3986.net
小网站 大容量 大智慧
当前位置:首页 >> 数学 >>

高考文科数学第一轮复习经典习题


第一章
第一节

集合

集合的含义、表示及基本关系 A组

1.已知 A={1,2},B= {x | x ? A},则集合 A 与 B 的关系为________.
2 2.若 ?? {x | x Na, a

R} ,则实数 a 的取值范围是________.

2 3.已知集合 A= {y | y = x - 2 x - 1, x

R},集合 B= {x | - 2 #x

8},则集合 A 与 B

的关系是________.
2 4. 已知全集 U=R, 则正确表示集合 M={-1, 0, 1}和 N= {x | x + x = 0} 关系的韦恩(Venn)

图是________.

5.已知集合 A= {x | x > 5},集合 B= {x | x > a},若命题“x∈A”是命题“x∈B”的充 分不必要条件,则实数 a 的取值范围是________. 6.(原创题)已知 m∈A,n∈B,且集合 A={x|x=2a,a∈Z},B={x|x=2a+1,a∈Z},又 C={x|x=4a+1,a∈Z},判断 m+n 属于哪一个集合?

B组
a b ab 1.设 a,b 都是非零实数,y= + + 可能取的值组成的集合是________. |a| |b| |ab| 2.已知集合 A={-1,3,2m-1},集合 B={3,m2}.若 B?A,则实数 m=________. 3.设 P,Q 为两个非空实数集合,定义集合 P+Q={a+b|a∈P,b∈Q},若 P={0,2,5}, Q={1,2,6},则 P+Q 中元素的个数是________个. 4.已知集合 M={x|x2=1},集合 N={x|ax=1},若 N M,那么 a 的值是________. 5.满足{1} A?{1,2,3}的集合 A 的个数是________个. 1 b 1 c 1 6.已知集合 A={x|x=a+ ,a∈Z},B={x|x= - ,b∈Z},C={x|x= + ,c∈Z},则 A、 6 2 3 2 6 B、C 之间的关系是________. 7.集合 A={x||x|≤4,x∈R},B={x|x<a},则“A?B”是“a>5”的________. 8.(2010 年江苏启东模拟)设集合 M={m|m=2n,n∈N,且 m<500},则 M 中所有元素的和 为________. 9.设 A 是整数集的一个非空子集,对于 k∈A,如果 k-1?A,且 k+1?A,那么称 k 是 A 的 一个“孤立元”.给定 S={1,2,3,4,5,6,7,8},由 S 的 3 个元素构成的所有集合中, 不含“孤立元”的集合共有________个. 10.已知 A={x,xy,lg(xy)},B={0,|x|,y},且 A=B,试求 x,y 的值. 11.已知集合 A={x|x2-3x-10≤0}, (1)若 B?A,B={x|m+1≤x≤2m-1},求实数 m 的取值范围; (2)若 A?B,B={x|m-6≤x≤2m-1},求实数 m 的取值范围; (3)若 A=B,B={x|m-6≤x≤2m-1},求实数 m 的取值范围. 12.已知集合 A={x|x2-3x+2≤0},B={x|x2-(a+1)x+a≤0}.
1

(1)若 A 是 B 的真子集,求 a 的取值范围; (2)若 B 是 A 的子集,求 a 的取值范围; (3)若 A=B,求 a 的取值范围.

第二节

集合的基本运算

A组 1.设 U=R,A= {x | x > 0},B= {x | x > 1},则 A∩?UB=____.
2.设集合 A={4,5,7,9},B={3,4,7,8,9},全集 U=A∪B,则集合?U(A∩B)中的 元素共有________个. 3.已知集合 M={0,1,2},N= {x | x = 2a, a

M },则集合 M∩N=________.

4. 设 A, B 是非空集合, 定义 A?B={x|x∈A∪B 且 x?A∩B}, 已知 A={x|0≤x≤2}, B={y|y≥0}, 则 A?B=________. 5.某班共 30 人,其中 15 人喜爱篮球运动,10 人喜爱乒乓球运动,8 人对这两项运动都不 喜爱,则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________. 6.已知集合 A={x|x>1},集合 B={x|m≤x≤m+3}. (1)当 m=-1 时,求 A∩B,A∪B; (2)若 B?A,求 m 的取值范围.

B组
1.若集合 M={x∈R|-3<x<1},N={x∈Z|-1≤x≤2},则 M∩N=________. 2.已知全集 U={-1,0,1,2},集合 A={-1,2},B={0,2},则(?UA)∩B=________. 3.若全集 U=R,集合 M={x|-2≤x≤2},N={x|x2-3x≤0},则 M∩(?UN)=________. 4.集合 A={3,log2a},B={a,b},若 A∩B={2},则 A∪B=________. 5.已知全集 U=A∪B 中有 m 个元素,(?UA)∪(?UB)中有 n 个元素.若 A∩B 非空,则 A∩B 的元素个数为________. 6. 设 U={n|n 是小于 9 的正整数}, A={n∈U|n 是奇数}, B={n∈U|n 是 3 的倍数}, 则?U(A∪B) =________. x 7.定义 A?B={z|z=xy+ ,x∈A,y∈B}.设集合 A={0,2},B={1,2},C={1},则集 y 合(A?B)?C 的所有元素之和为________. 8.若集合{(x,y)|x+y-2=0 且 x-2y+4= x,y)|y=3x+b},则 b=________. ?x+y-2=0, ?x=0, ? ? 解析:由? ?? 点(0,2)在 y=3x+b 上,∴b=2. ?x-2y+4=0. ?y=2. ? ? 9.设全集 I={2,3,a2+2a-3},A={2,|a+1|},?IA={5},M={x|x=log2|a|},则集合 M 的所有子集是________. 解析:∵A∪(?IA)=I,∴{2,3,a2+2a-3}={2,5,|a+1|},∴|a+1|=3,且 a2+2a -3=5,解得 a=-4 或 a=2,∴M={log22,log2|-4|}={1,2}. 答案:?,{1},{2},{1,2} 10.设集合 A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2+2(a+1)x+(a2-5)=0}. (1)若 A∩B={2},求实数 a 的值; (2)若 A∪B=A,求实数 a 的取值范围. 6 11.已知函数 f(x)= -1的定义域为集合 A,函数 g(x)=lg(-x2+2x+m)的定义 x+1 域为集合 B. (1)当 m=3 时,求 A∩(?RB); (2)若 A∩B={x|-1<x<4},求实数 m 的值.

2

12.已知集合 A={x∈R|ax2-3x+2=0}. (1)若 A=?,求实数 a 的取值范围; (2)若 A 是单元素集,求 a 的值及集合 A; (3)求集合 M={a∈R|A≠?}.

第二章

函数

第一节 对函数的进一步认识
A组 -x -3x+4 的定义域为________. x 2.如图,函数 f(x)的图象是曲线段 OAB,其中点 O,A,B 的坐标分别为(0,0),(1,2),(3, 1 1),则 f( )的值等于________. f(3) 1.函数 y=
2

x ? ?3 ,x≤1, 3.已知函数 f(x)=? 若 f(x)=2,则 x=________. ?-x,x>1. ?

