得 cos ∠DEF= = = .故选 A. 2DE× EF 2× 130× 150 65 5.【改编自 2013 年江苏卷】如图, 旅客从某旅游区的景点 A 处下山至 C 处有两种路径.一种是 从 A 沿直线步行到 C ,另一种从 A 沿索道乘缆车到 B ,然后从 B 沿直线步行到 C .现有甲、 乙两位游客从 A 处下山, 甲沿 AC 匀速步行, 速度为 50 m/min, 在甲出发 2 min 后, 乙从 A 乘缆车到 B ,在 B 处停留 1 min 后,再从 B 匀速步行到 C . 假设缆车匀速直线运动的速度 为 130 m/min,山路 AC 长 1260 m ,经测量, cos A ? 502+1202 = 130(m) , EF = ?BE-FC?2+BC2 = 902+1202 =

12 , 13

cos C ?

3 . 5

(1)求索道 AB 的长; (2)问乙出发后多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?

35 (min)时,甲、乙两游客距离最短. 37 12 3 5 4 【解析】(1)在 ?ABC 中,∵ cos A ? , cos C ? ,∴ sin A ? , cos C ? , 13 5 13 5
【答案】(1)1040m;(2)当 t ?





5 3 1 2 4 6 3 .? o ? ? s i An ( C ? ) As i C ? n c s ? c o? 1 3 5 1 3 5 6 5 AB AC AC 1260 4 由正弦定理 ,得 AB ? ? ? sin C ? ? ? 1040 ,所以索道 AB 的长 63 5 sin C sin B sin B 65 s iB ? n

? s ? i A n ?[C

? (

A )? C ]

为 1040(m). (2)假设乙出发 t 分钟后,甲、乙两游客距离为 d ,此时,甲行走了 (100 ? 50t ) m,乙距 离 A 处 130t m, 由 余 弦 定 理 得

d 2 ? (100 ? 50t ) 2 ? (130t ) 2? 2 ?130t ? (100 ? 50t ) ?
∵0 ? t ?

12 ? 200(37t 2 ? 70t ? 50) , 13

1040 35 ,即 0 ? t ? 8 ,故当 t ? (min)时,甲、乙两游客距离最短. 130 37

【考点深度剖析】 高考对正弦定理和余弦定理应用的考查, 主要是利用定理等知识和方法解决一些与测量和几 何计算有关的问题,要去弄懂有关术语,认真理解题意,难度不大. 【经典例题精析】 考点 1 测量距离问题 【题组全面展示】 【1-1】 【2015 济宁模拟】如图,经过村庄 A 有两条夹角为 60°的公路 AB,AC,根据规划 拟在两条公路之间的区域内建一工厂 P,分别在两条公路边上建两个仓库 M,N(异于村庄 A),要求 PM=PN=MN=2(单位:千米).如何设计,使得工厂产生的噪声对居民的影响最 小(即工厂与村庄的距离最远)?

【解析】 设∠AMN=θ,在△ AMN 中,

MN AM = . sin60° sin(120° -θ) 4 3 因为 MN=2,所以 AM= sin(120° -θ). 3 在△ APM 中,cos∠AMP=cos(60° +θ). AP2=AM2+MP2-2AM· MP· cos∠AMP = 16 2 4 3 16 16 3 sin (120° - θ) + 4 - 2× 2× sin(120° - θ)cos(60° + θ) = sin2(θ + 60 ° ) - sin(θ + 3 3 3 3

60°)cos(θ+60°)+4 8 8 3 = [1-cos(2θ +120°)]- sin(2θ+120°)+4 3 3 8 20 =- [ 3sin(2θ+120° )+cos(2θ+120°)]+ 3 3 20 16 = - sin(2θ+150°),θ ∈(0,120°). 3 3 当且仅当 2θ+150°=270°,即 θ=60°时,AP2 取得最大值 12,即 AP 取得最大值 2 3, 此时 AM=AN=2 千米. 【1-2】如图所示,要测量一水塘两侧 A,B 两点间的距离,其方法先选定适当的位置 C,用 经纬仪测出角 α,再分别测出 AC,BC 的长 b,a,则可求出 A,B 两点间的距离.即 AB= a2+b2-2abcos α.若测得 CA=400 m,CB=600 m,∠ACB=60° ,试计算 AB 的长.

【答案】 200 7 【解析】在△ ABC 中,由余弦定理得 AB2=AC2+BC2-2AC· BCcos ∠ACB, ∴AB2=4002+6002-2× 400× 600cos 60° =280 000.∴AB=200 7 m. 即 A,B 两点间的距离为 200 7 m. 【1-3】如图所示,A,B 两点在一条河的两岸,测量者在 A 的同侧,且 B 点不可到达,要测 出 AB 的距离,其方法在 A 所在的岸边选定一点 C,可以测出 AC 的距离 m,再借助仪器, 测出∠ACB=α,∠CAB=β,在△ABC 中,运用正弦定理就可以求出 AB.若测出 AC=60 m, ∠BAC=75° ,∠BCA=45° ,则 A,B 两点间的距离为________.

