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空间直角坐标系课件(北师大版)


:如何确定空中飞行的飞机的置?

怎样确切的表示室内灯泡的位置?

对问题1,2的分析
对于直线上的点,我们可以通过建立数轴来 确定点的位置;

对于平面上的点,我们可以通过建立平面直 角坐标系来确定点的位置; 对于空间中的点,我们也希望建立适当的坐 标系来确定点的位置. 因此,如何在空间中建立坐标系,就成为我 们需要研究的课题.

数轴Ox上的点M,可用与它对应的实数x表示;
O M x

x

直角坐标平面上的点M,可用一对有序实数(x,y) y 表示.

y

A (x,y)
x x

O

知识探究(一):空间直角坐标系

归纳:数轴上的点M的坐标用一个实 数x表示,它是一维坐标;平面上的 点M的坐标用一对有序实数(x,y) 表示,它是二维坐标.设想:对于空 间中的点M的坐标,需要几个实数表 示? (x,y) y
O x x O x

联想并思考1:平面直角坐标系是由 两条互相垂直的数轴组成,请大家 想一想:怎样建立一个空间直角坐 标系?空间直角坐标系由几条数轴 组成呢?其相对位置关系如何? 三条交于一点且两 两互相垂直的数轴

空间直角坐标系的建立:在空间中,过任意的一 点O作三条两两互相垂直的具有相同长度单位的数 轴:x轴、y轴、z轴,组成空间直角坐标系O-xyz, (如下图所示)其中点O叫做坐标原点,x轴、y轴、 z轴叫做坐标轴,通过每两个坐标轴的平面叫做坐 标平面,并分别称为xOy平面、yOz平面、xOz平面.
z z O x y

O

y

x

思考2:在空间直角坐标系Oxyz中, 三个坐标平面的位置关系如何?它们 将空间分成几个部分?

在空间直角坐标系 中,三个坐标平面的位 置关系是两两互相垂直, 它们把空间分成8部分, 4 我们把每一部分分别叫 做 第1卦限,第2卦限, 第3卦限,第4卦限, 第5卦限,第6卦限, 第7卦限,第8卦限 8

z

3 1 7
x

2

O 5

6y

思考3:如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1 中,以点D为坐标原点建立空间直角 坐标系,那么x轴、y轴、z轴应如何 选取? z
D1 A1 D A B B1

C1
C

y

x

知识探究(二)空间直角坐标系中点的坐标

思考1:在平面直角坐标系中,点M的 横坐标、纵坐标的含义如何?
y (x,y) |x| |y| O x

思考:在空间直角坐标系中,怎样描述一点M位 置呢?

在空间直角坐标系中,设点M为空间的一 个定点,过点M分别作垂直于x轴、y轴、z轴的 平面,垂足为A、B、C. 设点A、B、C在x轴、y 轴、z轴上的坐标分别为x、y、z,那么点M的 位置与有序实数组(x,y,z)是一个什么对 z 应关系?
z M x x A O O y x z M y B y x

C z
O M y

空间直角坐标系中点的坐标的确定方法
设点M是空间的一个定点,过点M分别作垂直于 x 轴、y 轴和z 轴的平面,依次交x 轴、y 轴和z 轴于 点P、Q和R. 设点P、Q和R在x 轴、y 轴和z 轴上的坐标分别 是x,y和z,那么点M就对应唯一确定的有序实数组 (x,y,z). z
R

M

P

O
M

Q

y

x

我们把有序实数组(x,y,z)称为点M的空间坐 标,记为M (x,y,z)其中x、y、z分别叫做点 M的横坐标、纵坐标、竖坐标。
z

C
M

O
A x

z

x

B

y

y

点M

(X,Y,Z)

反过来,对于一个有序实数组(x,y,z),它也唯 一的对应着空间直角坐标系中的点。在x 轴、y 轴和z 轴 上依次取坐标为x,y和z的点P、Q, R

分别过P、Q 、 R各作一个平面,分别垂直于x 轴、y 轴和z 轴, 这三个平面的唯一交点就是有序实数组(x,y,z)确 定的点M. z
R

M

P

O
M’

Q

y

x

例如在空间直角坐标系中怎样求点M(1,2,3)的位置呢? 方法一:分析:因为点P在第一卦限,故在x轴上 取点P(1,0,0),在y轴上取点 Q(0,2,0),在z轴上取点 R(0,0,3)然后过A,B,C分别作x轴,y轴, z轴的垂面, 则这三个垂面的交点就是点P如图所示: z 方法二:先画一 个长方体使共顶 R 点的三条棱长分 M 别为1,2,3
P

O
M

Q

y

x

思考2:设点M的坐标为(a,b,c)过 点M分别作xOy平面、yOz平面、xOz平 面的垂线,那么三个垂足的坐标分别 如何? z B(0,b,c) B C(a,0,c) M
C O A x y

A(a,b,0)

思考2:x轴、y轴、z轴上的点的坐标 有何特点?xOy平面、yOz平面、xOz 平面上的点的坐标有何特点? x轴上的点:(x,0,0)
z

O

y

x

xOy平面上的点:(x,y,0)