4.函数 f:{1, 2}→{1, 2}满足 f[f(x)]>1 的这样的函数个数有________个. 5.由等式 x3+a1x2+a2x+a3=(x+1)3+b1(x+1)2+b2(x+1)+b3 定义一个映射 f(a1,a2,a3) =(b1,b2,b3),则 f(2,1,-1)=________.

? ?1+x 6.已知函数 f(x)=?x +1 ?2x+3 ?
2

1

(x>1), (-1≤x≤1), (x<-1). (1)求 f(1-

1 ),f{f[f(-2)]}的值;(2)求 f(3x 2-1

3 -1);(3)若 f(a)= , 求 a. 2 B组 1.函数 y= 1 +lg(2x-1)的定义域是________. 3x-2 3 则 f(f(f( )+5))=_. 2

-2x+1,(x<-1), ? ? 2.函数 f(x)=?-3,(-1≤x≤2), ? ?2x-1,(x>2),

3. 定义在区间(-1, 1)上的函数 f(x)满足 2f(x)-f(-x)=lg(x+1), 则 f(x)的解析式为________. 4. 设函数 y=f(x)满足 f(x+1)=f(x)+1, 则函数 y=f(x)与 y=x 图象交点的个数可能是________ 个. ? (x>0) ?2 5.设函数 f(x)=? 2 ,若 f(-4)=f(0),f(-2)=-2,则 f(x)的解析式为 ?x +bx+c (x≤0) ?
3

f(x)=________,关于 x 的方程 f(x)=x 的解的个数为________个. 1 6. 设函数 f(x)=logax(a>0, a≠1), 函数 g(x)=-x2+bx+c, 若 f(2+ 2)-f( 2+1)= , g(x) 2 的图象过点 A(4, -5)及 B(-2, -5), 则 a=__________, 函数 f[g(x)]的定义域为__________. 2 ? ?x -4x+6,x≥0 7.设函数 f(x)=? ,则不等式 f(x)>f(1)的解集是________. ?x+6,x<0 ?
? x≤0, ?log2(4-x), 8.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)=? ?f(x-1)-f(x-2), x>0, ? 则 f(3)的值为______ 9.有一个有进水管和出水管的容器,每单位时间进水量是一定的,设从某时刻开始,5 分 钟内只进水,不出水,在随后的 15 分钟内既进水,又出水,得到时间 x 与容器中的水量 y 之间关系如图.再随后,只放水不进水,水放完为止,则这段时间内(即 x≥20),y 与 x 之间 函数的函数关系是________.

10.函数 f ( x) =

(1-

a 2 ) x2 + 3(1- a) x + 6 .

(1)若 f ( x) 的定义域为 R,求实数 a 的取值范围; (2)若 f ( x) 的定义域为[-2,1],求实数 a 的值. 11 . 已 知 f ( x+ 2) = f ( x )( x

R ) , 并 且 当 x ∈[ - 1 , 1] 时 , f ( x) = - x2 +1 , 求 当

x ? [2 k 1, 2k + 1 ]( k

Z ) 时、 f ( x) 的解析式.

12.在 2008 年 11 月 4 日珠海航展上,中国自主研制的 ARJ 21 支线客机备受关注,接到了 包括美国在内的多国订单.某工厂有 216 名工人接受了生产 1000 件该支线客机某零部件的 总任务,已知每件零件由 4 个 C 型装置和 3 个 H 型装置配套组成,每个工人每小时能加工 6 个 C 型装置或 3 个 H 型装置.现将工人分成两组同时开始加工,每组分别加工一种装置, 设加工 C 型装置的工人有 x 位,他们加工完 C 型装置所需时间为 g(x),其余工人加工完 H 型装置所需时间为 h(x).(单位:h,时间可不为整数) (1)写出 g(x),h(x)的解析式; (2)写出这 216 名工人完成总任务的时间 f(x)的解析式; (3)应怎样分组,才能使完成总任务的时间最少?

第二节

函数的单调性
A组

1.下列函数 f(x)中,满足“对任意 x1,x2∈(0,+∞),当 x1 < x2 时,都有 f (x1 )> f (x2 ) ” 的是________. 1 ①f(x)= x ②f(x)=(x-1)2 ③f(x)=ex ④f(x)=ln(x+1)

2. 函数 f(x)(x∈R)的图象如右图所示, 则函数 g(x)=f(logax)(0<a<1)的单调减区间是________. 3.函数 y =

x - 4 + 15 - 4x 的值域是________.

a 4.已知函数 f(x)=|ex+ x|(a∈R)在区间[0,1]上单调递增,则实数 a 的取值范围__. e 5.如果对于函数 f(x)定义域内任意的 x,都有 f(x)≥M(M 为常数),称 M 为 f(x)的下界,下界 M 中的最大值叫做 f(x)的下确界,下列函数中,有下确界的所有函数是________.
4

1 (x>0) ? ? ①f(x)=sinx;②f(x)=lgx;③f(x)=e ;④f(x)=?0 (x=0) ? ?-1 (x<-1)
x

6.已知函数 f (x) = x2 , g ( x) = x - 1 . (1)若存在 x∈R 使 f (x) < b g (x) ,求实数 b 的取值范围; (2)设 F (x) = f (x)- mg (x)+ 1- m - m2 2,且 F ( x ) 在[0,1]上单调递增,求实数 m 的取值范围.

B组 1.下列函数中,单调增区间是(-∞,0]的是________. 1 ①y=- x ②y=-(x-1) ③y=x2-2 ④y=-|x|

2 .若函数 f(x) = log2(x2 - ax + 3a) 在区间 [2 ,+∞) 上是增函数,则实数 a 的取值范围是 ________. a 3 3.若函数 f(x)=x+ (a>0)在( ,+∞)上是单调增函数,则实数 a 的取值范围__. x 4 f(x2)-f(x1) 4.定义在 R 上的偶函数 f(x),对任意 x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),有 <0,则下列 x2-x1 结论正确的是________. ①f(3)<f(-2)<f(1) ②f(1)<f(-2)<f(3) ③f(-2)<f(1)<f(3) ④f(3)<f(1)<f(-2)
x ? (x<0), ?a f(x1)-f(x2) 5.已知函数 f(x)=? 满足对任意 x1≠x2,都有 <0 成立,则 a x1-x2 ?(a-3)x+4a (x≥0) ?