【答案】 20 6

AB AC 【解析】∠ABC=180° -75° -45° =60° ,所以由正弦定理得, = , sin C sin B AC· sin C 60× sin 45° ∴AB= = =20 6(m).即 A,B 两点间的距离为 20 6 m. sin B sin 60° 【课本回眸】 实际问题中的有关概念 (1)仰角和俯角:在视线和水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫仰角,在水平线下 方的角叫俯角(如图 1).

(2)方位角:从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如 B 点的方位角为 α(如图 2). (3)方向角:相对于某一正方向的水平角(如图 3) ①北偏东 α° 即由指北方向顺时针旋转 α° 到达目标方向. ②北偏西 α° 即由指北方向逆时针旋转 α° 到达目标方向. ③南偏西等其他方向角类似.

(4)坡度: ①定义:坡面与水平面所成的二面角的度数(如图 4,角 θ 为坡角). ②坡比:坡面的铅直高度与水平长度之比(如图 4,i 为坡比). 【方法规律技巧】 研究测量距离问题,解决此问题的方法是:选择合适的辅助测量点,构造三角形,将问题转 化为求某个三角形的边长问题,从而利用正、余弦定理求解.归纳起来常见的命题角度有: ? 1? 两点都不可到达; ? 2? 两点不相通的距离; ? 3? 两点间可视但有一点不可到达. 【新题变式探究】 【变式一】某港口 O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时, 轮船位于港口 O 北偏西 30°且与该港口相距 20 n mile 的 A 处, 并以 30 n mile/h 的航行速度 沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以 v n mile/h 的航行速度匀速行驶,经过 t h 与轮船相遇.

(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少? (2)假设小艇的最高航行速度只能达到 30 n mile/h,试设计航行方案(即确定航行方向和 航行速度的大小),使得小艇能以最短时间与轮船相遇,并说明理由. 【解析】解法一:(1)设相遇时小艇航行的距离为 S n mile,则 S= 900t2+400-2· 30t· 20· cos(90°-30°) = 900t2-600t+400= 1 2 t- ? +300, 900? ? 3?

1 10 3 故当 t= 时,Smin=10 3,此时 v= =30 3. 3 1 3 即小艇以 30 3 n mile/h 的速度航行,相遇时小艇的航行距离最小.

解法二:(1)若相遇时小艇的航行距离最小,又轮船沿正东方向匀速行驶,则小艇航行方向 为正北方向. 设小艇与轮船在 C 处相遇. 在 Rt△OAC 中,OC=20cos30°=10 3,AC=20sin30°=10. 又 AC=30t,OC=vt, 10 1 10 3 此时,轮船航行时间 t= = ,v= =30 3. 30 3 1 3 即小艇以 30 3 n mile/h 的速度航行,相遇时小艇的航行距离最小. (2)假设 v=30 时,小艇能以最短时间与轮船在 D 处相遇,此时 AD=DO=30t.

2 又∠OAD=60°,所以 AD=DO=OA=20,解得 t= . 3 据此可设计航行方案如下: 航行方向为北偏东 30°,航行速度的大小为 30 n mile/h.这样,小艇能以最短时间与轮船相 遇.

证明如下: 如图,由(1)得 OC=10 3,AC=10, 故 OC>AC,且对于线段 AC 上任意点 P,有 OP≥OC>AC. 而小艇的最高航行速度只能达到 30 n mile/h,故小艇与轮船不可能在 A,C 之间(包含 C)的 任意位置相遇. 设∠COD=θ(0°<θ<90°),则在 Rt△COD 中, 10 3 CD=10 3tanθ,OD= . cosθ 由于从出发到相遇,轮船与小艇所需要的时间分别为 t= 10+10 3tanθ 10 3 = . 30 vcosθ 15 3 由此可得,v= . sin(θ+30°) 又 v≤30,故 sin(θ+30°)≥ 3 ,从而,30°≤θ<90° . 2 3 . 3 10+10 3tanθ 10 3 和 t= ,所以 30 vcosθ

由于 θ=30°时,tanθ 取得最小值,且最小值为

10+10 3tanθ 2 于是,当 θ=30°时,t= 取得最小值,且最小值为 . 30 3 考点 2 测量高度问题 【2-1】如图,从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B,C 的俯角分别为 67°,30°,此时 气球的高是 46 m, 则河流的宽度 BC 约等于________m. (用四舍五入法将结果精确到个位. 参 考数据:sin67°≈0.92,cos67°≈0.39,sin37°≈0.60,cos37°≈0.80, 3≈1.73)

