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2016年华侨、港澳台联考数学真题 (含答案与详细解析)

绝密★启用前 2016 年中华人民共和国普通高等学校 联合招收华侨、港澳地区、台湾省学生入学考试 数学 一、选择题:本大题共 12 小题;每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的。 (1)设集合 A ? {x | x ?1 ?1}, B ? {x | 2x ? 2} ,则 A B ? ( ) (A){x | 0 ? x ? 1} (B){x | 0 ? x ? 2} (C){x | x ? 2} (D) ? (2)若 0 ? ? ? 2? ,且 2sin? ? 1,则? 的取值范围是( ) (A)[0, 2? ) (B)[0, ? ) [5? , 2? ) (C)[? , 5? ] (D)[0, ? ) [5? , 2? ) 33 66 66 (3)平面向量 a ? (x,3) 与 b ? (2, y) 平行的充分必要条件是( ) (A) x ? 0 , y ? 0 (B) x ? ?3, y ? ?2 (C) xy ? 6 (D) xy ? ?6 (4)复数 (1? 2i)2 (2 ? i)2 的模为( ) (A)1 (B) 2 (C) 5 (D) 5 (5)等比数列{an} 的各项都为正数,记{an} 的前 n 项和为 Sn ,若 S3 ? 1 ,S5 ? S2 ? 4 ,则 a1 ?( ) 1 (A) 9 (B) 1 7 (C) 1 5 (D) 1 3 (6)函数 y ? log2 1 (x x ?1 ? (1, ??)) 的反函数是( ) (A) y ? 2?x ?1(x ? R) (B) y ? ?2x?1(x ? (1, ??)) (C) y ? 21?x (x ? R) 1 (D) y ? 2x?1(x ? R, x ? 1) (7)设直线 y ? 2x ? 4 与双曲线C: x2 ? y2 b2 ? 1的一条渐近线平行,则C的离心率为( ) (A) 3 (B) 5 (C) 3 (D) 5 (8)若函数 y ? a x (x ?[?1,1]) 的最大值与最小值之和为3,则 a2 ? a?2 ? ( ) (A) 9 (B) 7 (C) 6 (D) 5 (9)从1,2,3,4,5,6中任取3个不同的数相加,则不同的结果共有( ) (A) 6 种 (B) 9 种 (C)10 种 (D)15 种 (10)正四棱锥的各棱长均为1,则它的体积是( ) 3 (A) 3 (B) 3 6 (C) 2 6 (D) 1 6 (11)抛物线 y2 ? 1 (x ?1) 的准线方程为( ) 4 (A) x ? 0 (B) x ? 15 16 (C) x ? 1 (D) x ? 17 16 (12)曲线 y ? 1 ? 1 的对称轴的方程是( ) 1? x (A) y ? ?x 与 y ? x ? 2 (B) y ? x 与 y ? ?x ? 2 (C) y ? ?x 与 y ? x ? 2 (D) y ? x 与 y ? ?x ? 2 二、填空题:本大题共 6 小题;每题 5 分。 (13)定义域为 R 的偶函数 f (x) 为周期函数,其周期为8.当 x ?[?4,0] 时, f (x) ? x ?1,则 f (25) ? ______________. (14)若 tan ???? ? ? 4 ? ?? ? 3 3 ,则 tan ???? ? ? 4 ? ?? ? ___________. (15)在空间直角坐标系中,若直线 x ?1 ? y ?1 ? z ?1 与平面 x ? 2y ? z ? 5 平行,则 c ? ________. 32c (16)设函数 f (x) ? (ax ? b)4 (b ? a ? 0) .若 f (1) ? 16 f (?1) ,则 a ? _____________. b (17)多项式 p(x) 除以 x ?1的余式为1,p(x) 除以 x ?1的余式为 3,则 p(x) 除以 x2 ?1的余式为_____. (18)已知 B ? AC ? D 为直二面角,Rt?ABC ? Rt?ADC ,且 AB ?BC ,则异面直线 AB 与 CD 所 成的角的大小为_________. 数学科试题 第 1 页(共 6 页) 三、解答题:本大题共 4 小题;每小题 15 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 ? ? ? ? (19)已知平面向量? ? 2 sin x,1 , ? ? 1, 2 cos x . (Ⅰ)当? ? ? 时,求 ? ? ? ; (Ⅱ)求 ? ? ? 的最大值. (20)已知数列{an} 的前n项和 Sn ? n2 . (Ⅰ)求{an} 的通项公式; (Ⅱ)记 bn ? 1 an ? an?1 ,求数列{bn} 的前 n 项和. 数学科试题 第 2 页(共 6 页) (21)某同学进行投篮训练,已知该同学每次投篮命中的概率都为 3 ,且各次投篮是否命中相互独立. 4 (Ⅰ)求该同学在 3 次投篮中至少命中 2 次的概率; (Ⅱ)该同学在10次投篮中恰好命中 k 次 (k ? 0,1, 2,...,10) 的概率记为 Pk , k 为何值时, Pk 最大? (22)过椭圆C: x2 ? 25 y2 9 ? 1右焦点 F 的直线 l 交C于两点 A(x1, y1) , B(x2, y2 ) ,且 A不在 x 轴上. (Ⅰ)求 y1y2 的最大值; (Ⅱ)若 AF ? 1 ,求直线 l 的方程. FB 4 数学科试题 第 3 页(共 6 页) 2016 年港澳台联考数学真题答案 一、选择题 1—12:ADCAB ABBCC BD 二、填空题 13. 0 14. ? 3 15.1 16. 1 3 17

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