的取值范围是________. 6. 函数 f(x)的图象是如下图所示的折线段 OAB, 点 A 的坐标为(1, 2),点 B 的坐标为(3,0),定义函数 g(x)=f(x)· (x-1),则函数 g(x) 的最大值为________. 7.已知定义域在[-1,1]上的函数 y=f(x)的值域为[-2,0],则 函数 y=f(cos x)的值域是________. 8.已知 f(x)=log3x+2,x∈[1,9],则函数 y=[f(x)]2+f(x2)的最 大值是________. 1 9.若函数 f(x)=loga(2x2+x)(a>0,a≠1)在区间(0, )内恒有 f(x)>0,则 f(x)的单调递增区间 2 为__________. 1 1 10.试讨论函数 y=2(log x)2-2log x+1 的单调性. 2 2 x1 11.已知定义在区间(0,+∞)上的函数 f(x)满足 f( )=f(x1)-f(x2),且当 x>1 时,f(x)<0. x2

5

(1)求 f(1)的值;(2)判断 f(x)的单调性;(3)若 f(3)=-1,解不等式 f(|x|)<-2. x2+ax+b 12.已知:f(x)=log3 ,x∈(0,+∞),是否存在实数 a,b,使 f(x)同时满足下列三 x 个条件:(1)在(0,1]上是减函数,(2)在[1,+∞)上是增函数,(3)f(x)的最小值是 1.若存在, 求出 a、b;若不存在,说明理由.

第三节

函数的性质

A组 1 .设偶函数 f(x)= loga|x - b|在 ( -∞,0) 上单调递增,则 f(a+ 1)与 f(b+ 2)的大小关系为 ________. 2.定义在 R 上的函数 f(x)既是奇函数又是以 2 为周期的周期函数,则 f(1)+f(4)+f(7)等于 ________. 3.已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数,则 f(- 25)、f(11)、f(80)的大小关系为________. 1 4. 已知偶函数 f(x)在区间[0, +∞)上单调增加, 则满足 f(2x-1)<f( )的 x 取值范围是________. 3 5. 已知定义在 R 上的函数 f(x)是偶函数, 对 x∈R, f(2+x)=f(2-x), 当 f(-3)=-2 时, f(2011) 的值为________. 6.已知函数 y=f(x)是定义在 R 上的周期函数,周期 T=5,函数 y=f(x)(-1≤x≤1)是奇函 数,又知 y=f(x)在[0,1]上是一次函数,在[1,4]上是二次函数,且在 x=2 时函数取得最小 值-5.(1)证明:f(1)+f(4)=0;(2)求 y=f(x),x∈[1,4]的解析式;(3)求 y=f(x)在[4,9]上 的解析式. B组 1.函数 f(x)的定义域为 R,若 f(x+1)与 f(x-1)都是奇函数,则下列结论正确的是________. ①f(x)是偶函数 ②f(x)是奇函数 ③f(x)=f(x+2) ④f(x+3)是奇函数 3 2.已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)=-f(x+ ),且 f(-2)=f(-1)=-1,f(0)=2,f(1) 2 +f(2)+?+f(2009)+f(2010)=________. 3.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 f(1)=1,若将 f(x)的图象向右平移一个单位后,得 到一个偶函数的图象,则 f(1)+f(2)+f(3)+?+f(2010)=________. 4.已知函数 f(x)是 R 上的偶函数,且在(0,+∞)上有 f′(x)>0,若 f(-1)=0,那么关于 x 的不等式 xf(x)<0 的解集是________. 5.已知函数 f(x)是(-∞,+∞)上的偶函数,若对于 x≥0,都有 f(x+2)=f(x),且当 x∈[0, 2)时,f(x)=log2(x+1),则 f(-2009)+f(2010)的值为________. 1 6.已知函数 f(x)是偶函数,并且对于定义域内任意的 x,满足 f(x+2)=- ,若当 2<x<3 f(x) 时,f(x)=x,则 f(2009.5)=________. 7. 定义在 R 上的函数 f(x)在(-∞,a]上是增函数, 函数 y=f(x+a)是偶函数, 当 x1<a,x2>a, 且|x1-a|<|x2-a|时,则 f(2a-x1)与 f(x2)的大小关系为________. 8. 已知函数 f(x)为 R 上的奇函数, 当 x≥0 时, f(x)=x(x+1). 若 f(a)=-2, 则实数 a=________. 9.已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数.若方程 f(x)=m(m>0)在区间[-8, 8]上有四个不同的根 x1, x2, x3, x4, 则 x1+x2+x3+x4=________. 10.已知 f(x)是 R 上的奇函数,且当 x∈(-∞,0)时,f(x)=-xlg(2-x),求 f(x)的解析式. 11.已知函数 f(x),当 x,y∈R 时,恒有 f(x+y)=f(x)+f(y).(1)求证:f(x)是奇函数;(2)如 1 + 果 x∈R ,f(x)<0,并且 f(1)=- ,试求 f(x)在区间[-2,6]上的最值. 2 12.已知函数 f(x)的定义域为 R,且满足 f(x+2)=-f(x). (1)求证:f(x)是周期函数;
6

1 1 (2)若 f(x)为奇函数,且当 0≤x≤1 时,f(x)= x,求使 f(x)=- 在[0,2010]上的所有 x 2 2 的个数.

第三章

指数函数和对数函数
第一节 指数函数

A组 - 1.若 a>1,b<0,且 a +a =2 2,则 a -a b 的值等于________. 1 -2 3.函数 y=( )2x x 的值域是________. 2 4.若函数 f(x)=ax-x-a(a>0,且 a≠1)有两个零点,则实数 a 的取值范围是________.
b
-b

b

5.若函数 f(x)=ax-1(a>0,a≠1)的定义域和值域都是[0,2],则实数 a 等于________. -2x+b 6.已知定义域为 R 的函数 f(x)= x+1 是奇函数.(1)求 a,b 的值; 2 +a (2)若对任意的 t∈R,不等式 f(t2-2t)+f(2t2-k)<0 恒成立,求 k 的取值范围. B组 1.如果函数 f(x)=ax+b-1(a>0 且 a≠1)的图象经过第一、二、四象限,不经过第三象限, 那么一定有________. ①0<a<1 且 b>0 ②0<a<1 且 0<b<1 ③a>1 且 b<0 ④a>1 且 b>0 - 2.(2010 年保定模拟)若 f(x)=-x2+2ax 与 g(x)=(a+1)1 x 在区间[1,2]上都是减函数,则 a 的取值范围是________. 3.已知 f(x),g(x)都是定义在 R 上的函数,且满足以下条件①f (x)=ax· g(x)(a>0,a≠1); f(1) f(-1) 5 ②g(x)≠0;若 + = ,则 a 等于________. g(1) g(-1) 2 - 4.(2010 年北京朝阳模拟)已知函数 f(x)=ax(a>0 且 a≠1),其反函数为 f 1(x).若 f(2)=9, - 1 则 f 1( )+f(1)的值是________. 3 1 5.已知 f(x)=( )x,若 f(x)的图象关于直线 x=1 对称的图象对应的函数为 g(x),则 g(x)的表 3 达式为________. - ex+e x 6.函数 y= x -x的图象大致为________. e -e

1 7. 已知函数 f(x)满足: 当 x≥4 时, f(x)=( )x; 当 x<4 时, f(x)=f(x+1), 则 f(2+log23)=________. 2 8 . 设 函数 y = f(x) 在 ( -∞ , +∞) 内 有 定义 , 对于 给 定 的正 数 K , 定义函 数 fK(x) = ? ?f(x),f(x)≤K, 1 - ? 取函数 f(x)=2 |x|,当 K= 时,函数 fK(x)的单调递增区间为________. 2 ?K, f(x)>K. ? 9.函数 y=2|x|的定义域为[a,b],值域为[1,16],当 a 变动时,函数 b=g(a)的图象可以是 ________.
7

