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三角函数的图象及其性质知识点与解题策略


三角函数的图象及其性质 1、正弦函数、余弦函数、正切函数的图象及其性质( k ? Z )

性质 函数

y ? sin x

y ? cos x

y ? tan x

图象

定义域 值域 当x? 最值 当x? 周期性 , ymax ,

ymin ?

; 当x? ; 当x? ;

, ,

ymin ?

; ; ;

?

ymax ?

T?
单增区间: 单减区间:

T?
; ; 单增区间: 单减区间:

T?
; ; 单增区间:



单调性



奇偶性 对称性 对称轴方程: 对称中心: ; 对称轴方程: ; 对称中心: ; 渐近线方程: ; 对称中心: ; ;

-1-

2、正弦型函数、余弦型函数、正切型函数图象及其性质( 函数

A ? 0, ? ? 0 , k ? Z )

y ? A sin ??x ? ? ?
性质

y ? A cos??x ? ? ?

y ? A tan??x ? ? ?

定义域

值域 当x? 最值 当x? 周期性 , ymax



ymin ?

; 当x? ; 当x? ;

, ,

ymin ?

; ;

?

ymax ?


T?

T?

T?



单增区间: 单调性



单增区间:

; 单增区间: ;

单减区间:



单减区间:



对称轴方程: 对称性 对称中心:

; 对称轴方程: ; 对称中心:

; 渐近线方程: ; 对称中心:

; ;

注:正弦型函数、余弦型函数、正切型函数的图象及其奇偶性需要具体分析。 -2-

3、几个常见超越函数的零点

-3-

三角函数的解题策略:

?x ? ? ), 的问题往基础的转化。 1. y ? sin x, y ? cos x, y ? tan x 是基础,熟知他们的图象,性质。解决 y ? A sin(?x ? ? ), y ? A cos(?x ? ? ), y ? A tan(

?x ? ? ) 的单调区间,对称轴(中心) 2.求 y ? A sin(?x ? ? ), y ? A cos(?x ? ? ), y ? A tan( ,将 ?x ? ? 当整体求解。单调性时要注意 ? 与 A 的正负。 ?x ? ? ) 周期分别是 3. y ? A sin(?x ? ? ), y ? A cos(?x ? ? ), y ? A tan(
2? 2? ? , , ,注意 y ? A | sin(?x ? ? ) |, y ? cos(? | x |), y ?| tan( ?x ? ? ) | 的周期性。

?

? ?

?x ? ? ) 的值域,由 x 的范围求出 ?x ? ? 的范围,再根据 y ? sin x, y ? cos x, y ? tan x 的图象求得。 4.求 y ? A sin(?x ? ? ), y ? A cos(?x ? ? ), y ? A tan( ?x ? ? ) 的奇偶性根 ? 的值有关,如 y ? A sin(?x ? ? ) 当 ? ? k? 时为奇函数;当 ? ? k? ? 5. y ? A sin(?x ? ? ), y ? A cos(?x ? ? ), y ? A tan(
当 ? ? k?且? ? k? ?

?
2

时为偶函数,

?
2

时为非奇非偶函数。

?x ? ? ) 的图象是如何由 y ? sin x, y ? cos x, y ? tan x 变换而来,注意每次横坐标的变换就 x 而言。 6.要熟知 y ? A sin(?x ? ? ), y ? A cos(?x ? ? ), y ? A tan(
7.会根据函数图象的部分特征求出函数的解析式,由最值点与零点定 ? ,由特殊点定 ? (注意零点所在的单调区间:如对于正弦,在增区间上的是 0, ) 8.解决三角函数的图象与性质的问题,得利用降幂公式(二倍角公式的逆用) ,化一公式(辅助角公式)将函数转化为一个函数名: y ? A sin(?x ? ? ) ? h 或

-4-

y ? a sin 2 ?x ? b sin ?x ? c 的形式。
知识点与相关例题: 1. ? 与 ? 的终边关系:由“两等分各象限、一二三四”确定.如若 ? 是第二象限角,则

2

? 是第_____象限角(答:一、三) 2

? 2 2.弧长公式: l ?| ? | R ,扇形面积公式: S ? 1 lR ? 1 | ? | R ,1 弧度(1rad) ? 57.3 . 如已知扇形 AOB 的周长是 6cm,该扇形的中心角是 1 弧度,求该扇形

2

2

的面积。 (答:2 cm ) 3. 任 意 角 的 三 角 函 数 的 定 义 : 设 ? 是 任 意 一 个 角 , P ( x, y ) 是 ? 的 终 边 上 的 任 意 一 点 ( 异 于 原 点 ) ,它与原点的距离是 r ?

