3986.net
小网站 大容量 大智慧
当前位置:首页 >> 数学 >>

等差数列第一课时课件-数学高一必修5第二章数列2.2人教A版


第二章 数列 2.2 等差数列

1.理解等差数列的概念.(重点) 2.了解等差数列的项与序号之间的规律. 3.掌握等差数列的通项公式和等差中项的概念, 深化认识并能运用.(难点)
4.理解等差数列的性质.(重点)

得到数列:6 000,6 500,7 000,7 500,8 000,8 500,9 000.

你发现这个数列有什么特点?请进入本节的学习!

探究点1:等差数列定义 请看下面的一些数列: 鞋的尺码,按照国家统一规定,有

22,22.5,23,23.5,24,24.5,?;
某月星期日的日期为 2,9,16,23,30; (单位:cm)为




一个梯子共8级,自下而上每一级的宽度

89,83,77,71,65,59,53,47.



思考:上面几个数列有什么共同的特点? 提示:对于数列①,从第2项起每一项与前一项的差都 等于0.5; 对于数列②,从第2项起每一项与前一项的差都等于7;

对于数列③,从第2项起每一项与前一项的差都等于-6.

这就是说,这些数列具有这样的共同特点:从第 2项起, 每一项与前一项的差都等于同一个常数.

一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与 它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个

数列就叫做等差数列.这个常数叫做等差数列
的公差,公差通常用字母d表示.

例1.已知数列{an}的通项公式为an=3n-5,这个数
列是等差数列吗?

解:因为当n≥2时,
an-an-1=3n-5-[3(n-1)-5]=3,

所以数列{an}是等差数列,且公差为3.

思考1:当公差d=0时,{an}是什么数列? 提示:仍是等差数列. 思考2:将有穷等差数列{an}的所有项倒序排列,所

成数列仍是等差数列吗?如果是,公差是什么?如
果不是,请说明理由. 提示:是等差数列,公差与原数列的公差互为相反数.

思考3:如果说“一个数列从第2项起,相邻两项的差 是同一个常数”,那么这个数列是等差数列吗? 提示:这个数列不一定是等差数列,等差数列中的

“差”是有顺序的,必须是“从第2项起,每一项与前
一项的差”.而“相邻两项的差”,这里的“相邻” 可能是后一项减去前一项,也可能是前一项减去后一 项,如数列2,1,2,3,4,5相邻两项的差是同一个常数1, 但此数列不是等差数列.

探究点2:等差数列通项公式

思考:如果等差数列{an}的首项为a1,公差为d,那么
它的通项公式是怎样的?
如果等差数列?an ?的首项是a1 , 公差是d, 那么根据 等差数列的定义得到         a2 - a1 ? d , a3 - a2 ? d , a4 - a3 ? d ,?. 因此 a3 ? a2 ? d ? ? a1 ? d ? ? d ? a1 ? 2d , a4 ? a3 ? d ? ? a1 ? 2d ? ? d ? a1 ? 3d , ??     a2 ? a1 +d ,

由此归纳出等差数列的通项公式为 an=a1+(n-1)d. 这个公式还可以用下面的方法得到.

由等差数列的定义得
a2-a1=d,a3-a2=d, a4-a3=d,?? an-1-an-2=d,an-an-1=d. 将这n-1个式子的等号两边分别相加, 得an-a1=(n-1)d,即an=a1+(n-1)d. 这种用叠加求通项公 式的方法叫做叠加法.

【提升总结】 等差数列通项公式的关注点 (1) 已知等差数列的首项和公差可以求得这个数列 的任何一项.

(2) 在等差数列中,已知四个量中的三个可以求得
另一个.

例2.已知等差数列10, 7, 4,? :

?1? 试求此数列的第10项;
- 56是不是这个 ? 2 ? - 40是不是这个数列的项? 数列的项?如果是,是第几项?

解: ?1? 设此数列为?an ?,由a1 = 10,d = 7 - 10 = -3, 得到这个数列的通项公式为 an = 10 -3 ? n - 1? . 当n = 10时,a10 = 10 -3 ?10 - 1? = -17.