10.已知函数 f(x)=a2x+2ax-1(a>0,且 a≠1)在区间[-1,1]上的最大值为 14,求实数 a 的值. -2 11.已知函数 f(x)= x-a .(1)求证:f(x)的图象关于点 M(a,-1)对称; 2 +1 (2)若 f(x)≥-2x 在 x≥a 上恒成立,求实数 a 的取值范围. - - 12.若 f1(x)=3|x p1|,f2(x)=2· 3|x p2|,x∈R,p1、p2 为常数,且 ? ?f1(x),f1(x)≤f2(x), f(x)=? (1)求 f(x)=f1(x)对所有实数 x 成立的充要条件(用 p1、 p2 表示); ?f2(x),f1(x)>f2(x). ? (2)设 a,b 是两个实数,满足 a<b,且 p1、p2∈(a,b).若 f(a)=f(b),求证:函数 f(x)在区间 b- a [a,b]上的单调增区间的长度之和为 (闭区间[m,n]的长度定义为 n-m). 2

第二节
x

对数函数

A组 1.若函数 y=f(x)是函数 y=a (a>0,且 a≠1)的反函数,其图象经过点( a,a),则 f(x)= ________. 2.设 a=log3π,b=log2 3,c=log3 2,则 a、b、c 的大小关系是________.

?? 1 ? x ?? ? , x ? [?1,0) 3.若函数 f(x)= ?? 4 ? ,则 f(log43)=________. ? x ?4 , x ? [0,1]
4. 如图所示, 若函数 f(x)=ax
-1

1 的图象经过点(4, 2), 则函数 g(x)=loga 的图象是________. x+1

1 5.已知函数 f(x)=alog2x+blog3x+2,且 f( )=4,则 f(2010)的值为_. 2010 6.若 f(x)=x2-x+b,且 f(log2a)=b,log2f(a)=2(a>0 且 a≠1).(1)求 f(log2x)的最小值及相 应 x 的值;(2)若 f(log2x)>f(1)且 log2f(x)<f(1),求 x 的取值范围. B组 x+3 1.为了得到函数 y=lg 的图象,只需把函数 y=lgx 的图象上所有的点________. 10 2.对于函数 f(x)=lgx 定义域中任意 x1,x2(x1≠x2)有如下结论:①f(x1+x2)=f(x1)+f(x2); f(x1)-f(x2) x1+x2 f(x1)+f(x2) ②f(x1· x2)=f(x1)+f(x2);③ >0;④f( )< .上述结论中正确结论的序 2 2 x1-x2 号是________. 3.对任意实数 a、b,定义运算“*”如下:

8

? ?a(a≤b) a*b=? ,则函数 f(x)=log1(3x-2)*log2x 的值域为________. ?b(a>b) ? 2 答案:(-∞,0] 4. 已知函数 y=f(x)与 y=ex 互为反函数, 函数 y=g(x)的图象与 y=f(x)的图象关于 x 轴对称, 若 g(a)=1,则实数 a 的值为________. 2 5.已知函数 f(x)满足 f( )=log2 x|x|,则 f(x)的解析式是________. x+|x| 6.若 x1 满足 2x+2x=5,x2 满足 2x+2log2(x-1)=5,则 x1+x2=________. 7.当 x∈[n,n+1),(n∈N)时,f(x)=n-2,则方程 f(x)=log2x 根的个数是________. 2 8.已知 lga+lgb=0,则函数 f(x)=ax 与函数 g(x)=-logbx 的图象可能是________.

9. 已知曲线 C:x2+y2=9(x≥0,y≥0)与函数 y=log3x 及函数 y=3x 的图象分别交于点 A(x1, y1),B(x2,y2),则 x12+x22 的值为________. kx-1 10.已知函数 f(x)=lg (k∈R 且 k>0).(1)求函数 f(x)的定义域; x-1 (2)若函数 f(x)在[10,+∞)上是单调增函数,求 k 的取值范围. 1+x 11.已知 f(x)=loga (a>0,a≠1).(1)求 f(x)的定义域; 1-x (2)判断 f(x)的奇偶性并给予证明;(3)求使 f(x)>0 的 x 的取值范围. a - 12.已知函数 f(x)满足 f(logax)= 2 (x-x 1),其中 a>0 且 a≠1. a -1 (1)对于函数 f(x),当 x∈(-1,1)时,f(1-m)+f(1-m2)<0,求实数 m 的集合; (2)x∈(-∞,2)时,f(x)-4 的值恒为负数,求 a 的取值范围.

第三节

幂函数与二次函数的性质

A组 1.若 a>1 且 0<b<1,则不等式 alogb(x-3)>1 的解集为________.
2

2.下列图象中,表示 y=x 3 的是________.

3.若 x∈(0,1),则下列结论正确的是__________. ①2 >x >lgx ②2 >lgx>x ③x >2 >lgx ④lgx>x >2x 4.函数 f(x)=|4x-x2|-a 恰有三个零点,则 a=__________.
1 x
1 2

x

1 2

1 2

x

1 2

5.方程 x2=logsin1x 的实根个数是__________. 6.设 a 为实数,函数 f(x)=2x2+(x-a)· |x-a|. (1)若 f(0)≥1,求 a 的取值范围;(2)求 f(x)的最小值;
9

(3)设函数 h(x)=f(x),x∈(a,+∞),直接写出(不需给出演算步骤)不等式 h(x)≥1 的解 集. B组 1 1.(2010 年江苏无锡模拟)幂函数 y=f(x)的图象经过点(-2,- ),则满足 f(x)=27 的 x 的值 8 是__________. 2.已知幂函数 f(x)=xα 的部分对应值如下表: 1 x 1 2 2 f(x) 1 2 则不等式 f(|x|)≤2 的解集是__________. 1 ? ?x(x>0), R,函数 f(x)=? F(x)=f(x)+kx,x∈R.当 k=1 时,F(x)的值域为__________.

? ?ex(x≤0),

?-2 ? 4. 设函数 f(x)=? 2 ? ?x +bx+c 的解集为__________. ?x2+4x, ? 5. 已知函数 f(x)=? 2 ? ?4x-x ,

(x>0), (x≤0), x≥0, x<0.

若 f(-4)=f(0), f(-2)=0, 则关于 x 的不等式 f(x)≤1

若 f(2-a2)>f(a), 则实数 a 的取值范围是__________.