2

x2 ? y 2 ? 0 , 那 么

sin ? ?

y x y , cos ? ? , tan ? ? , ? x ? 0 ? 。三角函数值只与角的大小有关,而与终边上点 P 的位置无关。熟知三角函数在各象限内的符号,熟知特殊角的三 r r x


角函数值。 (默写特殊角三角函数值:

7 如(1)已知角 ? 的终边经过点 P(5,-12),则 sin ? ? cos ? 的值为__。 (答: ? ) ; 13
(2)设 ? 是第三、四象限角, sin ? ?

2m ? 3 3 ,则 m 的取值范围是_______(答: (-1, ) ) ; 4?m 2

| sin ? | cos? ? ? 0 ,试判断 tan(sin? ) ? tan(cos ? ) 的符号(答:负) sin ? | cos? | 4.三角函数线的特征是:正弦线 MP“站在 x 轴上(起点在 x 轴上)” 、余弦线 OM“躺在 x 轴上(起点是原点)” 、正切线 AT“站在点 A(1, 0) 处(起点是 A )”.三角 ? 函数线的重要应用是比较三角函数值的大小和解三角不等式。如(1)若 ? ? ? ? 0 ,则 sin ? , cos? , tan? 的大小关系为_____(答: tan ? ? sin? ? cos? ); 8 (2)若 ? 为锐角,则 ? ,sin ? , tan ? 的大小关系为_______ (答: sin ? ? ? ? tan ? ) ; (3)函数 y ? 1 ? 2 cos x ? lg(2 sin x ? 3) 的定义域是_______(答: ? 2? (2k? ? , 2k? ? ]( k ? Z ) ) (4) ? ? ?0,2? ?, 则满足 cos ? ? sin ? 的 ? 的范围是_______ 3 3 sin ? ? cos ? ? sin ? 1 2 2 ? tan ? : ( ,?) ? ,则 tan? = 5.灵活运用同角三角函数关系式: sin ? ? cos ? ? 1; (1)已知 ? ? , , cos? ? , cos ? 2 cos ? ? sin ? 7
(3)若

sin 2 ? ? sin ? cos? =

, sin ? ? cos? ?
-5-

sin x cos x ”的内存联系――“知一求二” (2)正余弦“三兄妹— sin x ? cos x、 ,如①若 sin x ? cos x ? t ,则 sin xcos x ?

t2 ?1 (答: ? ),特别提醒: 2

4? 7 这里 t ?[? 2, 2] ;②若 ? ? (0, ? ),sin ? ? cos ? ? 1 ,求 tan ? 的值。 (答: ? ) ;③若 sin ? ? 2 cos? ? ? 5, 则 tan ? ?

2

3

④.已知 x, y ? (0,

? ) ,且有 2sin x ? 6 sin y , tan x ? 3 tan y ,则 cos x ? 2

.

6.熟练应用诱导公式:理解口诀奇变偶不变,符号看象限的涵义。 (1)快速准确地运算与特殊角相关的三角函数值: sin

tan

2? = 3

7? ? 6

cos

5? = 3

; sin

4 11 3 ? cos ? tan ? ? 3 6 4

(2)已知 f (cos x ) ? sin 2 x ,则 f (sin 300 ) =

若 cos(?100? ) ? ? 则 tan 80 ? =

比较大小: sin 33?, cos54?, tan37? (3)已知 x ? ?

5? ? ? ? 2? ? , ? ,则 y ? sin( ? x) ? sin 2 ( ? x) 的值域是 6 3 ?6 3 ?



? ? sin(? ? x) ? cos(x ? ? ) (4)已知 cos( ? x) ? 2 sin(x ? ), 求 5 7 2 2 5 cos( ? ? x) ? 3 sin( ? ? x) 2 2
(5)锐角 ? , ? 则: “ cos?

? sin ? , ” ? “ ? ? ? ?

?
2

”③在 ?ABC中, “ A ? B ” ? “ sin A ? sin B ”

?x ? ? ) 的相关性质:单调性,周期性,奇偶性,对称性,值域等,如: 7.求 y ? A sin(?x ? ? ), y ? A cos(?x ? ? ), y ? A tan(
⑴函数 y ? sin( ?2 x ? (答:[ 6k? ?

?
3

) 的递减区间是

(答: [ k? ?

5 ? x ? ? ,k? ? ]( k ? Z ) ) ;⑵ y ? log 1 cos( ? ) 的递减区间是 12 12 3 4 2
, y?

