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2012高考数学(文)一轮复习课时作业(北师大版):第2章第9课时 函数模型及其应用


第2章

第 9 课时

(本栏目内容,在学生用书中以活页形式分册装订!) 一、选择题 1.某种商品进价为每件 100 元,按进价增加 25%出售,后因库存积压降价,按九 折出售,每件还获利( A.25 元 -100=12.5 元. 2.已知 A、B 两地相距 150 千米,某人开汽车以 60 千米/小时的速度从 A 地前往 B 地,到达 B 地停留 1 小时后再以 50 千米/小时的速度返回 A 地,把汽车离开 A 地的距离 x(千米)表示为时间 t(小时)的函数,则下列正确的是( A.x=60t+50t(0≤t≤6.5) ) ) D.12.5 元 B.20.5 元 C.15 元

解析: 九折出售时价格为 100×(1+25%)×90%=112.5 元, 此时每件还获利 112.5

?60t,0≤t≤2.5 ? B.x=?150,2.5<t≤3.5 ?150-50t,3.5<t≤6.5 ?
? ?60t,0≤t≤2.5 C.x=? ?150-50t,t>3.5 ?

?60t,0≤t≤2.5 ? D.x=?150,2.5<t≤3.5 ?150-50?t-3.5?,3.5<t≤6.5 ?
解析: 依题意,函数为分段函数,求出每一段上的解析式即可.答案: D 3.在我国大西北,某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长 10%,专家预测 经过 x 年可能增长到原来的 y 倍,则函数 y=f(x)的图象大致为( )

解析: 设原有荒漠化土地面积为 b,由题意可得

y· b=b(1+10%)x,即 y=(1+10%)x. 答案: D 4.在某种新型材料的研制中,实验人员获得了下列一组实验数据.现准备用下列 四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律,其中最接近的一个是( x y A.y=2x 1 C.y=2(x2-1) 1.95 3.00 3.94 5.10 6.12 0.97 1.59 1.98 2.35 2.61 B.y=log2x D.y=2.61cos x )

解析: 通过检验可知,y=log2x 较为接近. 答案: B 5.如图,点 P 在边长为 1 的正方形 ABCD 上运动,设点 M 为 CD 的 中点,当点 P 沿 A→B→C→M 运动时,点 P 经过的路程设为 x,△APM 面积设为 y,则函数 y=f(x)的图象只可能是下图中的( )

解析:

? ?3 1 据题意可得 f(x)=?4-4x?1<x≤2? ?5-1x??2<x≤5??, ?4 2 ? 2?
1 2x?0≤x≤1?,

,易知只有 A 选项符合条件.

答案: A 6.将甲桶中的 a 升水缓慢注入空桶乙中,t 分钟后甲桶中剩余的水符合指数衰减曲 a 线 y=aent.假设 5 分钟后甲桶和乙桶的水量相等, m 分钟后甲桶中的水只有8, m 的 若 则

值为( A.7 C.9

) B.8 D.10

1 1 1 1 解析: 令8a=aent,即8=ent,因为2=e5n,故8=e15n,比较知 t=15,m=15-5= 10. 答案: D 二、填空题 7. 拟定从甲地到乙地通话 m 分钟的电话费由 f(x)=1.06×(0.50×[m]+1)给出, 其中 m>0,[m]是大于或等于 m 的最小整数,若通话费为 10.6 元,则通话时间 m∈________. 解析: ∵10.6=1.06(0.50×[m]+1), ∴0.5[m]=9,∴[m]=18,∴m∈(17,18]. 答案: (17,18] 8.为了保证信息安全,传输必须使用加密方式,有一种方式其加密、解密原理如 下: 加密 发送 解密 明文――→密文――→密文――→明文 已知加密为 y=ax-2(x 为明文、y 为密文),如果明文“3”通过加密后得到密文为“6”, 再发送,接受方通过解密得到明文“3”,若接受方接到密文为“14”,则原发的明文是 ________. 解析: 依题意 y=ax-2 中,当 x=3 时,y=6, 故 6=a3-2,解得 a=2. 所以加密为 y=2x-2,因此,当 y=14 时,由 14=2x-2,解得 x=4. 答案: 4 9.某建材商场国庆期间搞促销活动,规定:顾客购物总金额不超过 800 元,不享

受任何折扣, 如果顾客购物总金额超过 800 元, 则超过 800 元部分享受一定的折扣优惠, 按下表折扣分别累计计算.