6.设函数 f(x)= ax2+bx+c(a<0)的定义域为 D,若所有点(s,f(t)) (s,t∈D)构成一个正方形区域,则 a 的值为__________. ?-2+x,x>0, ? 7.已知函数 f(x)=? 2 若 f(0)=-2f(-1)=1,则函数 g(x)=f(x)+x 的零点 ? ?-x +bx+c,x≤0. 的个数为__________. 8.设函数 f(x)=x|x|+bx+c,给出下列四个命题:①c=0 时,f(x)是奇函数;②b=0,c>0 时,方程 f(x)=0 只有一个实根;③f(x)的图象关于(0,c)对称;④方程 f(x)=0 至多有两个实 根.其中正确的命题是__________. 9. 对于区间[a, b]上有意义的两个函数 f(x)与 g(x), 如果对于区间[a, b]中的任意数 x 均有|f(x) -g(x)|≤1,则称函数 f(x)与 g(x)在区间[a,b]上是密切函数,[a,b]称为密切区间.若 m(x) =x2-3x+4 与 n(x)=2x-3 在某个区间上是“密切函数”,则它的一个密切区间可能是 ________. ①[3,4] ②[2,4] ③[2,3] ④[1,4] 10.设函数 f(x)=x2+2bx+c(c<b<1),f(1)=0,方程 f(x)+1=0 有实根. (1)证明:-3<c≤-1 且 b≥0; (2)若 m 是方程 f(x)+1=0 的一个实根,判断 f(m-4)的正负并加以证明. a b 3 11.设函数 f(x)=ax2+bx+c,且 f(1)=- ,3a>2c>2b,求证:(1)a>0 且-3< <- ;(2)函 2 a 4 数 f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点;(3)设 x1、x2 是函数 f(x)的两个零点,则 2≤|x1- 57 x2|< . 4 12.已知函数 f(x)=ax2+4x+b(a<0,a、b∈R),设关于 x 的方程 f(x)=0 的两实根为 x1、x2, 方程 f(x)=x 的两实根为 α、β.(1)若|α-β|=1,求 a、b 的关系式;(2)若 a、b 均为负整数, 且|α-β|=1,求 f(x)的解析式;(3)若 α<1<β<2,求证:(x1+1)(x2+1)<7. 第四节 函数的图像特征 A组
10

1.命题甲:已知函数 f(x)满足 f(1+x)=f(1-x),则 f(x)的图象关于直线 x=1 对称.命题乙: 函数 f(1+x)与函数 f(1-x)的图象关于直线 x=1 对称.则甲、乙命题正确的是__________. x x 2.函数 y= · a (a>1)的图象的基本形状是_____. |x|

1 3.已知函数 f(x)=( )x-log3x,若 x0 是方程 f(x)=0 的解,且 0<x1<x0,则 f(x1)的值为 5 __________(正负情况). 4.设 a<b, 函数 y=(x-a)2(x-b)的图象可能是_____.

5.已知当 x≥0 时, 函数 y=x2 与函数 y=2x 的图象如图所示, 则当 x≤0 时, 不等式 2x· x2≥1 的解集是__________.

?3-x 2, x ∈[- 1,2] , 6.已知函数 f(x)= ? . ?x-3, x ∈(2,5]
(1)画出 f(x)的图象;(2)写出 f(x)的单调递增区间. .

11

B组 1-x 1.(2010 年合肥市高三质检)函数 f(x)=ln 的图象只可能是__________. 1+x

2.家电下乡政策是应对金融危机、积极扩大内需的重要举措.我市某家电制造集团为尽快 实现家电下乡提出四种运输方案,据预测,这四种方案均能在规定时间 T 内完成预期的运 输任务 Q0,各种方案的运输总量 Q 与时间 t 的函数关系如下图所示.在这四种方案中,运 输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是

3.如图,过原点 O 的直线与函数 y=2x 的图象交于 A,B 两点,过 B 作 y 轴的垂线交函数 y =4x 的图象于点 C,若 AC 平行于 y 轴,则点 A 的坐标是__________. 4.已知函数 f(x)=4-x2,g(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,当 x>0 时,g(x) =log2x,则函数 y=f(x)· g(x)的大致图象为__________.

5.某加油机接到指令,给附近空中一运输机加油.运输机的余油量为 Q1(吨),加油机加油 箱内余油 Q2(吨),加油时间为 t 分钟,Q1、Q2 与时间 t 的函数关系式的图象如右图.若运输 机加完油后以原来的速度飞行需 11 小时到达目的地, 问运输机的油料是否够用?________.

6.已知函数 y=f(x)(x∈R)满足 f(x+2)=f(x),且 x∈(-1,1]时,f(x)=|x|,则 y=f(x)与 y= log7x 的交点的个数为__________.
m

7. 函数 y=x n (m, n∈Z, m≠0, |m|, |n|互质)图象如图所示, 则下列结论正确的是__________.
12

①mn>0,m,n 均为奇数 ②mn<0,m,n 一奇一偶 ③mn<0,m,n 均为奇数 ④mn>0,m,n 一奇一偶 8.定义在 R 上的偶函数 f(x)的部分图象如图所示,则在(-2,0)上,下列函数中与 f(x)的单 调性不同的是 ①y=x2+1 ②y=|x|+1 ?2x+1,x≥0 ? ③y=? 3 ?x +1,x<0 ? 9.已知函数图象 C′与 C:y(x+a+1)=ax+a2+1 关于直线 y=x 对称,且图象 C′关于点(2,-3)对称,则 a 的值为__________. 10.作下列函数的图象: 1-|x| 1 (1)y= ;(2)y=|x-2|(x+1);(3)y= ;(4)y=|log2x-1|;(5)y=2|x-1|. |x|-1 |1-x| a 1 1 11.已知函数 f(x)=- x (a>0 且 a≠1).(1)证明:函数 y=f(x)的图象关于点( ,- )对 2 2 a+ a 称;(2)求 f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)的值. x+b 1 1 3 1 12.设函数 f(x)= (x∈R,且 a≠0,x≠ ).(1)若 a= ,b=- ,指出 f(x)与 g(x)= 的 a 2 2 x ax-1 图象变换关系以及函数 f(x)的图象的对称中心;(2)证明:若 ab+1≠0,则 f(x)的图象必关于 直线 y=x 对称.

第四章

函数应用
A组

?x(x+4),x<0, ? 1.已知函数 f(x)=? 则函数 f(x)的零点个数为________. ? ?x(x-4),x≥0. 2.根据表格中的数据,可以判定方程 ex-x-2=0 的一个根所在的区间为___.

x 0 1 2 3 -1 ex 0.37 1 2.72 7.39 20.09 3.偶函数 f(x)在区间[0,a](a>0)上是单调函数,且 f(0)· f(a)<0,则方程 f(x)=0 在区间[-a, a]内根的个数是__________. 4.某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价.该地区的电网销售电价 表如下: 高峰时间段用电价格表 低谷时间段用电价格表 高峰电价 低谷电价 高峰月用电量 低谷月用电量 (单位:元/千 (单位:元/千瓦 (单位:千瓦时) (单位:千瓦时) 瓦时) 时) 50 及以下的部分 0.568 50 及以下的部分 0.288 超过 50 至 200 的部 0.598 超过 50 至 200 的部分 0.318 分 超过 200 的部分 0.668 超过 200 的部分 0.388 若某家庭 5 月份的高峰时间段用电量为 200 千瓦时,低谷时间段用电量为 100 千瓦时, 则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为________元 5.已知 f(x)=|x|+|x-1|,若 g(x)=f(x)-a 的零点个数不为 0,则 a 的最小值为________.

