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谈谈数列中的放缩法


谈谈数列中的放缩法
高考中利用放缩方法证明不等式,文科涉及较少,但理科却常常出现(虽然数列在高考中已有所降 温) .放缩法证明不等式有法可依,但具体到题,又常常没有定法,它综合性强,形式复杂,运算要求高, 往往能考查考生思维的严密性,深刻性以及提取和处理信息的能力,较好地体现高考的甄别功能. 缩法是不等式证明中一种常用的方法,也是一种非常重要的方法.在证明过程中,适当地进行放缩, 可以化繁为简、化难为易,达到事半功倍的效果.但放缩的范围较难把握,常常出现放缩之后得不出结论 或得出相反结论的现象.因此,使用放缩法时,如何确定放缩目标尤为重要.要想正确确定放缩目标,就 必须根据欲证结论,抓住题目的特点.掌握放缩技巧,真正做到弄懂弄通,并且还要根据不同题目的类型, 采用恰到好处的放缩方法,才能把题解活,从而培养和提高自己的思维和逻辑推理能力,分析问题和解决 问题的能力. 放缩法的本质是基于最初等的四则运算,利用不等式的传递性,其优点是能迅速地化繁为简,化难为 易,达到事半功倍的效果;其难点是变形灵活,技巧性强,放缩尺度很难把握. 裂项放缩与裂项 (1)基本放缩 1 1 1 = - ; n(n+1) n n+1 1 1 1 1 = [ - ]; n(n+1)(n+2) 2 n(n+1) (n+1)(n+2) 1 (2)对 2的放缩 k 1 1 1 1 1 1 1 ① - = = - (k≥2) ; ? ? 2 k k+1 k(k+1) k k(k-1) k-1 k ② 1 1 1 1 1 = ( - )(k≥2) ; k2 ? k2-1 2 k-1 k+1 1 k2 ? 1 1 k2- 4 = 4 1 1 =2( - ). (2k-1)(2k+1) 2k-1 2k+1 1 11 1 = ( - ); n(n+k) k n n+k 1 1 = ( n+k- n), (k∈N+) . n+k+ n k

1 (3)对 3的放缩 k 1 1 1 (k≥2) ; ? ? (k-1)k(k+1) k3 k(k+1)(k+2) (4)对 1 的放缩 k 2 k+ k+1

2( k+1- k) ?

?

1 2 ? 2( k- k-1); ? k k+ k-1

1 2 (关系不明显的需证明) . ? k k+1+ k-1 2n 1 1 (5) n+1 = n - n+1 (*) . 2 - 1 n (2 -1)(2 -1) 2 -1 1 (6)对 n+1 的放缩 2 -1
n+1 ?

1

1 2
n+1

2

-1 (2

?

2n
n+1

-1)2n (2

?

2n
n+1

-1)(2 -1)

n

?

- 2n-1 n+1 2

1

1

-1



1

典型例题
例1 (

1 1 1 1 1 型)若 n 是自然数,求证: 2 ? 2 ? 2 ?L ? 2 ? 2 . 2 1 2 3 n n

2、(节选 2014 广东文) an ? 2n ,求证:对一切正整数 n ,

1 1 1 1 ? ?L ? ? . a1 ? a1 ? 1? a2 ? a2 ? 1? an ? an ? 1? 3

例 2、 (根式型)求证: 2( n ? 1 ?1) ? 1 ?

1 1 1 ? ?L ? ? 2 n ,其中 n ? N ? . 2 3 n

2 变式:(灵活放缩)已知各项均为正数的数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 an ? an ? 2Sn .

(1) 求证: Sn ?

an 2 ? an ?12 ; 4 Sn ?1 ? 1 2


(2) 求证:

Sn 2

? S1 ? S2 ? ??? ? Sn ?

解: ( 1 )在条件中,令 n = 1 ,得 a12+a1=2S1=2a1 , ∵a1>0 , ∴a1=1 ,又由条件 an2+an=2Sn ,有: an+12+an+1=2Sn+1,上述两式相减,注意到an+1=Sn+1-Sn ,得(an+1+an)(an+1-an-1)=0,∵an>0, ∴ n(n+1) n(n+1) 1 n2+(n+1)2 an+1+an>0,故而an+1-an=1,所以,an=1+1× (n-1)=n,Sn= ,所以Sn= · 2 2 ?2 2

?

an2+an+12 ; 2 n(n+1) n+1 n+1 n , 即 ? Sn ? , 所以 2 ? 2 2 2

n (2) 由 n ? n(n+1) ? n+1, 得 ? 2

?
i ?1

n

n ?1 n i i ?1 , ? ? Si ? ? 2 i ?1 2 i ?1

?
i ?1

n

i 1 n(n ? 1) Sn , ? ? ? 2 2 2 2

?

i ? 1 1 n(n ? 3) 1 (n ? 1)(n ? 2) ? 1 Sn?1 ? 1 ? ? ? ? ? 2 2 2 2 2 2 i ?1
n

Sn 2

? S1 ? S2 ? ??? ? Sn ?

