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河北省衡水中学2018-2019学年高三下学期第9周周考数学(文)试题+Word版含答案

众志成城 卧虎藏 龙地豪 气干云 秣马砺 兵锋芒 尽露披 星戴月 时书香 盈耳含 英咀华 学业必 成

文数周日测试 2018-2019 学年 第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有最
新试卷十年寒窗苦,踏上高考路,心态放平和,信心要十足,面对考试卷,下笔如有神,短信送祝福,愿你能高中,马到功自成,金榜定题名。

一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A ? ?1,2,3? , B ? ?1, 2,3, 4? ,则 A U B ? ( A. ?1,3? B. ?1, 2,3? C. ?1,3, 4? ) D. ?1,2,3,4? )

2. i 是虚数单位,复数 z ? i ?1 ? 2i ? ,则复数 z 的共轭复数等于( A. ?2 ? i B. 2 ? i C. ?2 ? i D. 2 ? i

2 2 3.原命题: “设 a、b、c ? R ,若 a ? b ,则 ac ? bc ” ,以及它的逆命题、否命题、逆否命

题中,真命题的个数是( A.0 B.1

) C.2 D.4

4.人人文明礼让,处处友爱温馨,人人都要遵守交通法规.某路口的红绿灯,红灯时间为 30 秒,黄灯时间为 5 秒,绿灯时间为 40 秒,假设你在任何时间到达该路口是等可能的,则当你 到达该路口时,看见不是黄灯的概率是( A. ) D.

14 15

B.

1 15

C.

3 5

1 2

5.我国古代名著《九章算术》中有这样一段话: “今有金锤,长五尺,斩本一尺,重四斤.斩 末一尺,重二斤. ”意思是:意思是: “现有一根金锤,头部的 1 尺,重 4 斤;尾部的 1 尺, 重 2 斤;且从头到尾,每一尺的重量构成等差数列. ”则下列说法错误的是( A.该金锤中间一尺重 3 斤 B.中间三尺的重量和是头尾两尺重量和的 3 倍 C.该金锤的重量为 15 斤 D.该金锤相邻两尺的重量之差的绝对值为 0.5 斤 )

?log 2 x ? x ? 0 ? ? 6.已知函数 f ? x ? ? ? 1 ,则 x ? 0 ? ? ? x ?3
A.9 B.

? f? ?

? 1 ?? f ? ?? ? ( ? 4 ??
D. ?



1 9

C.

2 9

2 3

7.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体所

有面中有 n 个面的面积是有理数,则这 n 个面的面积之和是(



A.10

B.12

C.14

D.16 )

8.已知角 ? ? 0? ? ? ? 360?? 终边上一点的坐标为 ? sin 215?,cos 215?? ,则 ? ? ( A.215° B.225° C.235° D.245°

9.已知流程图如图所示,该程序运行后,为使输出的 b 值为 16,则循环体的判断框内①处应 填( )

A.2

B.3

C.4

D.5

2 0.3 2 10.设 a ? 2 , b ? 0.3 , c ? log m m ? 0.3 ? m ? 1? ,则 a, b, c 的大小关系是(

?

?



A. a ? b ? c 11.椭圆

B. b ? a ? c

C. c ? b ? a

D. b ? c ? a

x2 y 2 ? ? 1 的左焦点为 F ,直线 x ? m 与椭圆相交于点 M 、N ,当 ?FMN 的周长 5 4
) C.

最大时, ?FMN 的面积是( A.

5 5

B.

6 5 5

8 5 5

D.

4 5 5

2 ? ? x ? 2 x ? ?2 ? x ? 0 ? 12.已知函数 f ? x ? ? ? ,则方程 5 ? ? x ? f ? x ?? ? ? 1 在 ? ?2, 2? 上的根的 f x ? 1 ? 1 0 ? x ? 2 ? ? ? ? ? ?

个数是( A.3

) B.4 C.5 D.6 第Ⅱ卷(共 90 分)

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13.已知向量 a ? ? ?1, 2 ? , b ? ? m,1? ,若向量 a ? b 与 a 垂直,则 b ?

r

r

r

r

r

r



14.在平面直角坐标系 xOy 中,角 ? 与角 ? 均以 Ox 为始边,它们的终边关于原点对称,若

sin ? ?

