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2014年海淀区高三一模数学试题参考答案(理科)


海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案 数学(理科) 2014.4
阅卷须知: 1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。 2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 1.C 2. D 3. D 4. A 5. B 6. B 7. C 8. B

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. 96 10.

1 6

11. 2

12.

3 4

13.

3 2 4

14. 9;3 (本题第一空 3 分,第二空 2 分)

三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分. 15.解: (Ⅰ) f ( x) ? sin

π x 3

---------------------------2 分

g (0) ?

f (1) ? f (0) ------------------------------3 分 1
π 3 .-------------------------------5 分 ? sin 0 ? 3 2

? sin

(Ⅱ) g (t ) ?

f (t ? 1) ? f (t ) ? ? π ? sin( t ? ) ? sin t ------------------------------6 分 t ?1? t 3 3 3
------------------------------7 分

? sin

?

π ? π π t cos ? cos t sin ? sin t 3 3 3 3 3

1 π 3 π ? ? sin t ? cos t ------------------------------8 分 2 3 2 3

π π ? ? sin( t ? ) ------------------------------10 分 3 3
因为 t ? [?

3 3 π π 5π π , ] ,所以 t ? ? [? , ] ,------------------------------11 分 2 2 3 3 6 6

所以 sin(

?

π 1 t ? ) ? [?1, ] ,-----------------------------12 分 3 3 2

1 3 3 所以 g (t ) 在 [? , ] 上的取值范围是 [? ,1] -----------------------------13 分 2 2 2
1

16.解: (Ⅰ)甲公司员工 A 投递快递件数的平均数为 36,众数为 33. --------------------------------2 分 (Ⅱ)设 a 为乙公司员工 B 投递件数,则 当 a =34 时, X =136 元,当 a >35 时, X ? 35 ? 4 ? (a ? 35) ? 7 元, -------------------------------4 分 {说明:X 取值都对给 4 分,若计算有错,在 4 分基础上错 1 个扣 1 分,4 分扣完为止}

X 的可能取值为 136,147,154,189,203

X 的分布列为: X
136 147 154 189 203

P

1 10

3 10

2 10

3 10

1 10

--------------------------------------9 分 {说明:每个概率值给 1 分,不化简不扣分,随机变量值计算错误的此处不再重复扣分}

E ( X ) ? 136 ?

1 3 2 3 1 ? 147 ? ? 154 ? ? 189 ? ? 203 ? 10 10 10 10 10

=

1655 =165.5(元) --------------------------------------11 分 10

(Ⅲ)根据图中数据,可估算甲公司被抽取员工该月收入 4860 元,乙公司被抽取员工该月收入 4965 元.------------------------------------13 分 17. (Ⅰ)因为平面 ABD ? 平面 BCD ,交线为 BD , 又在 ?ABD 中, AE ? BD 于 E , AE ? 平面 ABD 所以 AE ? 平面 BCD .--------------------------------------3 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)结论 AE ? 平面 BCD 可得 AE ? EF . 由题意可知 EF ? BD ,又 AE ? BD . 如图, 以 E 为坐标原点, 分别以 EF , ED, EA 所在直线 为 x 轴, y 轴, z 轴,建立空间直角坐标系 E ? xyz --------------------------4 分 不妨设 AB ? BD ? DC ? AD ? 2 ,则 BE ? ED ? 1 . 由图 1 条件计算得, AE ? 3 , BC ? 2 3 , BF ?
B D Fx y C

z

A1

E

3 3

则 E (0, 0, 0), D(0,1, 0), B(0, ?1, 0), A(0, 0, 3), F (

3 , 0, 0), C ( 3, 2, 0) -------5 分 3

???? ???? DC ? ( 3,1, 0), AD ? (0,1, ? 3) .
由 AE ? 平面 BCD 可知平面 DCB 的法向量为 EA . -----------------------------------6 分 设平面 ADC 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则
2

??? ?

???? ? 3x ? y ? 0, ?n ? DC ? 0, ? ? ? ???? 即? ? ? n ? AD ? 0. ? ? y ? 3z ? 0.
令 z ? 1,则 y ? 3, x ? 1 ,所以 n ? (1, 3, ?1) .------------------------------------8 分 平面 DCB 的法向量为 EA

??? ?

??? ? ??? ? EA ? n 5 ? 所以 cos ? n, EA ?? ??? , ?? 5 | EA | ? | n |
所以二面角 A ? DC ? B 的余弦值为

5 ------------------------------9 分 5

(Ⅲ)设 AM ? ? AF ,其中 ? ? [0,1] . 由于 AF ? (

???? ?

??? ?

??? ?

3 , 0, ? 3) , 3 ??? ? 3 , 0, ? 3) ,其中 ? ? [0,1] 3
--------------------------10 分

所以 AM ? ? AF ? ? (

???? ?

所以 EM ? EA ? AM ? ?

???? ?

??? ? ???? ?

? 3 ? ? 3 ? , 0, (1 ? ? ) 3 ? ? --------------------------11 分 ? ?

由 EM ? n ? 0 ,即

???? ?