Sn ?1 ? 1 2

2

例 4(构造型放缩) (2014 高考数学新课标Ⅰ理 17)已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , an?1 ? 3an ? 1 . (Ⅰ)证明 an ? 1 是等比数列,并求 ?an ? 的通项公式;

?

2

?

(Ⅱ)证明: 1 ? 1 ? …+ 1 ? 3 .

a1

a2

an

2

n 解: (1) 证明略, (2) 由 (I) 知, 1 ? an ? 3 ? 1 ;

2

an

2 , 3n ? 1 ? 2 ? 3n ?1 , 因为 n ? 1 时, 所以 n1 ? 1n?1 . 3 ?1 2 ? 3 3n ? 1 3 2

于是 1 ? 1 ? …+ 1 ? 1 ? 1 ? ?? 1 (其他方法这里不介绍) ? 3 (1 ? 1 )? 3. n ?1 n

a1

a2

an

3

3

2

变式:设数列 ?an ? 为单调递增的等差数列, a1 ? 1 ,且 a3 , a6 , a12 依次成等比数列. (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式 an ; (II)若 cn ?
n 2an ? 1 1 ,求证: ci ? n ? . ? an 2 ?1 3 i?2

解:⑴ an ? n. ⑶ cn ?
n

…….3 分

2 2n 2n 1 ? 2n ? 1 2 ? 1 ? ? ? 2 ? n ?1 ? n . ? 1 ? , 而 n n n n n ?1 n n ?1 2 ? 1 ? 2 ? 1? 2 2 ?1 2 ?1 ? ? 2 ? 1?? 2 ? 1? ? 2 ? 1 2 ? 1 ?

所以

?c ? 3 ? 2 ? ? ?? 2
i ?2 i

2

?? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? ? 1 ? 3 ? ? ? 3 ? 4 ? ? ? ? ? n?1 ? n ?? ? ? n ? 1? 2 ?1 2 ?1 ? ? 2 ?1 2 ?1 ? ? 2 ?1 2 ?1 ??

?

2 1 ? 1 ?1 ? 2 ? ? n ? ? n ? 1 ? n ? . …………………….13 分 3 3 ? 3 2 ?1 ?

2 灵活拓展:1、 (13·成都一诊)数列 ?an ? 中, a1 ? 2 , a2 ? 4 ,且当 n ? 2 时, an ? an?1an?1 , n ? N? .

(1)求数列 ?an ? 的通项公式 an ; (2)若 bn ? ? 2n ?1? an ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn ; (3)求证:

1 1 1 1 3 ? ? ?L ? ? . a1 2a2 3a3 nan 4

解: (I) an ? 2n ;??3 分(II) Sn ? (2n ? 3) ? 2n?1 ? 6 ;??7 分 (III)显然 n ? 1, 2 时不等式成立,当 i ? 3 时, 故 n ? 3 时,

1 1 ? , i i ? 2 2 ? 2i

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 ? ? ?L ? ? ? ? ( 3 ? 4 ?L ? n ) ? ? n?1 a1 2a2 3a3 nan 2 8 2 2 2 2 4 2

3

? 2、 已知函数 y ? f ? x ? 满足: f (1 ? x) ? f ( x) ? 1 . 若 Sn ? f ?
设 an ?

1? ?? ?n?

?2? ? n ?1 ? * f ? ? ?L ? f ? ? ? n ? N , n ? 2? , n n ? ? ? ?

17 1 , Tn 为数列 ?an ? 前 n 项和,证明: Tn ? . 52 4 ? Sn?1 ? 1?? Sn? 2 ? 1? ? 1 n ?1 1 1 17 1 1 1 1 ? ? ? ? , an ? , Tn ? ? 2 3 n ? 2 52 (n ? 1)(n ? 2) ? 1 (n ? 1)(n ? 2) n ? 1 n ? 2

解析: S n ?