3 ,则 cos ?? ? ? ? ? 3



?x ? y ?1 ? 0 ? 15.已知 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 9 ? 0 ,则 z ? 5x ? 3 y 的最大值为 ?x ? 1 ?
16.已知函数 y ? f ? x ? 的图象与直线 y ? ? x ? 8 相切于点 5, f ?5? ,则



?

?

f ?5? ? f ? ?5? ?



三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 17. 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , a2 ? 4 ,且对任意 m, n, p, q ? N* ,若 m ? n ? p ? q ,则有

am ? an ? ap ? aq .
(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设数列 ?

?

1 1 1 ? ? 的前 n 项和为 Sn ,求证: ? S n ? . 4 3 ? an an ?1 ?

18. 在某城市气象部门的数据中,随机抽取 100 天的空气质量指数的检测数据如表:

(1)若该城市各医院每天收治上呼吸道病症总人数 y 与当天的空气质量 t ( t 取整数)存在如 下关系 y ? ?

?t ? t ? 100 ? ? ,且当 t ? 300 时, y ? 500 ,估计在某一医院收治此类 2 t ? 100 100 ? t ? 300 ? ? ? ?

病症人数超过 200 人的概率;

? ? a ? b ln t ,现已取出了 10 对 (2)若在(1)中,当 t ? 300 时, y 与 t 的关系拟合与曲线 y
样本数据 ? ti , yi ?? i ? 1, 2,3,L ,10? 且知
10

? ln ti ? 70 , ? yi ? 6000 , ? xi ln ti ? 42500 ,
i ?1 i ?1 i ?1

10

10

10

? ? ln t ?
i ?1 i

2

? 500 ,试用可线性化的回归方法,求拟合曲线的表达式

? ? a ? bx 中, b ? (附:线性回归方程 y

? x y ? nx y
i ?1 n i i

n

?x
i ?1

2 i

? nx

2

, a ? y ? bx )

19. 如图所示,在四棱锥 P ? ABCD 中,四边形 ABCD 为矩形, ?PAD 为等腰三角形,

?APD ? 90? , B ?1 ,A D ? 2 ,E , F 分别为 PC, BD 的中点. 平面 PAD ? 平面 ABCD , 且A
(1)证明: EF ∥ 平面 PAD ; (2)证明:平面 PDC ? 平面 PAD ; (3)求四棱锥 P ? ABCD 的体积.

20. 已知椭圆 ? :

x2 y 2 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,离心率为 , F2 与 2 a b 2

椭圆上点的连线中最短线段长为 2 ? 1 . (1)求椭圆 ? 的标准方程; (2)已知 ? 上存在一点 P ,使得直线 PF1 , PF2 分别交椭圆 ? 于 A, B ,若 PF1 ? 2F1 A ,求直 线 PB 的斜率. 21. 已知函数 f ? x ? ? ax ? x ln x ?
2

uuu r

uuu r

?

?

1 2 ax ? x ? a ? R ? . 2

(1)当 a ? 0 时,求曲线 y ? f ? x ? 在点 e, f ? e? 处的切线方程 e ? 2.71828L ; (2)求函数 f ? x ? 的单调区间. 请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.

?

?

22.选修 4-4:坐标系与参数方程

1 ? x ? 1? t ? 2 ? 在平面直角坐标系 xOy 中, 直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数) .以原点为极点,x 轴 ?y ? 3 t ? ? 2
正半轴为极轴建立极坐标系,圆 C 的方程为 ? ? 2 3 sin ? . (1)写出直线 l 的普通方程和圆 C 的直角坐标方程; (2)若点 P 的直角坐标为 ?1,0 ? ,圆 C 与直线 l 交于 A, B 两点,求 PA ? PB 的值. 23.选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ? x ? ? x ? a ? x ?

1 (a ? 0,m?R ,m ? 0 ) , a

(1)当 a ? 2 时,求不等式 f ? x ? ? 3 的解集; (2)证明: f ? m ? ? f ? ? 附加题 24.已知椭圆 E :

? 1? ?? 4. ? m?