3 3? 1 ? ? , 6k? ? ]( k ? Z ) )⑶函数 y ? sin( x ? ), x ? [?2? ,2? ] 的单调递增区间是 4 4 2 3
-6-

1 ? 2 tan( ? x) 的单调区间是 2 4 3



y ? ? sin(x ? ) 的单调区间是 4

?

, y ? 2 sin( x ?

?
4

) 的单调区间是



(4)将函数 y ? 3 sin( 2 x ?

?
3

) 的图像向右平移 2 个单位长度,所得图像对应的函数(
B.在区间 ?

π

)

A.在区间 ?

? ? 7? ? 上单调递减 , ?12 12 ? ?

? ? 7? ? 上单调递增 , ?12 12 ? ?

C.在区间 ??

? ? ?? 上单调递减 , ? 6 3? ?

D.在区间 ??

? ? ?? 上单调递增 , ? 6 3? ?

(5)设ω >0, 若①函数 f ( x ) ? sin( ?x ?

?

? ? ?? ? ) 在 ? , ? ? 上单调递减, 则ω 的取值范围是_____②若 f ( x) ? 2sin ? x 在 [ ? , ] 上单调递增, 则ω 的范围是______ 4 3 4 ?2 ?

(6)函数 y ? cos x ? 2a sin x 在区间 ? ?
2

? ? ? , ? 上的最大值为 2 ,则实数 a 的值为 ? 6 ? ?

(7)若 cos? ? 4 sin 2 ? , 则 cos? ? cos ? 的取值范围是

(8)已知函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? ) ,其中 ? 为实数,若 f ( x) ? f ( ) 对 x ? R 恒成立,且 f ( ) ? f (? ) ,则 f ( x) 的单调递增区间是_____

?

?

6

2

-7-

(9)已知函数 f ( x) ? cos(2 x ?

?
4

) ,则(



(A)其最小正周期为 2? (B)其图象关于直线 x ? (10) f ( x) ? 3 tan( ?

x ? ) , x ? R 的最小正周期为 2 4

3? ? ? 对称(C)其图象关于点 ( , 0) 对称(D)该函数在区间 ( ? , 0) 上单调递增 8 8 4
,定义域为

(11)已知函数 f ( x) 的最小正周期为 ? ,有一条对称轴为 x ? (12) 将函数 y ? cos(2 x ?

?
3

,试写出一个满足条件的函数 f ( x) ? _______. ② 关于原点对称,则 ? 的最小值为

4 ? ) 的图像向左平移 ? (? ? 0) 个单位,所得图像①关于 y 轴对称,则 ? 的最小值为 3

(13)要得到函数 y ? 3sin 2 x 的图像,只需将函数 y ? 3sin(2 x ? (14)将函数 g( x ) ? 3sin ? 2 x ?

?
3

) 的图像经过怎样的变换? 1
( )

? ?

??

? 图像上所有点向左平移 个单位,再将各点横坐标缩短为原来的 倍,得到函数 f ( x) ,则 6? 6 2

?

A . f ? x ? 在 ? 0,

? ?

??

? ? 3? ? 单调递减 B. f ? x ? 在 ? , 4? ?4 4

? ? ?? ? 单调递减 C. f ? x ? 在 ? 0, ? 单调递增 ? ? 4?

D. f ? x ? 在 ?

? ? 3? , ?4 4

? ? 单调递增 ?

(15)函数 f ( x) ? A sin(? x ? ?) ( A ? 0 , ? ? 0 , | ? |? (Ⅰ)求函数 f ( x) 的解析式;

?
2

)的 一段图象如图所示.

(Ⅱ)要得到函数 y ? f ( x) 的图象,可由正弦曲线经过怎样的变换得到? (Ⅲ)若不等式 f ( x) ? m ? 2 在 x ? [0, 2? ] 上恒成立,求实数 m 的取值范围.

-8-

(16).若函数 f ( x) ? a ?

2bx ? 3 sin x ? bx cos x 有最大值和最小值,且最大值与最小值之和为 6,则 3a ? 2b ? 2 ? cos x

(17).已知点 M (1, A), N (4, - A) 是函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )

( A ? 0 , ? ? 0, ?

?
2

?? ?

?
2

)一个周期内图象上的两点,函数 f ( x ) 的图象与 y 轴交于点 P ,

满足 PM ? PN ? 1.(I)求 f ( x ) 的表达式; (II)求函数 y = f ( x) -

3 在区间 [0, 6] 内的零点.

(18)已知函数 f ( x) 为 R 上的偶函数,且对任意 x ? R 均有 f ( x ? 6) ? f ( x) ? f (3) 成立且 f (0) ? ?2 ,当 x1 , x2 ??0,3? 且 x1 ? x2 时,有 给出四个命题:① f (2013) ? ?2 ;②函数 y ? f ( x) 的图像关于 x ? ?6 对称;③函 数 y ? f ( x) 在 ? ?9, ?6? 上为增函数; ④方程 f ( x) ? 0 在 ?? 9,9? 上有 4 个实根.其中所有正确命题的序号为_________.