?2? 如果 - 40是这个数列的项,则方程
-40=10 - 3 ? n - 1? 53 有正整数解.解这个方程,得n = . 3

所以- 40不是这个数列的项.

如果 - 56是这个数列的项,则方程 -56 = 10 - 3 ? n - 1? 有正整数解.解这个方程,得n = 23, 因此 -56是这个数列的第23项.

探究点3:等差中项 思考:如果三个数x,A,y组成等差数列,那么A,x,y 满足怎样的关系? 提示:如果x,A,y组成等差数列,根据等差数列的定

义,应有:A-x=y-A,即2A=x+y x + y 化简整理得: A= 2 由此,我们可以得到等差中项的定义:
如果三个数x,A,y组成等差数列,那么A叫做x和y的
x+y 如果A是x和y的等差中项,则A = . 2

等差中项.

探究点4

等差数列的函数实质

(1)在直角坐标系中,画出通项公式为an=3n-5的数 列的图象,这个图象有什么特点? (2)在同一个直角坐标系中,画出函数y=3x-5的图 象,你发现了什么?据此说一说等差数列an=an+b

与一次函数y=ax+b的图象之间有什么关系.

⑴n为正整数,当n取

1,2,3,?时,对应
的an可以利用通项公式 求出.经过描点知道该 图象是均匀分布的一群 孤立点;(如右图)

⑵画出函数y=3x-5的 图象后发现数列的图 象(点)在直线上 (如右图),数列的 图象是该一次函数当

x在正整数范围内取
值时相应的点的集合.

综上可以看出等差数列an=an+b的图象是一次函 数y=ax+b的图象的一个子集,是y=ax+b定义在 正整数集上对应的点的集合.

这样我们得到了这样的结论:
如果数列{an}是等差数列,则an=an+b(a,b是 常数),从图象上看,表示这个数列的各点均 在一次函数y=ax+b上,当a=0时,各点均在直线 y=b上.

例3.已知等差数列{an}的首项a1=17,公差d=-0.6, 此等差数列从第几项开始出现负数?

解 :由题意, {an }的通项公式为an = 17 -0.6 ? n - 1? . 88 令17 -0.6 ? n - 1? < 0,解得n > ≈ 29.3. 3 又因为 {an }是递减数列,所以此数列从第30项开 始出现负数.

探究点5:等差数列的性质 前面学习了等差中项的概念,我们知道:
在等差数列1,3,5, 7,9,1113, , ?中 5 ? 记为a3 ? 是3 ? 记为a2 ? 和7 ? 记为a4 ?的等差中项, 也是1? 记为a1 ? 和9 ? 记为a5 ?的等差中项. 同理,9 ? 记为a5 ? 是7 ? 记为a4 ? 和11? 记为a6 ?的等差中项, 也是5 ? 记为a3 ? 和13 ? 记为a7 ?的等差中项.

看来, 2a3 ? a2 ? a4 ? a1 ? a5 ;2a5 ? a4 ? a6 ? a3 ? a7 .
思考:从中你发现了有关等 差数列的怎样的一般规律? 请 注 意 它 们 的 下 标

可得 : 在一等差数列中, 若m ? n ? p ? q (m, n, p, q ? N ? ) 则 am ? a n ? a p ? a q 特别地, 当m ? n ? 2 p时, 有am ? an ? 2a p 也即a p是am和an的等差中项.

以上性质可描述为: 等差数列中,下标和相等的任意两项,它们的和 也相等.

容易看出,在一个等差数列中,从第2项起,每一 项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后

一项的等差中项;反之,如果一个数列从第2项起,
每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项 与后一项的等差中项,那么这个数列是等差数列. 即有: an-1 +an?1 ? 2an ? n≥2, n ? N? ? 或

an ? an?2 ? 2an?1 ? n ? N? ?