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的左焦点 F1 与抛物线 y 2 ? ?4x 的焦点重合,椭圆 E a 2 b2

的离心率为

2 3? ? ,过点 M ? m, 0 ? ? m ? ? 作斜率存在且不为 0 的直线 l ,交椭圆 E 于 A, C 两 2 4? ?

点,点 P ?

uu r uuu r ?5 ? , 0 ? ,且 PA ? PC 为定值. ?4 ?

(1)求椭圆 E 的方程; (2)过点 M 且垂直于 l 的直线与椭圆 E 交于 B, D 两点,求四边形 ABCD 面积的最小值.

文数周测 9 答案 一、选择题 1-5:DACAB 二、填空题 13. 5 2 三、解答题 17.解: (1)令 m ? 1, q ? 2, p ? n ? 1 ,得 an ? a1 ? an?1 ? a2 . 又 a1 ? 1, a2 ? 4 , 所以 an ? an?1 ? 3? n ? 2? . 所以数列 ?an ? 是以 3 为公差的等差数列. ∴ an ? 1 ? ? n ?1? ? 3 ? 3n ? 2 . (2)因为 14. ? 6-10:ACCBB 11、12:CD

1 3

15.35

16.4

1 1 1? 1 1 ? ? ? ? ? ?. an an?1 ? 3n ? 2 ?? 3n ? 1? 3 ? 3n ? 2 3n ? 1 ?

所以 Sn ?

1 ? 1 1 ?? 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? 1 ? ? 1 ? ?? ?1 ? ? ? ? ? ? ? L ? ? ? ? ? ?1 ? ? 3 ?? 4 ? ? 4 7 ? ? 3n ? 2 3n ? 1 ? ? 3 ? 3n ? 1 ? 3

另一方面,由于

1 1 ? ? 0, an an?1 ? 3n ? 2 ?? 3n ? 1?

则 Sn ? S1 ?

1 1 1 ? ? . a1a2 ? 3 ? 2 ?? 3 ? 1? 4

综上可知:

1 1 ? Sn ? 4 3

18.解: (1)令 y ? 200 得 2t ? 100 ? 200 ,解得 t ? 150 ∴当 t ? 150 时,病人数超过 200 人. 由频数分布表可知 100 天内空气指数 t ? 150 的天数为 25 ? 15 ? 10 ? 50 ∴病人数超过 200 人的概率 P ?

50 1 ? . 100 2

(2)令 x ? ln t ,则 y 与 x 线性相关, x ?
n

? ln ti
i ?1

10

10

yi ? 70 6000 i ?1 ? ?7, y ? ? ? 600 , 10 10 10

10

∴b ?

? x y ? nx y
i ?1 n i i

?x
i ?1

2 i

? nx

2

?

42500 ? 10 ? 7 ? 600 ? 50 , a ? 600 ? 50 ? 7 ? 250 . 500 ? 10 ? 49

∴拟合曲线方程为 y ? 50 x ? 250 ? 50ln t ? 250 . 19. (1)证明:如图所示,连接 AC .

∵四边形 ABCD 为矩形且 F 是 BD 的中点, ∴ F 也是 AC 的中点. 又 E 是 PC 的中点, EF ∥ AP , ∵ EF ? 平面 PAD , PA ? 平面 PAD , ∴ EF ∥ 平面 PAD . (2)证明:∵面 PAD ? 平面 ABCD , CD ? AD ,平面 PAD I 平面 ABCD ? AD , ∴ CD ? 平面 PAD . ∵ CD ? 平面 PDC , ∴平面 PDC ? 平面 PAD (3)解:取 AD 的中点为 O ,连接 PO . ∵平面 PAD ? 平面 ABCD , ?PAD 为等腰直角三角形, ∴ PO ? 平面 ABCD ,即 PO 为四棱锥 P ? ABCD 的高. ∵ AD ? 2 ,∴ PO ? 1 .又 AB ? 1 , ∴四棱锥 P ? ABCD 的体积 V ?

1 2 PO ? AB ? AD ? 3 3

20.解: (1)依题意可知

c 2 2 2 2 ? , a ? c ? 2 ?1, a ? b ? c , a 2

∴ a ? 2, c ? 1, b ? 1 . ∴椭圆 ? 的方程为

x2 ? y 2 ? 1. 2

(2)由题可设 P ? x0 , y0 ? , A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,

lPA : x ? my ? 1.
联立 ?