【答案】60 【解析】如图所示,过 A 作 AD⊥CB 且交 CB 的延长线于 D. 在 Rt△ADC 中,由 AD=46 m,∠ACB=30°得 AC=92 m. 在△ ABC 中,∠BAC=67°-30° =37° ,∠ABC=180°-67° =113° ,AC=92 m, AC BC 由正弦定理 = , sin∠ABC sin∠BAC 得 92 BC 92 BC = ,即 = , sin113° sin37° sin67° sin37°

92sin37° 解得 BC= ≈60 m. sin67° 【2-2】要测量电视塔 AB 的高度,在 C 点测得塔顶 A 的仰角是 45° ,在 D 点测得塔顶 A 的 仰角是 30° ,并测得水平面上的∠BCD=120° ,CD=40 m,求电视塔的高度.

【答案】B

【2-3】如图,在坡度一定的山坡 A 处测得山顶上一建筑物 CD(CD 所在的直线与地平面垂 直)对于山坡的斜度为 α, 从 A 处向山顶前进 l 米到达 B 后, 又测得 CD 对于山坡的斜度为 β, 山坡对于地平面的坡角为 θ.

(1)求 BC 的长; (2)若 l=24,α=15° ,β=45° ,θ=30° ,求建筑物 CD 的高度. 【答案】 (1) BC ?

l sin ? ; (2) CD ? 24 ? 8 3 . sin( ? ? ? )
BC AB , ? sin ?BAC sin ?ACB

【解析】 (1)在 ?ABC 中, ?ACB ? ? ? ? ,根据正弦定理得 所以 BC ?

l sin ? . sin( ? ? ? )

(2)由(1)知 BC ?

l sin ? 24 ? sin15? ? ? 12( 6 ? 2) 米. sin( ? ? ? ) sin 30?

在 ?BCD 中, ?BDC ? 根据正弦定理得

?
2

?

?
6

?

3 2? , sin ?BDC ? , 2 3

BC CD , ? sin ?BDC sin ?CBD

所以 CD ? 24 ? 8 3 米. 21 11 3 【2-4】如图所示,已知树顶 A 离地面 米,树上另一点 B 离地面 米,某人在离地面 米的 2 2 2 C 处看此树,则该人离此树________米时,看 A,B 的视角最大.

【答案】6 【解析】

过 C 作 CF⊥AB 于点 F,设∠ACB=α,∠BCF=β, 21 11 11 3 21 3 由已知得 AB= - =5(米),BF= - =4(米),AF= - =9(米). 2 2 2 2 2 2 AF 9 BF 4 则 tan(α+β)= = ,tan β= = , FC FC FC FC 9 4 - tan?α+β?-tan β FC FC 5 ∴tan α=[(α+β)-β]= = = ≤ 36 36 1+tan?α+β? tanβ 1+ 2 FC+ FC FC 2 36 当且仅当 FC= ,即 FC=6 时,tan α 取得最大值, FC 此时 α 取得最大值. 【新题变式探究】 【变式一】如图所示,在山顶铁塔上 B 处测得地面上一点 A 的俯角为 α,在塔底 C 处测得 A 处的俯角为 β.已知铁塔 BC 部分的高为 h,求出山高 CD. 5 5 = . 12 36 FC· FC

【答案】

h cos ? sin ? sin(? ? ? )

【变式二】如图所示,测量河对岸的塔高 AB 时,可以选与塔底 B 在同一水平面内的两个 测点 C 与 D ,现测得 ?BCD ? ? , ?BDC ? ? , CD ? s ,并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 ? , 求塔高 AB .

【答案】

s ? tan? sin? sin (?+?)
BC CD ,所 = sin?BDC sin?CBD

【解析】在 ?BCD 中, ?CBD ? ? ? ? ? ? ,由正弦定理得 以 BC ?

CD ? sin?BDC s ? sin? . = sin?CBD sin (?+?) s ? tan? sin? . sin (?+?)

在 Rt ?ABC 中, AB ? BC tan ?ACB ? 考点 3 测量角度问题

【3-1】如右图所示,位于 A 处的信息中心获悉:在其正东方向相距 40 海里的 B 处有一艘 渔船遇险,在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西 30° ,相距 20 海里的 C 处的乙船,现乙船朝北偏东θ 的方向沿直线 CB 前往 B 处救援,求 cosθ 的值.