3 ? -(1-?) 3 ? 0 ---------------------------12 分 3

解得 ? =

3 ? (0,1) .-----------------------------13 分 4
???? ?

所以在线段 AF 上存在点 M 使 EM ∥平面ADC ,且 18.解 (Ⅰ) y? ? ae ,-----------------------------------2 分
ax

AM 3 ? .-------------14 分 AF 4

因为曲线 C 在点(0,1)处的切线为 L: y ? 2x ? m , 所以 1 ? 2 ? 0 ? m 且 y? |x ?0 ? 2 .----------------------------------4 分 解得 m ? 1 , a ? 2 -----------------------------------5 分 (Ⅱ)法 1: 对于任意实数 a,曲线 C 总在直线的 y ? ax ? b 的上方,等价于
3

?x, a ? R ,都有 e

ax

? ax ? b ,
ax

即?x, a ?R, e ? ax ? b ? 0 恒成立,--------------------------------------6 分 令 g ( x) ? e ? ax ? b ,----------------------------------------7 分
ax

①若 a=0,则 g ( x) ? 1 ? b , 所以实数 b 的取值范围是 b ? 1 ;----------------------------------------8 分 ②若 a ? 0 , g ?( x) ? a(e ? 1) ,
ax

由 g '( x) ? 0 得 x ? 0 , ----------------------------------------9 分 g '( x), g ( x) 的情况如下:

x
g '( x) g ( x)

(-?, 0)
?

0 0

(0,+?)
+

极小值 ? -----------------------------------------11 分

?

所以 g ( x) 的最小值为 g (0) ? 1 ? b ,-------------------------------------------12 分 所以实数 b 的取值范围是 b ? 1 ; 综上,实数 b 的取值范围是 b ? 1 .--------------------------------------13 分 法 2:对于任意实数 a,曲线 C 总在直线的 y ? ax ? b 的上方,等价于 ?x, a ? R ,都有 e
ax

? ax ? b ,即

?x, a ?R, b ? e ? ax 恒成立, -------------------------------------------6 分
ax

令 t ? ax ,则等价于? t ? R , b ? e ? t 恒成立,
t

令 g (t ) ? e ? t ,则 g ?(t ) ? e ? 1 ,-----------------------------------------7 分
t

t

由 g '(t ) ? 0 得 t ? 0 , ----------------------------------------9 分 g '(t ), g (t ) 的情况如下:

t
g '(t ) g (t )

(-?, 0)
?

0 0

(0,+?)
+

极小值 ? -----------------------------------------11 分 所以 g (t ) ? e ? t 的最小值为 g (0) ? 1 ,
t

?

------------------------------------------12 分 --------------------------------------------13 分

实数 b 的取值范围是 b ? 1 .

4

19.解: (Ⅰ)设 A( x0 , y0 ) , B ( x0 , ? y0 ) ,---------------------------------------1 分 因为 ?ABM 为等边三角形,所以 | y0 |? 又点 A( x0 , y0 ) 在椭圆上,

3 | x0 ? 1| . ---------------------------------2 分 3

? 3 | x0 ? 1|, ?| y0 |? 所以 ? 消去 y0 ,-----------------------------------------3 分 3 ? 2 x 2 ? 3 y 2 ? 9, 0 ? 0
得到 3 x0 2 ? 2 x0 ? 8 ? 0 ,解得 x0 ? 2 或 x0 ? ?

4 ,----------------------------------4 分 3

当 x0 ? 2 时, | AB |?

2 3 ; 3

当 x0 ? ?

4 14 3 时, | AB |? .-----------------------------------------5 分 9 3

{说明:若少一种情况扣 2 分} (Ⅱ)法 1:根据题意可知,直线 AB 斜率存在. 设直线 AB : y ? kx ? m , A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , AB 中点为 N ( x0 , y0 ) , 联立 ?

? 2 x 2 ? 3 y 2 ? 9, ? y ? kx ? m
2

消去 y 得 (2 ? 3k ) x ? 6kmx ? 3m ? 9 ? 0 ,------------------6 分
2 2 2

由 ? ? 0 得到 2m ? 9k ? 6 ? 0 ①
2

----------------------------7 分

所以 x1 ? x2 ? ?

6km , 2 ? 3k 2 4m , 2 ? 3k 2
----------------------------8 分

y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2m ?
所以 N (?

3km 2m , ) ,又 M (1, 0) 2 2 ? 3k 2 ? 3k 2
--------------------------9 分

如果 ?ABM 为等边三角形,则有 MN ? AB ,

2m 2 所以 kMN ? k ? ?1 ,即 2 ? 3k ? k ? ?1 ,------------------------------10 分 3km ? ? 1 2 ? 3k 2
5

化简 3k ? 2 ? km ? 0 ,②------------------------------11 分
2

由②得 m ? ?
2

3k 2 ? 2 (3k 2 ? 2)2 ,代入①得 2 ? 3(3k 2 ? 2) ? 0 , 2 k k

化简得 3k ? 4 ? 0 ,不成立,-------------------------------------13 分 {此步化简成

9k 4 ? 18k 2 ? 8 ? 0 或 9k 4 ? 18k 2 ? 8 ? 0 或 (3k 2 ? 2)(3k 2 ? 4) ? 0 都给分} 2 k
-------------------------------------14 分

故 ?ABM 不能为等边三角形. 法 2:设 A( x1 , y1 ) ,则 2 x12 ? 3 y12 ? 9 ,且 x1 ? [?3,3] , 所以 | MA |? ( x1 ? 1)2 ? y12 ? ( x1 ? 1) 2 ? 3 ?