思考:常见的等差数列的性质还有哪些? 提示: (1)在公差为d的等差数列{an}中,对于任意 两项an,am,其中m,n∈N*且m≠n,则有an=am+(n-m)d或
d? an ? am . n?m

(2){an},{bn}均为等差数列,则{an±bn}也为等差数列.
(3)若{kn}为等差数列,kn∈N*,{an}为等差数列,则 {a k }
n

也为等差数列.

例4. 已知等差数列的公差为d,第m项为am,试求其 第n项an. 解:由等差数列的通项公式可知

an=a1+(n-1)d,
am=a1+(m-1)d,

两式相减,得an-am=(n-m)d.
所以an=am+(n-m)d.

例5.梯子共有5级,从上往下数第1级宽35厘米, 第5级宽43厘米,且各级的宽度依次组成等差数 列{an},求第2,3,4级的宽度.
解法1 :依题意,a1 = 35,a5 = 43, 由等差数列的 通项公式,得公差 a5 - a1     d = = 2, 5- 1 因此,a2 = 37,a3 = 39,a4 = 41.

解法2 :此等差数列共5项,a3是a1与a5的等差中项, a1 + a5 因此a3 = = 39. 2 又因为a2是a1与a3的等差中项,a4是a3与a5的等差中项,
a1 + a3 a3 + a5 所以, a2 = = 37,a4 = = 41. 2 2 因此梯子第2, 3,4级的宽度分别 相当于已知线段两端点 为37 cm, 39 cm,41 cm. 的坐标,求线段中点坐 标

探究点5:等差数列的证明 思考:我们怎样来判断或证明一个数列是等差数列?

1.定义法
利用定义看 an ? an?1 (n≥2)或者an?1 ? an 是不是一个与n无关的常数.

2.等差中项法

an-1 +an?1 ? 2an ? n≥2, n ? N ? ?


an ? an?2 ? 2an?1 ? n ? N ? ?

探讨:从等差数列的通项公式,an=a1+(n-1)d可以看 出:当公差d=0时,该数列是常数列(即常数列是公 差为0的等差数列);当公差不为0时,an是关于n的

一次函数.
设数列{an}的通项公式为an=an+b(a,b是常数) 因为an-an-1=(an+b)-[a(n-1)+b]=a(n≥2), 所以数列{an}是以a+b为首项,以a为公差的等差数列.

3.通项公式法
如果一个数列的通项公式是关于正整数n的一次 函数,那么这个数列必定是等差数列.

a n ? an ? b(a ? 0,a,b是常数) ? ?a n ?为等差数列

判断一个数列是否为等差数列,可以用
以上三种方法,但证明一个数列是等差 数列,只能用方法1和方法2.

B

3.等差数列{an}的前三项依次为 a-6,-3a-5, -10a-1,则a等于( A ) A. 1 B. -1
1 C.? 3
5 D. 11

4. 在数列{an}中a1=1,an= an+1+4,则a10=____. 提示:由已知可得d=an+1-an=-4,从而求出数列 {an}的通项公式an=a1+(n-1)×(-4)=-4n+5,

所以a10=-4×10+5=-35.

5.(2013·广东高考)在等差数列{an}中,已知
20 a3+a8=10,则3a5+a7=_____. 解:设公差为d,则a3+a8=2a1+9d=10, 3a5+a7=4a1+18d=2(2a1+9d)=20.

6.在等差数列?an ?中,

?1?已知a4 ? 10, a7 ? 19, 求a1与d ; ? 2 ?已知a3 ? 9, a9 ? 3, 求a12 .
?a1 +3d = 10, 解 :?1?由题意得 :? ?a1 + 6d = 19, ?a1 = 1, 解之得 :? ?d = 3.
.

?a1 + 2d = 9, ?2?由题意可得 :? ?a1 + 8d = 3. ?a1 = 11, 解之得 ? ?d = -1.

所以该数列的通项公式为an = 11+ ? n - 1?×? -1? = 12 - n. 所以a12 = 0.

an 7.已知数列{an}满足a1=4,

? 4?

4 a n ?1

( n ? 1).