一、分式和——准确变形,裂项相消 例 (06· 全国 I· 理· 22)设数列 ?an ? 的前 n 项的和 S n ?

4 1 2 a n ? ? 2n ?1 ? , n ? N * . 3 3 3

n 3 2n * (1)求首项 a1 与通项 an ; (2)设 Tn ? , n ? N ,证明: ? Ti ? . 2 Sn i ?1

解析: (I) a1 ? 2 , an ? 2 (2 ?1) ;
n n

(II)证明: S n ?

2 n ?1 3 1 1 (2 ? 1)(2n ? 1) , Tn ? ( n ? n ?1 ) , 3 2 2 ?1 2 ?1

?Ti ?
i ?1

n

3 n 1 1 3 1 1 3 ( i ? i ?1 ) ? ( 1 ? n?1 ) ? . ? 2 i ?1 2 ? 1 2 ? 1 2 2 ? 1 2 ? 1 2

4

二、指数和——裂项无效,化归等比 例 (节选 06· 福建· 理· 22) 已知 an ? 2n ?1(n ? N * ) ,求证:

a n 1 a1 a2 n ? ? ? ? ... ? n ? ,(n ? N * ) . 2 3 a2 a3 an?1 2

证明:?

ak 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? k ? ? . k , k ? 1, 2,..., n k ?1 k ak ?1 2 2(2 ? 1) 2 3.2 ? 2 ? 2 2 3 2 a a1 a2 n 1 1 1 1 n 1 1 n 1 ? ? ... ? n ? ? ( ? 2 ? ... ? n ) ? ? (1 ? n ) ? ? a2 a3 an?1 2 3 2 2 2 2 3 2 2 3

?

a n 1 a a n ? ? ? 1 ? 2 ? ... ? n ? (n ? N * ) 2 3 a2 a3 an ?1 2
三、把握结构,均分放缩 对形如“

?a
i ?1

n

i

”的不等式,由于左边是 n 项之和,右边可以变形为 n 个 k 之和, ? kn (其中 k 是常数)

所以可考虑左边的每一项能否放大到 k .像这种每一项的放缩度是一样的,称为均分放缩,是化归等比的 特例. 如上例中:

1 a a1 a2 n ? ? ... ? n ? , (n ? N * ) 可以用此法来证明,只需证明每项均小于 即可. 2 a2 a3 an?1 2

因为

ak 2k ? 1 1 2k ? 1 1 a a a n ? k +1 = ? ? (k ? N * ) ,所以 1 ? 2 ? ... ? n ? , (n ? N * ) . ak ?1 2 ? 1 2 2k ? 1 2 a2 a3 an?1 2 2

注:均分放缩,应从欲证不等式的结构形式上去考虑,由于每项放缩度是一样的,放缩程度比较大,因此 可以考虑前面一项或前面几项不放缩,对后面几项进行放缩. 四、特殊探路,确定目标——合理变形,不断调整 如果不等关系不明确时,可以先选取几个特殊值进行尝试,名曲目标后再进行论证. 例 设函数 f ( x) ?

1 2 3 x ? bx ? ,已知不论 ? , ? 为何实数,恒有 f (cos ? ) ? 0 , f (2 ? sin ? ) ? 0 .对 4 4

于正数列 ?an ? ,其前 n 项和 Sn ? f (an ), n ? N * . (1)求实数 b 的值; (2)求数列 ?an ? 的通项公式; (3)若 cn ? 解析: (I) b ?

1 1 * , n ? N ,且数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn ,比较 Tn 与 的大小,并说明理由. 6 1 ? an

1 * ; (II) an ? 2n ? 1, n ? N ; 2

5

1 到底是放大还是缩小?我们可以用特殊值探路,当 n=1,2,3时,都有Tn< ,由此可以大胆猜想证明目标: 6 1 “Tn< ” ,明确放缩方向后,进行尝试探索,并不断调整,努力接近解题目标,直到解决问题. 6 在上例中,明确方向后,估计是通过裂项相消,能出现 键是对 cn 进行放缩变形,可以采用不同的试探方式. 经计算发现,只有(5)能有效解决问题. 注:在使用放缩证题时,经常会遇到放的太大或者缩得太小的情况,因此需要大胆尝试、猜想、判断,并 不断的调整,虽经失败,但从中获得了教训和经验,对培养我们的探索精神大有裨益. 五、准确判断,确定起点 例 1 (2013· 广东· 理)若 n 是自然数,求证: 证明:记 an ? n2 , n ? N * , ①当 n ? 1 时,

1 ? g ( n) 的形式,再判断 g (n) 的符号.因此关 6

1 1 1 1 7 ? 2 ? 2 ?L ? 2 ? . 2 1 2 3 n 4

1 7 ? 1 ? ,? 原不等式成立. a1 4
2

②当 n ? 2 时, ? n ? ? n ? 1? ? ? n ? 1? ,?