13

? ?0.1+15lna-x,x≤6, 6.有时可用函数 f(x)=? x-4.4 ? ? x-4 ,x>6,
描述学习某学科知识的掌握程度,其中 x 表示某学科知识的学习次数(x∈N*),f(x)表示 对该学科知识的掌握程度,正实数 a 与学科知识有关. (1)证明:当 x≥7 时,掌握程度的增长量 f(x+1)-f(x)总是下降; (2)根据经验,学科甲、乙、丙对应的 a 的取值区间分别为(115,121],(121,127],(127, 133].当学习某学科知识 6 次时,掌握程度是 85%,请确定相应的学科. B组 1.某学校开展研究性学习活动,一组同学获得了下面的一组试验数据: x 1.99 3 4 5.1 6.12 y 1.5 4.04 7.5 12 18. 01 现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律,其中最接近的一个是 ________ 1 1 ①y=2x-2 ②y=( )x ③y=log2x ④y= (x2-1) 2 2 2.函数 f(x)=2x+x-7 的零点所在的区间是____. ①(0,1) ②(1,2) ③(2,3) ④(3,4) 1 3.已知函数 f(x)=x+log2x,则 f(x)在[ ,2]内的零点的个数是______. 2 4.某种细胞在培养过程中正常情况下,时刻 t(单位:分钟)与细胞数 n(单位:个)的部分数 据如下: t 0 20 60 140 n 1 2 8 128 根据表中数据,推测繁殖到 1000 个细胞时的时刻 t 最接近于________分钟. 5.某化工厂打算投入一条新的生产线,但需要经环保部门审批同意方可投入生产.已知该 1 生产线连续生产 n 年的累计产量为 f(n)= n(n+1)(2n+1)吨,但如果年产量超过 150 吨,将 2 会给环境造成危害.为保护环境,环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是 ________年. 6.某市出租车收费标准如下: 起步价为 8 元, 起步里程为 3 km(不超过 3 km 按起步价付费); 超过 3 km 但不超过 8 km 时,超过部分按每千米 2.15 元收费;超过 8 km 时,超过部分按每千米 2.85 元收费,另 每次乘坐需付燃油附加费 1 元.现某人乘坐一次出租车付费 22.6 元,则此次出租车行驶了 ________km. 7.一位设计师在边长为 3 的正方形 ABCD 中设计图案,他分别以 A、B、C、D 为圆心,以 3 b(0<b≤ )为半径画圆, 由正方形内的圆弧与正方形边上线段(圆弧端点在正方形边上的连线) 2 构成了丰富多彩的图形,则这些图形中实线部分总长度的最小值为 ________. 8.在不考虑空气阻力的情况下,火箭的最大速度 v m/s 和燃料的质量 M kg ,火箭 ( 除燃料外 ) 的质量 m kg 的函数关系是 v = 2000· ln(1 + M/m).当燃料质量是火箭质量的________倍时,火箭的最大速度可达 12 km/s.

a

14

1 ? ?|x-1|, x≠1 1 9.定义域为 R 的函数 f(x)=? 若关于 x 的函数 h(x)=f2(x)+bf(x)+ 有 5 个 2 ? ?1, x=1 不同的零点 x1,x2,x3,x4,x5,则 x12+x22+x32+x42+x52 等于________. 10.某商场在促销期间规定:商场内所有商品按标价的 80%出售.同时,当顾客在该商场 内消费满一定金额后,按如下方案获得相应金额的奖券: , [200 消费金额(元)的范围 , [400,500) [500,700) [700,900) ? 400) 30 60 100 130 获得奖券的金额(元) ? 根据上述促销方法,顾客在该商场购物可以获得双重优惠.例如:购买标价为 400 元的 商品,则消费金额为 320 元,获得的优惠额为:400×0.2+30=110(元).设购买商品的优 购买商品获得的优惠额 惠率= .试问: 商品的标价 (1)购买一件标价为 1000 元的商品,顾客得到的优惠率是多少? 1 (2)对于标价在[500,800)(元)的商品,顾客购买标价为多少元的商品时,可得到不小于 3 的优惠率? 11.已知某企业原有员工 2000 人,每人每年可为企业创利润 3.5 万元.为应对国际金融危 机给企业带来的不利影响,该企业实施“优化重组,分流增效”的策略,分流出一部分员工 待岗.为维护生产稳定,该企业决定待岗人数不超过原有员工的 5%,并且每年给每位待岗 员工发放生活补贴 0.5 万元.据评估,若待岗员工人数为 x,则留岗员工每人每年可为企 81 业多创利润(1- )万元.为使企业年利润最大,应安排多少员工待岗? 100x 12.(2010 年扬州调研)某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为 10 万元/辆,出 厂价为 13 万元/辆,年销售量为 5000 辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适 当增加投入成本,若每辆车投入成本增加的比例为 x(0<x<1),则出厂价相应提高的比例为 0.7x,年销售量也相应增加.已知年利润=(每辆车的出厂价-每辆车的投入成本)×年销 售量. (1)若年销售量增加的比例为 0.4x,为使本年度的年利润比上年度有所增加,则投入成 本增加的比例 x 应在什么范围内? 5 (2)若年销售量 T 关于 x 的函数为 T=3240(-x2+2x+ ),则当 x 为何值时,本年度的年 3 利润最大?最大利润为多少?

第五章
第一节

三角函数

角的概念的推广与弧度制
A组

π 1.点 P 从(-1,0)出发,沿单位圆 x2+y2=1 顺时针方向运动 弧长到达 Q 点,则 Q 点的坐 3 标为________. 2.设 α 为第四象限角,则下列函数值一定是负值的是________. α α α ①tan ②sin ③cos ④cos2α 2 2 2 3.若 sinα<0 且 tanα>0,则 α 是第_______象限的角.

15

|sinx| cosx |tanx| 4.函数 y= + + 的值域为________. sinx |cosx| tanx 3 ,则 a 的值为________. 4 2 6.已知角 α 的终边上的一点 P 的坐标为(- 3,y)(y≠0),且 sinα= y,求 cosα,tanα 的 4 值. B组 1.已知角 α 的终边过点 P(a,|a|),且 a≠0,则 sinα 的值为________. 2.已知扇形的周长为 6 cm,面积是 2 cm2,则扇形的圆心角的弧度数是_____. 3.如果一扇形的圆心角为 120° ,半径等于 10 cm,则扇形的面积为________. θ 4.若角 θ 的终边与 168° 角的终边相同,则在 0° ~360° 内终边与 角的终边相同的角的集合 3 为__________. 5.若 α=k· 180° +45° (k∈Z),则 α 是第________象限. 6.设角 α 的终边经过点 P(-6a,-8a)(a≠0),则 sinα-cosα 的值是________. y 7.若点 A(x,y)是 300° 角终边上异于原点的一点,则 的值为________. x 3π 3π 8.已知点 P(sin ,cos )落在角 θ 的终边上,且 θ∈[0,2π),则 θ 的值为________. 4 4 2 9.已知角 α 的始边在 x 轴的非负半轴上,终边在直线 y=kx 上,若 sinα= ,且 cosα<0, 5 则 k 的值为________. 10.已知一扇形的中心角是 α,所在圆的半径是 R.若 α=60° ,R=10 cm,求扇形的弧长及 该弧所在的弓形面积. 11.扇形 AOB 的周长为 8 cm. (1)若这个扇形的面积为 3 cm2,求圆心角的大小; (2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长 AB. 12.(1)角 α 的终边上一点 P(4t,-3t)(t≠0),求 2sinα+cosα 的值; (2)已知角 β 的终边在直线 y= 3x 上,用三角函数定义求 sinβ 的值. 5.若一个 α 角的终边上有一点 P(-4,a),且 sinα· cosα=