1 记 bn ? a ? 2 判断数列{bn}是否是等差数列, n
并说明理由.

解 : 由b

1 1 1 1 = n+1 - bn = an+1 - 2 an - 2 (4- 4 )- 2 an - 2 an

an an - 2 1 1 = = = 2(an - 2) an - 2 2(an - 2) 2 1 1 1 b1 ? ? ? a1 ? 2 4 ? 2 2 所以数列{bn}是首项为 1 ,公差为 1 的等差数列.
2
2

1.等差数列的概念:从第2项起,后一项减去前一 项的差是同一常数; 2.等差数列的通项公式:an=a1+(n-1)d,知道其中

三个字母变量,可用列方程的方法,求余下的一
个变量; 3.等差数列的通项公式an的推导方法及简单应用; 4.等差数列中项的定义.

5.等差数列通项公式和一次函数的关系;
6.等差数列的性质:若m ? n ? p ? q,m, n, p, q ? N ? , 则am ? an ? a p ? aq 特别地,当m ? n ? 2 p时, 有am ? an ? 2aP 即aP是am和an的等差中项.

7.判断或证明等差数列的方法.


推荐相关:

2018年秋高中数学第二章数列2.2等差数列第2课时等差数...

2018年秋高中数学第二章数列2.2等差数列第2课时等差数列的性质学案新人教A版必修5 - 第 2 课时 等差数列的性质 学习目标:1.掌握等差数列的有关性质(重点、...


高中数学第二章数列22等差数列第2课时等差数列的性质练...

高中数学第二章数列22等差数列第2课时等差数列的性质练习新人教A版必修5 - 2.2 第 2 课时 等差数列的性质 A 级 基础巩固 一、选择题 1.设数列{an},{bn}...


高中数学第二章数列2.2.2等差数列的性质学案新人教A版...

高中数学第二章数列2.2.2等差数列的性质学案新人教A版必修5_数学_高中教育_教育专区。2.2.2 等差数列的性质 一、学习目标 在理解等差数列定义、如何判定等差...


高中数学 第二章数列§2.2等差数列第二课时教案 新人教...

高中数学 第二章数列§2.2等差数列第课时教案 新人教A版必修5_高三数学_数学_高中教育_教育专区。课题: §2.2 等差数列 授课类型:新授课 (第2课时) ●...


高中数学第二章数列2.2.1等差数列的概念与通项公式思维...

高中数学第二章数列2.2.1等差数列的概念与通项公式思维导图素材新人教A版必修5 - 等差数列的概念与通项公式 【思维导图】 【微试题】 1. 一个等差数列的前...


数学知识点人教A版数学必修五 第二章数列 《等差数列》...

数学知识点人教A版数学必修五 第二章数列等差数列》学习过程-总结 - 初中数学数学课件数学综合练习题、数学教学教案、试卷数学 2.2 等差数列 学 习过程 ...


高中数学第二章数列第十二课等差数列的性质导学案新人...

高中数学第二章数列第十二课等差数列的性质导学案新人教A版必修5 - 第十二课 一、 课标要求 等差数列的性质 1.通过实例,理解等差数列的概念。2.探索并掌握等差...


人教新课标A版高中数学必修5第二章数列2.3等差数列的前...

人教新课标A版高中数学必修5第二章数列2.3等差数列的前n项和同步测试_数学_高中教育_教育专区。人教新课标 A 版 高中数学必修 5 第二章数列 2.3 等差数列的...


高中数学必第二章数列2.2等差数列说课稿新人教A版必修5

高中数学第二章数列2.2等差数列说课稿新人教A版必修5 - 2.2 等差数列(一) 我要进行说课的课题是必修五的 2.2.等差数列(一) ,下面我将从教学内容分析,...


高中数学第二章数列学案等差数列(2)新人教A版必修5

高中数学第二章数列学案等差数列(2)新人教A版必修5 - §2.2 等差数列(2) 学习目标 1. 进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式; 2. 灵活应用等差数列的...

网站首页 | 网站地图
3986 3986.net
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@qq.com