2π 【3-2】如图,扇形 AOB 是一个观光区的平面示意图,其中圆心角∠AOB 为 ,半径 OA 为 3 1 km.为了便于游客观光休闲,拟在观光区内铺设一条从入口 A 到出口 B 的观光道路,道路 由弧 AC、线段 CD 及线段 DB 组成,其中 D 在线段 OB 上,且 CD∥AO.设∠AOC=θ.

(1)用 θ 表示 CD 的长度,并写出 θ 的取值范围; (2)当 θ 为何值时,观光道路最长?

(2)设观光道路长度为 L(θ), 则 L(θ)=BD+CD+弧 CA 的长 =1- 2 1 sin θ+cos θ+ sin θ+θ 3 3 π 1 0, ?, sin θ+θ+1,θ∈? 3 ? ? 3 3 cos θ+1, 3

=cos θ-

L′(θ)=-sin θ-

π 3 θ+ ?= , 由 L′(θ)=0,得 sin? 6 ? ? 2 π π 0, ?,所以 θ= , 又 θ∈? ? 3? 6 列表: θ L′(θ) L(θ)

?0,π? ? 6?
+ 增函数

π 6 0 极大值

?π,π? ? 6 3?
- 减函数

π π 所以当 θ= 时,L(θ)达到最大值,即当 θ= 时,观光道路最长. 6 6 【3-3】在海岸 A 处,发现北偏东 45° 方向,距离 A 处( 3-1)海里的 B 处有一艘走私船;在 A 处北偏西 75° 方向,距离 A 处 2 海里的 C 处的缉私船奉命以 10 3海里/小时的速度追截走 私船.同时,走私船正以 10 海里/小时的速度从 B 处向北偏东 30° 方向逃窜,问缉私船沿什 么方向能最快追上走私船?最少要花多少时间?

【答案】缉私船沿北偏东 60° 的方向能最快追上走私船,最少要花

6 小时. 10

所以缉私船沿北偏东 60° 的方向能最快追上走私船,最少要花 【新题变式探究】

6 小时. 10

【变式一】如图,两座相距 60 m 的建筑物 AB,CD 的高度分别为 20 m、50 m,BD 为水平 面,则从建筑物 AB 的顶端 A 看建筑物 CD 的张角为( A.30° C.60° B.45° D.75° )

【答案】B 【解析】依题意可得 AD=20 10 (m),AC=30 5(m),又 CD=50(m),所以在△ ACD 中, 由余弦定理得 cos ∠ CAD = AC2+AD2-CD2 ? 30 5?2+? 20 10?2-502 6 000 = = = 2AC· AD 2× 30 5× 20 10 6 000 2

2 ,又 0° <∠CAD<180° ,所以∠CAD=45° ,所以从顶端 A 看建筑物 CD 的张角为 45° . 2 【变式二】如图,当甲船位于 A 处时获悉,在其正东方向相距 20 海里的 B 处有一艘渔船遇 险等待营救,甲船立即前往营救,同时把消息告知在甲船的南偏西 30° ,相距 10 海里 C 处 的乙船,乙船立即朝北偏东 θ 角的方向沿直线前往 B 处救援,则 sin θ 的值为( )

A.

21 7

B.

2 2

C.

3 2

5 7 D. 14

【答案】D

三、易错试题常警惕 易错典例:如图,甲船以每小时 30 2海里的速度向正北方航行,乙船按固定方向匀速直线 航行.当甲船位于 A1 处时,乙船位于甲船的北偏西 105° 方向的 B1 处,此时两船相距 20 海 里,当甲船航行 20 分钟到达 A2 处时,乙船航行到甲船的北偏西 120° 方向的 B2 处,此时两 船相距 10 2海里.问:乙船每小时航行多少海里?

易错分析: 不能分清已知条件和未知条件, 从而不能将问题集中到一个三角形中. 再利用正、 余弦定理求解.解决此类问题时,要能理解题目给定的含义,转化到三角形中,利用正、余 弦定理进行求解. 正确解析:

20 如图,连接 A1B2 由已知 A2B2=10 2,A1A2=30 2× =10 2,∴A1A2=A2B2. 60 又∠A1A2B2=180° -120° =60° ,∴△A1A2B2 是等边三角形,∴A1B2=A1A2=10 2.由已知, A1B1=20, ∠B1A1B2=105° -60° =45° , 在△A1B2B1 中,由余弦定理得
2 2 B1B2 A1B2· cos 45° =202+(10 2)2-2× 20× 10 2× 2=A1B1+A1B2-2A1B1·

2 =200, 2

∴B1B2=10 2. 10 2 因此,乙船的速度为 × 60=30 2(海里/时). 20 温馨提醒: 利用解三角形知识解决实际问题要注意根据条件画出示意图, 结合示意图构造三 角形,然后转化为解三角形的问题进行求解.


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