第二节

正弦函数和余弦函数的定义及诱导公式
A组

3 π 1.若 cosα=- ,α∈( ,π),则 tanα=________. 5 2 4 2.若 sinθ=- ,tanθ>0,则 cosθ=________. 5 π 3 π 3.若 sin( +α)= ,则 cos( -α)=________. 6 5 3 5sinx-cosx 4.已知 sinx=2cosx,则 =______. 2sinx+cosx 5.若 cos2θ+cosθ=0,则 sin2θ+sinθ=________. 60 π π 6.已知 sin(π-α)cos(-8π-α)= ,且 α∈( , ),求 cosα,sinα 的值. 169 4 2 B组 2 1.已知 sinx=2cosx,则 sin x+1=________. 10π 2.cos =________. 3 3 π sin2α 3.已知 sinα= ,且 α∈( ,π),那么 2 的值等于________. 5 2 cos α sinα+cosα 4.若 tanα=2,则 +cos2α=_________________. sinα-cosα
16

π 5.已知 tanx=sin(x+ ),则 sinx=___________________. 2 6.若 θ∈[0,π),且 cosθ(sinθ+cosθ)=1,则 θ=________. π 1 7π 7.已知 sin(α+ )= ,则 cos(α+ )的值等于________. 12 3 12 8.若 cosα+2sinα=- 5,则 tanα=________. 3π sin(π-α)cos(2π-α)tan(-α+ ) 2 31π 9.已知 f(α)= ,则 f(- )的值为________. 3 cos(-π-α) 2π 4π 10.求 sin(2nπ+ )· cos(nπ+ )(n∈Z)的值. 3 3 11.在△ABC 中,若 sin(2π-A)=- 2sin(π-B), 3cosA=- 2cos(π-B),求△ABC 的三 内角. 12.已知向量 a=( 3,1),向量 b=(sinα-m,cosα). (1)若 a∥b,且 α∈[0,2π),将 m 表示为 α 的函数,并求 m 的最小值及相应的 α 值;(2) π cos( -α)· sin(π+2α) 2 若 a⊥b,且 m=0,求 的值. cos(π-α)

第三节

正弦函数与余弦函数的图像与性质
A组 .

π 1.已知函数 f(x)=sin(x- )(x∈R),下面结论错误的是 2

π ①函数 f(x)的最小正周期为 2π②函数 f(x)在区间[0, ]上是增函数 2 ③函数 f(x)的图象关于直线 x=0 对称④函数 f(x)是奇函数 π 2.(2009 年高考广东卷改编)函数 y=2cos2(x- )-1 是________. 4 π ①最小正周期为 π 的奇函数 ②最小正周期为 π 的偶函数 ③最小正周期为 的奇函数 2 π ④最小正周期为 的偶函数 2 π 3.若函数 f(x)=(1+ 3tanx)cosx,0≤x< ,则 f(x)的最大值为________. 2 π 4 .已知函数 f(x) = asin2x + cos2x(a∈R) 图象的一条对称轴方程为 x = ,则 a 的值为 12 ________. π 5.设 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象关于直线 x= 对称,它的最小正周期是 π,则 f(x) 3 图象上的一个对称中心是________(写出一个即可). 3 6.设函数 f(x)= 3cos2x+sinxcosx- . 2 (1)求函数 f(x)的最小正周期 T,并求出函数 f(x)的单调递增区间; (2)求在[0,3π)内使 f(x)取到最大值的所有 x 的和. B组 2 π 2 1.函数 f(x)=sin( x+ )+sin x 的图象相邻的两条对称轴之间的距离是________. 3 2 3 π 2.给定性质:a 最小正周期为 π;b 图象关于直线 x= 对称.则下列四个函数中,同时具有 3 性质 ab 的是________. x π π π ①y=sin( + ) ②y=sin(2x+ ) ③y=sin|x| ④y=sin(2x- ) 2 6 6 6
17

π π 3.若 <x< ,则函数 y=tan2xtan3x 的最大值为_ _. 4 2 2 4.函数 f(x)=sin2x+2cosx 在区间[- π,θ]上的最大值为 1,则 θ 的值是________. 3 2π 2π 5.若函数 f(x)=2sinωx(ω>0)在[- , ]上单调递增,则 ω 的最大值为________. 3 3 π π 6. 设函数 y=2sin(2x+ )的图象关于点 P(x0, 0)成中心对称, 若 x0∈[- , 0], 则 x0=________. 3 2 π π 7.已知函数 y=Asin(ωx+φ)+m 的最大值为 4,最小值为 0,最小正周期为 ,直线 x= 是 2 3 其图象的一条对称轴,则下面各式中符合条件的解析式是________. π π π π ①y=4sin(4x+ )②y=2sin(2x+ )+2③y=2sin(4x+ )+2 ④y=2sin(4x+ )+2 6 3 3 6 π 8.有一种波,其波形为函数 y=sin x 的图象,若在区间[0,t]上至少有 2 个波峰(图象的最 2 高点),则正整数 t 的最小值是________. 9.已知函数 f(x)= 3sinωx+cosωx(ω>0),y=f(x)的图象与直线 y=2 的两个相邻交点的距离 等于 π,则 f(x)的单调递增区间是________. 10.已知向量 a=(2sinωx,cos2ωx),向量 b=(cosωx,2 3),其中 ω>0,函数 f(x)=a· b,若 π π f(x)图象的相邻两对称轴间的距离为 π.(1)求 f(x)的解析式;(2)若对任意实数 x∈[ , ],恒 6 3 有|f(x)-m|<2 成立,求实数 m 的取值范围. 11.设函数 f(x)=a· b,其中向量 a=(2cosx,1),b=(cosx, 3sin2x+m). (1)求函数 f(x)的最小正周期和在[0,π]上的单调递增区间; π (2)当 x∈[0, ]时,f(x)的最大值为 4,求 m 的值. 6 ωx 12.已知函数 f(x)= 3sinωx-2sin2 +m(ω>0)的最小正周期为 3π,且当 x∈[0,π]时,函 2 数 f(x)的最小值为 0.(1)求函数 f(x)的表达式;(2)在△ABC 中,若 f(C)=1,且 2sin2B=cosB +cos(A-C),求 sinA 的值.

第四节

函数 f(x)=Asin(ωx+φ)的图像

A组 1.已知 a 是实数,则函数 f(x)=1+asinax 的图象不可能是________.