一、坐标轴上的点
z

C

E
M O B y

F
A

x轴上的点纵坐标竖坐为0. 例如:A点坐标记为A(a,0,0) y轴上的点横坐标竖坐标为0. 例如:B点坐标记为B(0,b,0) z轴上的点横坐标纵坐标为0. 例如:C点坐标记为C(0,0,c)

x

D

二、坐标平面内的点
xoy平面上的点竖坐标为0 yoz平面上的点横坐标为0 xoz平面上的点纵坐标为0 例如:D点坐标记为D(a,b,0) 例如:E点坐标记为E(0,b,c) 例如:F点坐标记为F(a,0,c)

思考3:在空间直角坐标系中,在每个卦限内点的 横,纵,竖坐标的符号分别具有怎样的特点?
z

3
4

2 1

7 8
x

O 5

6y

(1)点M (x,y,z)在第1卦 限时,X>0,y>0,z>o, (2)点M (x,y,z)在第2卦 限时,X<0,y>0,z>o, (3)点M (x,y,z)在第3卦 限时,X<0,y<0,z>o,

z

3
4

2 1

7
8
x

O 5

6y

(4)点M (x,y,z)在第4卦
限时,X>0,y<0,z>o, (5)点M (x,y,z)在第5卦 限时,X>0,y>0,z<o, (6)点M (x,y,z)在第6卦 限时,X<0,y>0,z<o, (7)点M (x,y,z)在第7卦限时, X<0,y<0,z<o, (8)点M (x,y,z)在第8卦限时, X>0,y<0,z<o,

思考3:设点M的坐标为(x,y,z)那 么点M关于x轴、y轴、z轴及原点对称 的点的坐标分别是什么?
M(x,y,z)
z

O

y

x

N(x,-y,-z)

点M(x,y,z)是空间直角坐标系中的一点,则有
? (1)与M点关于X轴对称的点为 (x,-y,-z)

? (2)与M点关于Y轴对称的点为 (-x,y,-z)
? (3)与M点关于Z轴对称的点为 (-x,-y,z)

? (4)与M点关于原点对称的点为 (-x,-y,-z)
? (5)与M点关于xoy平面对称的点为 (x,y,-z) ? (6)与M点关于yoz平面对称的点为 (-x,y,z) ? (7)与M点关于xoz平面对称的点为 (x,-y,z)

思考4:设点A(x1,y1,z1),点 B(x2,y2,z2),则线段AB的中点 M的坐标如何?

x 1 + x 2 y1 + y 2 z 1 + z 2 M( , , ) 2 2 2

例1:OABC—A’B’C’D’是单位正方体.以O为原点 分别以射线OA,OC, OD’的方向为正方向,以线段 OA,OC, OD’的长为单位长,建立空间直角坐标系 O—xyz.试说出正方体的各个顶点的坐标.并指 出哪些点在坐标轴上,哪些点在坐标平面上.
z
(0,0,1)
'(0,1,1)

D

'

C
B

(1,0,1)

A'
O
A
(1,0,0) (0,0,0)

' (1,1,1)

(0,1,0)

C

y

B

(1,1,0)

x

例2 、在长方体OABC-D′A′B′C′中,已知 |OA|=3,|OC|=4, |OD′|=2,建立如图 所示的空间直角坐标系,试写出长方体 各顶点的坐标.
z D′ C′ B′

A′ O
x A

C
B

y

例3、如下图,在长方体OABC-D`A`B`C` 中,|OA|=3,|OC|=4,|OD`|=3,A`C`与 B`D`相交于点P.分别写出点C,B`,P的坐标.
z D` A` O C` B`

P

A

P`
B

C

y

x

例4、如图,棱长为a的正方体OABC-D`A`B`C`中, 对角线OB`于BD`相交于点Q.顶点O为坐标原点, OA,OC分别在x轴、y轴的正半轴上.试写出点Q的 坐标. z
D` A` B` C`

Q
O A

C

Q`
B

y

x

例5、在空间直角坐标系中标出下列各点: A(0,2,4) B(1,0,5) C(0,2,0) D(1,3,4)
z D 4

O
1 D`

3

y

x

例5, 结晶体的基本单位称为晶胞,如图是食盐晶胞

的示意图(可看成是八个棱长为 1 的小正方体堆积成的正
1 方体),其中色点代表钠原子,黑点代表氯原子. 2

如图建立空间直角坐标系O-xyz后,试写出全部钠原子所在位置的 坐标. z

O

y

x
解:把图中的钠原子分成上、中、下三层来写它们所在 位置的坐标.

z
下层的原子全部在平面上,它们所 在位置的竖坐标全是0,所以这五个钠 原子所在位置的坐标分别是(0,0,0), (1,0,0),(1,1,0),(0,1,0), 1 1 ( , ,0). x 2 2

O

y

中层的原子所在的平面平行于平面,与轴交点的竖坐标为, 所以,这四个钠原子所在位置的坐标分别是

1 1 1 1 1 1 1 1 ( ,0, ),(1, , ),( ,1, ),(0, , ); 2 2 2 2 2 2 2 2

上层的原子所在的平面平行于平面,与轴交点的竖坐标为 1,所以,这五个钠原子所在位置的坐标分别是: (0,0,1),(1,0,1),(1,1,1),(0,1,1),

1 1 ( , ,1). 2 2

思考:若建立如图所示空间直角坐标系 那么全部钠原子所在位置的坐标不变吗 z

O

y

O
x


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