? x ? my ? 1 ?x ? 2 y ? 2
2 2
2

2 2 ,得 m ? 2 y ? 2my ? 1 ? 0 ,

?

?

∴ y0 ? y1 ? ?

1 y0 x ?1 1 ,又 ? ,∴ m ? 0 m ?2 m x0 ? 1 y0



PF1 y ?? 0 ?? F1 A y1 ?

y0 2 ? ? m2 ? 2 ? y0 1 ? m2 ? 2? y0

? ? x0 ? 1?2 ? 2 2 2 ?? ? 2 , ? y0 ? ? x0 ? 1? ? 2 y0 2 y ? ? 0 ? ?
2 ? ? x0 ? 1? ? 2 ? x0 ? 3 ? 2 x0 , 2



PF1 F1 A

? 3 ? 2 x0 ,∴ 3 ? 2 x0 ? 2 ,
? 1 1 14 ? ,∴ P ? ? , ? ? ? 2 ?. 2 4 ? ?

∴ x0 ? ?

∴ k PB ? k PF2

14 4 ? ? 14 , ? 1 6 ? ?1 2 ?
14 . 6

故直线 PB 的斜率为 ?

21.解: (1)当 a ? 0 时, f ? x ? ? x ? x ln x ,所以 f ? ? x ? ? ? ln x , 所以 f ? e? ? e ? eln e ? e ? e ? 0 , f ? ? e ? ? ?1, 所以曲线 y ? f ? x ? 在点 e, f ? e? 处的切线方程为 y ? ? x ? e , 即 x ? y ?e ? 0.

?

?

(2)函数 f ? x ? 的定义域为 ? 0, ??? ,又因为

f ? ? x ? ? ? 2ax ? 1? ln x ? ? ax 2 ? x ? ?

1 1 ? ? 2ax ? 1 ? ? 2ax ? 1? ln x x 2

①当 a ? 0 时, 2ax ? 1 ? 0 ,若 x ? ? 0,1? ,则 f ? ? x ? ? 0 , 若 x ? ?1, ?? ? ,则 f ? ? x ? ? 0 , 所以函数 f ? x ? 在 ? 0,1? 上单调递增,在 ?1, ?? ? 上单调递减; ②当 0 ? a ?

1 ? 1 ? 时,若 x ? ? 0,1? 或 x ? ? , ?? ? ,则 f ? ? x ? ? 0 , 2 ? 2a ?

若 x ? ?1,

? 1 ? ? ,则 f ? ? x ? ? 0 . ? 2a ? ? 1 ? ? 1 ? , ?? ? 上单调递增,在 ?1, ? 上单调递减; ? 2a ? ? 2a ?

所以函数 f ? x ? 在 ? 0,1? 和 ? ③当 a ?

1 时, f ? ? x ? ? 0 恒成立且仅有 f ? ?1? ? 0 , 2

所以函数 f ? x ? 在 ? 0, ??? 上单调递增; ④当 a ?

1 ? 1 ? 时,若 x ? ? 0, ? 或 x ? ?1, ?? ? ,则 f ? ? x ? ? 0 , 2 ? 2a ?

若 x ??

? 1 ? ,1? ,则 f ? ? x ? ? 0 , ? 2a ? ? ? 1 ? ? 1 ? ? 和 ?1, ?? ? 上单调递增,在 ? ,1? 上单调递减. 2a ? ? 2a ?

所以函数 f ? x ? 在 ? 0,

1 ? x ? 1? t ? 2 ? 22.解: (1)直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数). ?y ? 3 t ? ? 2
消去参数得直线普通方程为 3x ? y ? 3 ? 0 由圆 C 的方程为 ? ? 2 3 sin ? ,即 ? 2 ? 2 3? sin ? , 可得圆 C 的直角坐标方程: x2 ? y 2 ? 2 3 y 即 x2 ? y 2 ? 2 3 y ? 0

1 ? x ? 1? t ? 2 ? (2)直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数). ?y ? 3 t ? ? 2
把直线 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程,
2 得 t ? 4t ? 1 ? 0 , ? ? 0 .