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) 2 n ? n ?1? ? ? n ? 1? 2 n ?1 n ? 1

?

1 1 1 1 ?? 1 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ? 1? ? 1 1 ?? ? 1 ? ? L ? ? 1 ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? L ? ? ? ??? ? ?? a1 a2 an 2 ?? 1 3 ? ? 2 4 ? ? 3 5 ? ? n ? 2 n ? ? n ?1 n ? 1 ??

6

1 ?1 1 1 1 ? ? 1? ? ? ? ? ? 2 ? 1 2 n n ?1 ? 7 1? 1 1 ? ? ? ?? ? ? 4 2 ? n n ?1 ? 7 ? 4
? 当 n ? 2 时, ? 原不等式亦成立.
综上,对一切正整数 n ,有

1 1 1 7 ? ??? ? . a1 a2 an 4

六、放缩一步到位 在用“放缩法”证明不等式时,最易犯的错误是放缩过头.为了避免放缩过头,人们往往反复尝试,才可 能找到最适当的放缩方式,这样做费时又费力.如何恰到好处地放缩,自然为广大师生所关注本文将用待定 系数法来准确把控放缩程度,从而证明相关不等式. 例 1 求证:

1 1 1 1 2 ? ? ? ? . 7 23 47 4n(n ? 1) ? 1 7

证明:因为

1 1 1 2 1 1 ? ? ? ( ? ) 4n(n ? 1) ? 1 7 ? 4n(n ? 1) ? 1 ? 4n(n ? 1) ? 1 7 n(n ? 1) 7 n n ? 1 8 8 2

所以

1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 2 ? ? ? ? [(1 ? ) ? ( ? ) ?L ? ( ? )] ? (1 ? )? . 7 23 47 4n(n ? 1) ? 1 7 2 2 3 n n ?1 7 n ?1 7

7 1 3 5 “ ”是如何想到的?为何不是 、 、 等其他数?可能有人会说是试出来的.有没有办法一步到位找到这 8 2 4 6 7 7 个 呢?其实,我们学习过待定系数法,这里我们使用待定系数法来寻找这个 . 8 8 设待定实数 ? ? ? 0,1? ,

1 1 1 1 1 1 ? ? ? ( ? ) 4n(n ? 1) ? 1 ? ? 4n(n ? 1) ? (1 ? ? ) ? 4n(n ? 1) ? 1 ? ? 4n(n ? 1) 4? n n ? 1




1 2 7 1 1 1 1 1 1 1 ? , ? ? ,且 (1 ? ? ) ? 4n(n ? 1) ? 1 ? 0 , ? ? ? ? (1 ? )? ,令 4? 7 8 7 23 47 4n(n ? 1) ? 1 4? n ? 1 4?

知※成立. 例 2 求证:

?2
i ?1

n

i

1 5 ? . ?1 3
1 4 ? 2 ? 1 3 ? 2i
i

证明:显然 n ? 1, 2 时不等式成立,当 i ? 3 时,
n

1 1 n 1 1 4 n 1 4 4 1 1 5 ? 1 ? ? ? 1 ? ? ? i ? ? ( ? n)? ? ? i i 3 i ?3 2 ? 1 3 3 i ?3 2 3 3 4 2 3 i ?1 2 ? 1

7

例 3 求证:

?3 ?2
i ?1 i

n

1

i

?

3 . 2

因式分解 an ? bn ? (a ? b)(an?1 ? an?2b ? a n?3b2 ? ?? bn?1 ) 故而: 3i ? 2i ? (3 ? 2)(3i ?1 ? 3i ?2 ? 2L ? 2i ?1 ) ? 3i ?1 ,
i

1 1 ? i ?1 【当然,我们有理由猜测必定需要将 i 3 ?2 3
i

1 1 1 放大成 k ? i 或者 k ? i 中的某一个 (否则, 你有什么比较妙的办法呢?) , 然后用待定系数法求出 k i 3 ?2 3 2
即可得出答案了】

1 1? n n 1 1 3 ?3. ? ? i ?1 ? ? i i 1 2 i ?1 3 ? 2 i ?1 3 1? 3
n

8


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