2 2 1 x1 ? ( x1 ? 3) 2 ? 1 ,----------------8 分 3 3
-----------------9 分

设 B( x2 , y2 ) ,同理可得 | MB |?

1 ( x2 ? 3)2 ? 1 ,且 x2 ?[?3,3] 3

因为 y ?

1 ( x ? 3)2 ? 1 在 [?3,3] 上单调 3
---------------------------------11 分

所以,有 x1 ? x2 ? | MA |?| MB | , 因为 A, B 不关于 x 轴对称,所以 x1 ? x2 . 所以 | MA |?| MB | , 所以 ?ABM 不可能为等边三角形. 20.解:

---------------------------------13 分 ---------------------------------14 分

(Ⅰ)设点列 A1 (0, 2), A2 (3,0), A3(5, 2) 的正交点列是 B1 , B2 , B3 , 由正交点列的定义可知 B1 (0, 2), B3 (5, 2) ,设 B2 ( x, y ) ,

????? ????? ????? ????? A1 A2 ? (3, ?2), A2 A3 ? (2, 2) , B1B2 ? ( x, y ? 2), B2 B3 ? (5 ? x, 2 ? y ) ,
由正交点列的定义可知 A1 A2 ? B1B2 ? 0 , A2 A3 ? B2 B3 ? 0 , 即?

????? ?????

????? ?????

?3 x ? 2( y ? 2) ? 0, ?x ? 2 , 解得 ? ?2(5 ? x) ? 2(2 ? y ) ? 0 ?y ? 5

所以点列 A1 (0, 2), A2 (3,0), A3(5, 2) 的正交点列是 B1 (0, 2), B2 (2,5), B3 (5, 2) .------3 分

A3 A4 ? (3,1) , (Ⅱ)由题可得 A1 A2 ? (3,1), A2 A3 ? (3, ?1),
6

?????

?????

?????

设点列 B1 , B2 , B3 , B4 是点列 A1 , A2 , A3 , A4 的正交点列,

B3 B4 ? ?3 (?1,3) , ?1,?2,?3 ? Z 则可设 B1 B2 ? ?1 (?1,3), B2 B3 ? ?2 (1,3),
因为 A1与B1 , A4与B4 相同,所以有

?????

?????

?????

? ?-?1 +?2 -?3 =9 , (1) ? ? ?3?1 +3?2 +3?3 =1 . (2)
因为 ?1,?2,?3 ? Z ,方程(2)显然不成立, 所以有序整点列 A1 (0, 0), A2 (3,1), A3 (6, 0), A4 (9,1) 不存在正交点列;---------------8 分 (Ⅲ) ?n ? 5,n ? N ,都存在整点列 A(n) 无正交点列. -------------------------9 分

?????? ?n ? 5,n ? N ,设 Ai Ai ?1 ? (ai , bi ), 其中 ai , bi 是一对互质整数, i ? 1, 2,3?, n ?1
若有序整点列 B1 , B2 , B3 ,? Bn 是点列 A1 , A2 , A3 ,? An 正交点列, 则 Bi Bi ?1 ? ?i (?bi , ai ), i ? 1, 2,3,? , n ? 1 ,
n ?1 ? n ?1 ? ? b ? ai , (1) ? ? i i ? ? i =1 i ?1 则有 ? n ?1 n ?1 ? ? a ? b . (2) ? ii ? i ? i ?1 ? i =1

??????

①当 n 为偶数时,取 A1 (0, 0), ai =3,bi = ?

?1, i为奇数 , i ? 1, 2,3,? , n ? 1 . -1 , i 为偶数 ?

由于 B1 , B2 , B3 ,? Bn 是整点列,所以有 ?i ? Z , i ? 1,2,3,?, n ? 1 . 等式(2)中左边是 3 的倍数,右边等于 1,等式不成立, 所以该点列 A1 , A2 , A3 ,? An 无正交点列; ②当 n 为奇数时, 取 A1 (0, 0), a1 =3, b1 ? 2 , ai =3,bi = ?

?1, i为奇数 , i ? 2,3,? , n ? 1 , ?-1,i为偶数

由于 B1 , B2 , B3 ,? Bn 是整点列,所以有 ?i ? Z , i ? 1,2,3,?, n ? 1 . 等式(2)中左边是 3 的倍数,右边等于 1,等式不成立, 所以该点列 A1 , A2 , A3 ,? An 无正交点列. 综上所述, ?n ? 5,n ? N ,都不存在无正交点列的有序整数点列 A(n) ----------13 分
7


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