∴ t1 ? t2 ? 4 , t1t2 ? 1. ∴ PA ? PB ? t1 ? t2 ? t1 ? t2 ? 4 . 23. (1)解:当 a ? 2 时,不等式 f ? x ? ? 3 即为 x ? 2 ? x ?

1 ?3 2

1 11 ? 3 ,得 x ? ? ; 2 4 1 1 当 ?2 ? x ? ? 时, x ? 2 ? x ? ? 3 ,无解; 2 2 1 1 1 当 x ? ? 时, x ? 2 ? x ? ? 3 ,得 x ? . 2 2 4
当 x ? ?2 时, ? x ? 2 ? x ? 所以不等式 f ? x ? ? 3 的解集为 ? x x ? ?

? ?

11 1? 或x ? ? 4 4?

(2)证明:因为 f ? x ? ? x ? a ? x ?

1 a

所以 f ? m ? ? m ? a ? m ?

1 , a

1 1 1 1 1 1 ? 1? f ?? ? ? ? ? a ? ? ? ? ?a ? ? m m a m m a ? m?
所以 f ? m ? ? f ? ?

1 1 1 1 ? 1? ? ? m?a ? m? ? ? ?a ? ? ? a m m a ? m?

? m?a ?

1 1 1 1 ?a ? m? ? ? m a m a 1 1 1 1 1 ?a ? m? ? ? ? 2 m? m a m a m

? m?a?

? 1 ? 1 ? 2? m ? ? 2 ? 2 m ? ?4 ? ? m? m ? ?
附加题 24.解: (1)∵ y 2 ? ?4x 的焦点为 ? ?1,0? ,∴ c ? 1 . 又∵ e ?

c 2 ,∴ a ? 2, b ? 1. ? a 2
x2 ? y 2 ? 1. 2

∴椭圆 E 的方程为

(2)由题意知 k 存在且不为零,设直线 l 方程为 y ? k ? x ? m? , A ? x1 , y1 ? , C ? x2 , y2 ? ,

? x2 2 ? ? y ?1 联立 ? 2 ? y ? k ? x ? m? ?
2 2 2 2 2 消元整理得 1 ? 2k x ? 4mk x ? 2k m ? 2 ? 0 ,

?

?

∴ x1 ? x2 ?

4mk 2 2m 2 k 2 ? 2 x ? x ? , . 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

uur uuu r ? 5 ?? 5? PA ? PC ? ? x1 ? ?? x2 ? ? ? y1 y2 4 ?? 4? ?
? x1 x2 ? 5 25 ? x1 ? x2 ? ? ?k 2 ? x1 ? m?? x2 ? m? 4 16

25 ?5 ? ? ?1 ? k 2 ? x1 x2 ? ? ? mk 2 ? ? x1 ? x2 ? ? ? k 2 m 2 16 ?4 ?

?3m ?

2

? 5m ? 2 ? k 2 ? 2 1 ? 2k
2

?

25 16

∵ PA ? PC 为定值, ∴ 3m ? 5m ? 2 ? ?4 ,即 3m ? 5m ? 2 ? 0 。
2 2

uu r uuu r

∴ m1 ? 1, m2 ?

2 4 ,∵ m ? ,∴ m ? 1 , 3 3
2

∴ AC ? 1 ? k

x1 ? x2

? 1? k ?
2

16k 4 ? 8 ? 2k 2 ? 1?? k 2 ? 1? 2k 2 ? 1

2 8k 2 ? 8 2 2 ?1 ? k ? ? 1? k ? ? 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1 2

1 ? ? 2 2 ?1 ? 2 ? 2 2 k 2 ? 1 ? ?. ? k ?? 同理 BD ? 2 2 k ?2 ?1 2 k

?1 ? k ? 1 S ? AC ? BD ? 4 ? 2 ? 2k 2 ? 1?? k 2 ? 2?
2 2

? 4?

?1 ? k ?

2 2 2

? 2k 2 ? 1 ? k 2 ? 2 ? ? ? 2 ? ?

?

16 . 9
16 ,当且仅当 k ? ?1 时等号成立 9

∴四边形 ABCD 面积的最小值为


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