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数学人教A版必修5第三章3.3.2简单的线性规划问题(第1课时)

第 1 课时 简单的线性规划问题 1.了解线性规划中的基本概念. 2.会用图解法解决线性规划问 题. [来源:学&科&网 Z&X&X&K] 1.线性规划中的基本概念 名称 约束条件 线性约束条件 目标函数 线性目标函数 可行解 可行域 最优解 线性规划问题 意义 变量 x,y 满足的一组条件 由 x,y 的________不等式组成的不等式组 欲求最大值或最小值所涉及的变量 x,y 的解析式 目标函数是关于 x,y 的________解析式 满足线性约束条件的____ 所有可行解组成的____ 使目标函数取得最大值或最小值的______ 在线性约束条件下,求线性目标函数的最大值或最小值问题 【做一做 1-1】 线性规划中的可行域中的点(x,y)是( ) A.最优解 B.可行解 C.线性目标函数 D.可能不满足线性约束条件 【做一做 1-2】 目标函数 z=2x-y,将其看成直线方程时,z 的意义是( ) A.该直线在坐标轴上的距离 B.该直线在 y 轴上的截距 C.该直线在 y 轴上的截距的相反数 D.该直线在 x 轴上的截距 答案:1.二元一次 【做一做 1-1】 B 【做一做 1-2】 C 一次函数 解 集合 可行解 [来源:学。科。网 Z。X。X。K] 1.理解线性规划的有关概念 剖析:(1)线性约束条件就是指变量 x,y 满足的二元一次不等式组. (2)目标函数与线性目标函数的概念不同,线性目标函数在变量 x,y 的次数上作了严格的限 定,一次解析式 z=Ax+By+C,即目标函数包括线性目标函数和非线性目标函数. A z-C A 当 B≠0 时,由 z=Ax+By+C,得 y=- x+ .这样,二元一次函数就可视为斜率为- , B B B z-C 在 y 轴上截距为 ,且随之变化的一组平行线.于是把求 z 的最大值或最小值的问题转化为直线 B 与可行域有公共点时,直线在 y 轴上截距的最大值或最小值问题. 当 B>0 时,z 的值随着直线在 y 轴上的截 距的增大而增大. 当 B<0 时,z 的值随着直线在 y 轴上的截距的增大而减小. (3)可行解必须使约束条件成立,而可行域是所有的可行解构成的一个区域.即可行域是约束条 件对应的二元一次不等式组表示的平面区域(或其内部的一些点).可以是封闭的多边形,也可以是 一侧开放的无穷大的区域. 2.确定线性规划中的最优解 剖析:根据解题 经验,确定最优解的思维过程是: A z-C 线性目标函数 z=Ax+By+C(A,B 不全为 0)中,当 B≠0 时,y=- x+ ,这样线性目标函 B B z-C A 数可看成斜率为- ,在 y 轴上的截距为 ,且随 z 变化的一组平行线,则把求 z 的最大值和最 B B 小值的问题转化为直线与可行域有公共点时,直线在 y 轴上的截距的最大值和最小值的问题.因此 A 只需先作出直线 y=- x,再平行移动这条直线, 最先通过或最后通过的可行域的顶点就是最优 B 解.应特别注意,当 B>0 时,z 的值随着直线在 y 轴上的截距的增大而增大;当 B<0 时,z 的值 随着直线在 y 轴上的截距的增大而减小.通常情况下,可以利用可行域边界直线的斜率来判断. 对于求整点最优解,如果作图非常准确可用平移求解法,也可以取出目标函数可能取得最值的 可行域内的所有整点,依次代入目标函数验证,从而选出最优解.最优解一般在可行域的顶点处取 得.若要求最优整解,则必须满足 x,y 均为整数,一般在不是整解的最优解的附近找出所有可能 取得最值的整点,然后将整点分别代入目标函数验证选出的最优整解.上述求整点最优解的方法可 归纳为三步:找整点→验证→选最优整解. 题型一 求线性目标函数的最值 [来源:Zxxk.Com] y≤2x, ? ? 【例题 1】 (2011· 北京海淀二模)点 P(x,y)在不等式组?y≥-x, 表示的平面区域内,则 z=x ? ?x≤2 +y 的最大值为__________. 反思:解决线性规划问题的方法是图解法,即借助直线(把线性目标函数看作斜率确定的一组 平行线)与平面区域(可行域)有交点时,直线在 y 轴上的截距的最大值或最小值求解. 其步骤是: (1)根据线性约束条件,在直角坐标系中,把可行域表示的平面图形准确地画出来; (2)运用数形结合的思想,把线性目标函数看成是直线系,将目标函数表示的直线平行移动,最 先通过的顶点或最后通过的顶点便是所需要的点,由此可以确定目标函数的最优解.特别地,当线 性目标函数表示的直线与可行域的某边平行时,其最优解可能有无数个; (3)若要求的最优解是整数解,而得到的解为非整数解时,应作适当调整,其方法是应以到线性 目标函数表示的直 线的距离为依据,在直线附近的可行域里寻求与此直线距离最近的整点,如果可 行域中整点很少,也可逐个验证. 题型二 易错辨析 【例题 2】 已知 1≤x+y≤5,-1≤x-y≤3,求 2x-3y 的取值范围. ?1≤x+y≤5, ① ? 错解:依题意? ② ?-1≤x-y≤3, ? ①+②,得 0≤2x≤8,即 0≤x≤4.③ ①+②× (-1),得-2≤2y≤6, 即-1≤y≤3.④ ∴-9≤2x-3y≤11. 错因分析:错解中由①②得到不等式③④是利用了不等式中的加法法则,而此法则不具有可逆 性,从而使 x,y 的范围扩大,这样 2x-3y 的范围也就随之扩大了. 反思:1.本题 中的两个变量 x,y 之间并不是相互独立的关系,而是由不等式组决定的相互制 约的关系.x 取得最大(或最小)值时,y 并不能同时取得最大(或最小)值;y 取得最大(或最小)值时, x 也并不能同时取得最大(或最小)值.如果忽视了 x,y 之间的相互制约关系,将导致所求的取值范 围出错. 2.已知几个二元一次式的范围,求另外一个二元一次式的范围问题,通常有两种解法,即用 线性规划或把所求用已知线性表示后再利用不等式的性质求解. 答案:【例题 1】

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