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2014年全国高考理科数学试题分类汇编(纯word解析版) 十二、直线与圆(逐题详解)


2014 年全国高考理科数学试题分类汇编(纯 word 解析版) 十二、直线与圆(逐题详解)
第 I 部分 1. 【2014 年安徽卷 (理 10) 】 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知向量 a, b, |a| ? |b| ? 1 , a? b? 0 , 点 Q 满 足 OQ ? 2 ( a ? b ) , 曲 线 C ? {P | OP ? a cos? ? b sin? , 0 ? ? ? 2? } , 区 域

? ? {P | 0 ? r ? PQ ? R, r ? R},若 C ? ? 为两段分离的曲线,则

y
(A) 1 ? r ? R ? 3 (C) r ? 1 ? R ? 3 (B) 1 ? r ? 3 ? R (D) 1 ? r ? 3 ? R

R
O

Q

r

【答案】A

C 【解析】向量 a,b 是一组标准正交基,可坐标化向量 OP ? a cos ? ? b sin ? ? (cos? , sin ? ) ,
所以曲线 C 是一个单位圆。同理区域 ? 是以 Q( 2 , 2 ) 为圆心、半径范围为 [ r , R ] 的 圆环。因为 C ? ? 为两段分离的曲线,由图易得 1 ? r ? R ? 3

x

2.【2014 年福建卷(理 06) 】直线 l:y=kx+1 与圆 O:x +y =1 相交于 A,B 两点,则“k=1” 是“△OAB 的面积为 ”的( A. 充分而不必要条件 C. 充分必要条件 ) B. 必要而不充分条件 D. 既不充分又不必要条件

2

2

【答案】A 2 2 【解析】若直线 l:y=kx+1 与圆 O:x +y =1 相交于 A,B 两点, 则圆心到直线距离 d= ,|AB|=2 ,

若 k=1,则|AB|= 立,即充分性成立.

,d=

,则△OAB 的面积为 ?

= 成

若△OAB 的面积为 ,则 S= 解得 k=±1,则 k=1 不成立,即必要性不成立.

= ?2?

=

= ,

故“k=1”是“△OAB 的面积为 ”的充分不必要条件.故选:A

1

3.【2014 年天津卷(理 06) 】如图, ?ABC 是圆的内接三角形, ?BAC 的平分线交圆于点 D ,交 BC 于点 E ,过点 B 的圆的切线与 AD 的延长线交于点 F ,在上述条件下,给出下
2 列四个结论:① BD 平分 ?CBF ;② FB ? FD ? FA ;③ AE ? CE ? BE ? DE ;④ AF ? BD ? AB ? BF .则所有正确结论的序号是

A.①②

B.③④

C.①②③

D.①②④

【答案】D 【解析】如图所示,∵∠1=∠3,∠2=∠4,且∠1=∠2,∴∠4=∠3,∴BD 平分∠CBF, ∴△ABF ∽△BDF.∵ = ,∴AB?BF=AF?BD.∵ = ,∴BF =AF?DF.故①②④正确.

AB AF BD BF

AF BF BF DF

2

4.【2014 年江西卷(理 09) 】在平面直角坐标系中, A, B 分别是 x 轴和 y 轴上的动点,若 以 AB 为直径的圆 C 与直线 2 x ? y ? 4 ? 0 相切,则圆 C 面积的最小值为

A. ?

4 5

B. ?

3 4

C. (6 ? 2 5)?

D. ?

5 4

【答案】A 【解析】 原点 O 到直线 2 x ? y ? 4 ? 0 的距离为 d , 则d ?

4 , 点 C 到直线 2 x ? y ? 4 ? 0 5

的距离是圆的半径 r ,由题意知 C 是 AB 的中点,又以斜边为直径的圆过三个顶点,则在直 角 ?AOB 中三角形中,圆 C 过原点 O,即 | OC |? r ,圆 C 的轨迹为抛物线,O 为焦点, l 为 准线,所以 rmin ?

4? d 2 2 ? , S min ? ?r ? ,所以选 A。 5 2 5

2

5.【2014 年上海卷(理 17) 】 已知 P 1 (a1 , b 1) 与 P 2 (a2 , b2 ) 是直线 y ? kx ? 1 ( k 为常数) 上两个不同的点,则关于 x 和 y 的方程组 ? (A) 无论 k , P 1 ,P 2 如何,总是无解. (C) 存在 k , P 1 ,P 2 ,使之恰有两解.