可以享受折扣优惠 金额 不超过 500 元的部

折扣 率

5% 分 超过 500 元的部分 10%

某人在此商场购物总金额为 x 元,可以获得的折扣金额为 y 元,则 y 关于 x 的解析 式为

?0,0<x≤800, ? y=?5%?x-800?,800<x≤1 300, ?10%?x-1 300?+25,x>1 300. ?
若 y=30 元,则他购物实际所付金额为________元. 解析: 若 x=1 300 元,则 y=5%(1 300-800)=25(元)<30(元),因此 x>1 300. ∴由 10%(x-1 300)+25=30,得 x=1 350(元). 答案: 1 350 三、解答题 10. 某旅游商品生产企业 2009 年某商品生产的投 出厂价为流程图的输出结果 p 元/件,年销售量为 10 年国家长假的调整,此企业为适应市场需求,计划提 增加投入成本.若每件投入成本增加的比例为 x(0<x 入成本为 1 元/件, 000 件,因 2009 高产品档次, 适度 <1),则出厂价相

应提高的比例为 0.75x,同时预计销售量增加的比例为 0.8x.已知利润=(出厂价-投入成 本)×年销售量. (1)写出 2010 年预计的年利润 y 与投入成本增加的比例 x 的关系式; (2)为使 2010 年的年利润比 2009 年有所增加,问:投入成本增加的比例 x 应在什么 范围内? 解析: (1)由流程图可知 p=1.2. 依题意,得 y=[1.2×(1+0.75x)-1×(1+x)]×10 000×(1+0.8x) =-800x2+600x+2 000(0<x<1). (2)要保证 2010 年的年利润比 2009 年有所增加,
?y>?1.2-1?×10 000 ?-800x2+600x>0, ? ? 当且仅当? 即? ? ? ?0<x<1, ?0<x<1,

3 解得 0<x<4. 11.渔场中鱼群的最大养殖量为 m 吨,为保证鱼群的生长空间,实际养殖量不能达 到最大养殖量,必须留出适当的空闲量.已知鱼群的年增长量 y 吨和实际养殖量 x 吨与 空闲率的乘积成正比,比例系数为 k(k>0)(空闲率为空闲量与最大养殖量的比值). (1)写出 y 关于 x 的函数关系式,并指出这个函数的定义域; (2)求鱼群年增长量的最大值; (3)求鱼群的年增长量达到最大值时 k 的取值范围.? 【解析方法代码 108001022】 x? ? x 解析: (1)由题意,空闲率为 1-m,所以 y=kx?1-m?,
? ?

定义域为(0,m).

x? ? k ? m? km (2)由(1)得 y=kx?1-m?=-m?x- 2 ?2+ 4 ,
? ? ? ?

m km 因为 x∈(0,m),k>0,所以当 x= 2 时,ymax= 4 . m km (3)由题意有 0<x+y<m,即 0< 2 + 4 <m.因为 m>0,解得-2<k<2,又 k>0, 故 k 的取值范围为(0,2). 12. (2010· 深圳模拟)某跨国饮料公司在对全世界所有人均 GDP(即人均纯收入)在 0.5 千美元~8 千美元的地区销售该公司 A 饮料的情况的调查中发现: 人均 GDP 处在中等的 地区对该饮料的销售量最多,然后向两边递减. (1)下列几个模拟函数中(x 表示人均 GDP,单位:千美元,y 表示年人均 A 饮料的销 量, 单位: 升), 用哪个模拟函数来描述人均 A 饮料销量与地区的人均 GDP 关系更合适? 说明理由.①y=ax2+bx,②y=kx+b,③y=logax+b,④y=ax+b. (2)若人均 GDP 为 1 千美元时,年人均 A 饮料的销量为 2 升;若人均 GDP 为 4 千美 元时,年人均 A 饮料的销量为 5 升,把(1)中你所选的模拟函数求出来,并求出各个地区 中,年人均 A 饮料的销量最多是多少? 解析: (1)用函数 y=ax2+bx 来描述 A 饮料销量与地区的人均 GDP 的关系更合适. 因为函数 y=kx+b,y=logax+b,y=ax+b 在其定义域内都是单调函数,不具备先 递增后递减的特征. (2)依题意知,函数过点(1,2)和(4,5),
?a+b=2 ? 则有? , ? ?16a+4b=5

?a=-1 ? 4 解得? 9 ?b=4 ?



1 9 ∴y=-4x2+4x(0.5≤x≤8), 1 9 1? 9? 81 81 ∵y=-4x2+4x=-4?x-2?2+16≤16, ? ? 9 81 ∴在各地区中,当 x= 时,年人均 A 饮料销量最多是 升. 2 16


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