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?0, x1 ? x2

-9-

(19)已知函数 f ( x) ? log2 ( x ? a) ? 1 过点 ( 4,4) .(1)求实数 a ;(2)将 f ( x) 的图象向下平移 1 个单位,再向右平移 a 个单位得到 g ( x) 图像,设 g ( x) 关于 y 轴对称 的函数为 h( x) ,对于定义在 (?4,0) 上的 h( x) ,若在其定义域内,不等式 ?h( x) ? 2? ? h( x)m ?1 恒成立,求实数 m 的取值范围.
2

(20)对函数 y ? f ( x)( x1 ? x ? x2 ) ,设点 A( x1 , y1 )、B( x2 , y2 ) 是图象上的两端点. O 为坐标原点,且点 N 满足 ON ? ? OA? (1 ? ? ) OB .点 M ( x, y ) 在函数

?

?

?

? ? ? 9? ? ,则函数 f ( x) ? 2 cos( 2 x ? ) 在区间 ? , 上的“高度”为 y ? f ( x) 的图象上,且 x ? ?x1 ? (1 ? ? ) x2 ( ? 为实数),则称 MN 的最大值为函数的“高度” 4 ?8 8 ? ?
_________.
[

(21)给出以下命题:①若 ? 、 ? 均为第一象限角,且 ? ? ? ,且 sin ? ? sin ? ;② 若函数 y ? 2 cos? ax ?

? ?

??

1 ? 的最小正周期是 4? ,则 a ? ; 2 3?

③函数 y ?

sin 2 x ? sin x 1 是奇函数;④函数 y ?| sin x ? | 的周期是 ? ;⑤函数 y ? sin x ? sin | x | 的值域是 [0,2] .其中正确命题的个数为 2 sin x ? 1

- 10 -

(22). 设 f ( x) ? 是

x2 ?x , g ( x) ? a sin ? 5 ? 2a, (a ? 0) , 若 对 于 任 意 x1 ? ?? 1,1? , 总 存 在 x0 ? ??1,1? , 使 得 g ( x0 ) ? f ( x1 ) 成 立 , 则 a 的 取 值 范 围 x?2 2


(23).设偶函数 f ( x ) 对任意 x ? R 都有 f ( x) ? ?

1 ,且当 x ?[?3, ?2] 时, f ( x) ? 4 x ,则 f (119.5) ? f ( x ? 3)

.

(24)定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f (? x) ? ? f ( x) , f ( x ? 1) ? f (1 ? x ) ,且 x ? (-1,0) 时, f ( x ) = 2 +
x

6 则 f (log 2 20) ? 5

.

(25)定义域为 R 的偶函数 f ( x) 满足对任意 x ? R , 有 f ( x ? 2) ? f ( x) ? f (1) , 且当 x ? [2,3] 时, f ( x) ? ?2 x ? 12 x ? 18 , 若函数 y ? f ( x) ? log a (| x | ?1) 在
2

(0,??) 上至少有三个零点,则实数 a 的取值范围是





(26)函数 y ? sin x ? tan x 的大致图象是
- 11 -

x 2 (27)下列几个命题:①直线 y ? x 与函数 y ? sin x 的图象有 3 个不同的交点;②函数 y ? tan x 在定义域内是单调递增函数;③函数 y ? 2 x ? x 2 与 y ? ( ) ? x

1 2

的图象关于 y 轴对称;④若函数 y ? lg( x2 ? 2 x ? m) 的值域为 R ,则实数 m 的取值范围为 (??,1] ;⑤若定义在 R 上的奇函数 f ( x ) 对任意 x 都有

f ( x) ? f (2 ? x) ,则函数 f ( x) 为周期函数.其中正确的命题为____________(请将你认为正确的所有命题的序号都填上).

(28).已知点 A?x1 , f ?x1 ?? , B?x2 , f ?x2 ?? 是函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) (? ? 0, ?

?
2

? ? ? 0) 图象上的任意两点,且角 ? 的终边经过点 P(1, ? 3) ,若

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 4 时, | x1 ? x2 | 的最小值为
(3)当 x ? ?0,

? .(1)求函数 f ? x ? 的解析式;(2)求函数 f ( x ) 的单调递增区间; 3

? ?? 时,不等式 mf ? x ? ? 2m ? f ? x ? 恒成立, 求实数 m 的取值范围. ? 6? ?

- 12 -


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