?a1 x ? b1 y ? 1, 的解的情况是 ?a2 x ? b2 y ? 1





(B) 无论 k , P 1 ,P 2 如何,总有唯一解. (D) 存在 k , P 1 ,P 2 ,使之有无穷多解.

【答案】B

【解析】 :由已知条件 b1 ? ka1 ? 1, b2 ? ka2 ? 1 ,

D?

a1

b1

a2 b2

? a1b2 ? a2b1 ? a1 (ka2 ? 1) ? a2 (ka1 ? 1) ? a1 ? a2 ? 0 ,∴有唯一解,选 B

第 II 部分 6.【2014 年陕西卷(理 12) 】若圆 C 的半径为 1,其圆心与点 (1,0) 关于直线 y ? x 对称,则 圆 C 的标准方程为_______. 【答案】 【解析】
2 ?点(1,0)关于y = x的对称点 (0,1), ∴圆心为(0,1),半径为 1 的标准方程为 x 2 + ( y -1 ) = 1. 2 x 2 + ( y -1 ) =1

7.【2014 年重庆卷 (理 13) 】已知直线 ax ? y ? 2 ? 0 与圆心为 C 的圆 ?x ? 1? ? ? y ? a ? ? 4
2 2

B 两点,且 ?ABC 为等边三角形,则实数 a ? _________. 相交于 A,
【答案】4+ 15 【解析】 易知该等边三角形的边长为 2 , 圆心到直线的距离为等边三角形的高 h ? 3 , 即:

a?a?2 a2 ? 1

? 3 ? a ? 4 ? 15

3

8. 【2014 年重庆卷 (理 14) 】 过圆外一点 P 作圆的切线 PA( A 为切点) , 再作割线 PB ,PC 分别交圆于 B , C ,若 PA ? 6 ,AC=8,BC=9,则 AB=________. 【答案】4 【解析】设 AB ? x, PB ? y ,由 ?PAB

?PCA 知:

PA AB PB 6 x y ? ? ? ? ? ? x ? 4, y ? 3 ,所以 AB ? 4 PC AC PA 9? y 8 6

BC 是⊙ O 的两条弦,AO ? BC ,AB ? 9. 【2014 年湖南卷 (理 12) 】 如图 3, 已知 AB ,

3,

BC ? 2 2 ,则⊙ O 的半径等于_______.

【答案】

3 2

【解析】设 AD 交 BC 于点 D,延长 AO 交圆于另一点 E,则 BD ? CD ?

2 ,在 ?ABD中由 3 勾股定理可得 AD ? 1,再由相交弦定理得 DE ? 2 ,从而直径 AE ? 3 ,半径 R ? 2
2 2

10.【2014 年全国大纲卷(15) 】直线 l1 和 l2 是圆 x ? y ? 2 的两条切线,若 l1 与 l2 的交点 为(1,3) ,则 l1 与 l2 的夹角的正切值等于 【答案】 【解析】设 l1 与 l2 的夹角为 2θ ,由于 l1 与 l2 的交点 A(1,3)在圆的外部, 且点 A 与圆心 O 之间的距离为 OA= = ,圆的半径为 r= , ∴sinθ = ∴tan2θ = = ,∴cosθ = = ,tanθ = = ,故答案为: = , .

4

11.【2014 年四川卷(理 14) 】设 m ? R ,过定点 A 的动直线 x ? my ? 0 和过定点 B 的动直 线 mx ? y ? m ? 3 ? 0 交于点 P ( x, y ) ,则 | PA | ? | PB | 的最大值是 。

【答案】 5 【解析】 方法 1:

A(0, 0) , B(1,3) ,因为 PA ? PB ,所以 | PA |2 ? | PB |2 ?| AB |2 ? 10
故 | PA | ? | PB |? 方法 2:

| PA |2 ? | PB |2 ) ? 5 (当且仅当 | PA |?| PB |? 5 时取“ ? ” 2

12.【2014 年全国新课标Ⅱ(理 16) 】设点 M( x0 ,1) ,若在圆 O: x 2 ? y 2 ? 1上存在点 N, 使得∠OMN=45°,则 x0 的取值范围是________.

【答案】 【解析】

[-1,1]

在坐标系中画出圆 O和直线y = 1,其中M(x0 ,1)在直线上 . 由圆的切线相等及三角 形外角知识,可得 x 0 ∈[-1,1].故x 0 ∈[-1,1].

13. 【 2014 年江苏卷(理 09 ) 】在平面直角坐标系 xOy 中,直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 被圆
2 (x ? 2) ? ( y ? 1) 2 ? 4 截得的弦长为



【答案】

2 55 5

【解析】根据直线和圆的位置关系,直线与圆相交,求弦长,构建“黄金三角形”勾股定理,
5

圆 心 为 (2,?1) , r ? 2 , 圆 心 到 直 线 的 距 离 d ?

| 2? 2?3| 1 ?2
2 2

?

3 5 ,弦长 5

2 2 =2 r ?d =2 4?

9 2 ? 5 5 5

14.【2014 年湖北卷(理 12) 】直线 l1 : y ? x ? a 和 l2 : y ? x ? b 将单位圆 C : x2 ? y 2 ? 1 分 成长度相等的四段弧,则 a ? b ? ________.
2 2

【答案】2

【解析】依题意,圆心 (0,0) 到两条直线的距离相等,且每段弧的长度都是圆周的 到 l1 : y ? x ? a 的 距 离 为

1 ,圆心 4

| 0 ?1 ? 0( ? -1)+a |
2 12 ? (? 1 )

, 圆 心 到 l2 : y ? x ? b 的 距 离 为

| 0 ?1 ? 0( ? -1)+b |
2 12 ? (? 1 )

,即

|a| |b| |a| 2 2 2 ? , , 所 以 a ? b ?1 , 故 ? cos 45? ? 2 2 2 2

a2 ? b2 ? 2 .

第 III 部分 15.【2014 年北京卷(理 19) 】 (本小题 14 分) 已知椭圆 C : x
2

? 2 y2 ? 4 ,
? 2 上,且 OA ? OB ,求直线 AB

(1)求椭圆 C 的离心率. (2)设 O 为原点,若点 A 在椭圆 C 上,点 B 在直线 y 与圆 x
2

? y 2 ? 2 的位置关系,并证明你的结论.

x2 y 2 ? ?1。 解: (I)由题意,椭圆 C 的标准方程为 4 2
2 2 所以 a ? 4, b ? 2 ,从而 c ? a ? b ? 2 。因此 a ? 2, c ? 2 。
2 2 2

6

故椭圆 C 的离心率 e ?

c 2 ? 。 a 2

(Ⅱ) 直线 AB 与圆 x 2 ? y 2 ? 2 相切。证明如下: 设点 A,B 的坐标分别为 ( x0 , y0 ) , (t , 2) ,其中 x0 ? 0 。 因为 OA ? OB ,所以 OA ? OB ? 0 ,即 tx0 ? 2 y0 ? 0 ,解得 t ? ?

2 y0 。 x0

当 x0 ? t 时, y0 ?

t2 ,代入椭圆 C 的方程,得 t ? ? 2 , 2

故直线 AB 的方程为 x ? ? 2 。圆心 O 到直线 AB 的距离 d ? 此时直线 AB 与圆 x ? y ? 2 相切。
2 2

2。

当 x0 ? t 时,直线 AB 的方程为 y ? 2 ?

y0 ? 2 (x ? t) , x0 ? t

即 ( y0 ? 2) x ? ( x0 ? t ) y ? 2x0 ? ty0 ? 0 , 圆心 0 到直线 AB 的距离

d?

2 x0 ? ty0 ( y0 ? 2) 2 ? ( x0 ? t ) 2

2 2 又 x0 ? 2 y0 ? 4 , t ? ?

2 y0 故 x0

2 x0 ? d?
2 2

2 y0 2 x0

4 y0 2 x0 ? y0 ? 2 ? 4 x0
2 2

?

4 ? x0 x0 x0 4 ? 8 x0 2 ? 16 2 x0 2

? 2

此时直线 AB 与圆 x ? y ? 2 相切。

7


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