π 2.将函数 y=sinx 的图象向左平移 φ(0≤φ<2π)个单位后,得到函数 y=sin(x- )的图象,则 6 φ 等于________. 3.将函数 f(x)= 3sinx-cosx 的图象向右平移 φ(φ>0)个单位,所得图象对应的函数为奇函 数,则 φ 的最小值为________. 4.如图是函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,-π<φ<π),x∈R 的部分图象,则下列命题中, 正确命题的序号为________. π ①函数 f(x)的最小正周期为 ; 2 ②函数 f(x)的振幅为 2 3; 7 ③函数 f(x)的一条对称轴方程为 x= π; 12
18

π 7 ④函数 f(x)的单调递增区间为[ , π]; 12 12 2 ⑤函数的解析式为 f(x)= 3sin(2x- π). 3 5. 已知函数 f(x)=sinωx+cosωx, 如果存在实数 x1, 使得对任意的实数 x, 都有 f(x1)≤f(x)≤f(x1 +2010)成立,则 ω 的最小值为________. π 6.已知函数 f(x)=sin2ωx+ 3sinωx· sin(ωx+ )+2cos2ωx,x∈R(ω>0),在 y 轴右侧的第一个 2 π 最高点的横坐标为 . (1)求 ω; 6 π (2)若将函数 f(x)的图象向右平移 个单位后,再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来 6 的 4 倍,纵坐标不变,得到函数 y=g(x)的图象,求函数 g(x)的最大值及单调递减区间. B组 1.(2009 年高考宁夏、海南卷)已知函数 y=sin(ωx+φ)(ω>0,-π≤φ<π)的图象如图所示, 则 φ=_____

2.已知函数 y=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)的图象如图所示,则 φ=________.

π 3.已知函数 f(x)=sin(ωx+ )(x∈R,ω>0)的最小正周期为 π,为了得到函数 g(x)=cosωx 的 4 图象,只要将 y=f(x)的图象________. π 2 4.已知函数 f(x)=Acos(ωx+φ) 的图象如图所示,f( )=- ,则 f(0)=________ 2 3

π 5. 将函数 y=sin(2x+ )的图象向________平移________个单位长度后所得的图象关于点(- 3 π ,0)中心对称. 12
19

?a1 a2?=a a -a a ,将函数 f(x)=? 3 cosx?的图象向左平移 m 个 6.定义行列式运算:? ? ? ? ?a3 a4? 1 4 2 3 ?1 sinx ? 单位(m>0),若所得图象对应的函数为偶函数,则 m 的最小值是________. π π π 7.若将函数 y=tan(ωx+ )(ω>0)的图象向右平移 个单位长度后,与函数 y=tan(ωx+ )的图 4 6 6 象重合,则 ω 的最小值为________. π π 3π 8.给出三个命题:①函数 y=|sin(2x+ )|的最小正周期是 ;②函数 y=sin(x- )在区间[π, 3 2 2 3π 5π 5π ]上单调递增;③x= 是函数 y=sin(2x+ )的图象的一条对称轴.其中真命题的个数是 2 4 6 ________. πx 9.当 0≤x≤1 时,不等式 sin ≥kx 恒成立,则实数 k 的取值范围是________. 2 2π 10.设函数 f(x)=(sinωx+cosωx)2+2cos2ωx(ω>0)的最小正周期为 .(1)求 ω 的值;(2)若函 3 π 数 y=g(x)的图象是由 y=f(x)的图象向右平移 个单位长度得到,求 y=g(x)的单调增区间. 2 π 11.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ),x∈R(其中 A>0,ω>0,0<φ< )的周期为 π,且图象上一个 2 2π 最低点为 M( ,-2). 3 π (1)求 f(x)的解析式;(2)当 x∈[0, ]时,求 f(x)的最值. 12 π 12.已知函数 f(x)=sin(ωx+φ),其中 ω>0,|φ|< . 2 π 3π (1)若 cos cosφ-sin sinφ=0,求 φ 的值; 4 4 π (2)在(1)的条件下,若函数 f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于 ,求函数 f(x) 3 的解析式;并求最小正实数 m,使得函数 f(x)的图象向左平移 m 个单位后所对应的函数是偶 函数.

第六章
第一节

三角恒等变形

同角三角函数的基本关系

A组 5 10 1.已知 sinα= ,sin(α-β)=- ,α、β 均为锐角,则 β 等于________. 5 10 π 3 3 2.已知 0<α< <β<π,cosα= ,sin(α+β)=- ,则 cosβ 的值为________. 2 5 5 sin(α+β) 3.如果 tanα、tanβ 是方程 x2-3x-3=0 的两根,则 =________. cos(α-β) π 4 7π 4.已知 cos(α- )+sinα= 3,则 sin(α+ )的值是___. 6 5 6 π π 5.定义运算 a b=a2-ab-b2,则 sin =________. 12 12 π α α 6 6.已知 α∈( ,π),且 sin +cos = . 2 2 2 2 3 π (1)求 cosα 的值;(2)若 sin(α-β)=- ,β∈( ,π),求 cosβ 的值. 5 2 B组 cos2α 1+tanα 1. · 的值为________. 1+sin2α 1-tanα
20

sin2x-2sin2x π 3 2.已知 cos( +x)= ,则 的值为________. 4 5 1-tanx π π 3.已知 cos(α+ )=sin(α- ),则 tanα=________. 3 3 π 3π π π 3 3π 5 4.设 α∈( , ),β∈(0, ),cos(α- )= ,sin( +β)= ,则 sin(α+β)=________. 4 4 4 4 5 4 13 1 1 π 5.已知 cosα= ,cos(α+β)=- ,且 α,β∈(0, ),则 cos(α-β)的值等于________. 3 3 2 π 1+ 2cos(2α- ) 4 3 6.已知角 α 在第一象限,且 cosα= ,则 =________. 5 π sin(α+ ) 2 π 2 π 7. 已知 a=(cos2α, sinα), b=(1, 2sinα-1), α∈( , π), 若 a· b= , 则 tan(α+ )的值为________. 2 5 4 tan10° tan70° 8. 的值为______. tan70° -tan10° +tan120° π sin(α+ ) 4 9.已知角 α 的终边经过点 A(-1, 15),则 的值等于________. sin2α+cos2α+1 cos20° 10.求值: · cos10° + 3sin10° tan70° -2cos40° . sin20° x x 11.已知向量 m=(2cos ,1),n=(sin ,1)(x∈R),设函数 f(x)=m· n-1. 2 2 5 (1)求函数 f(x)的值域; (2)已知锐角△ABC 的三个内角分别为 A, B, C, 若 f(A)= , f(B) 13 3 = ,求 f(C)的值. 5 π π 1 4 12.已知:0<α< <β<π,cos(β- )= ,sin(α+β)= . 2 4 3 5 π (1)求 sin2β 的值;(2)求 cos(α+ )的值. 4

第二节

两角和与差及二倍角的三角函数

A组 3 π π 5π 1.若 sinα= ,α∈(- , ),则 cos(α+ )=________. 5 2 2 4 3 1 1 1 1 2.已知 π<θ< π,则 + + cosθ=________. 2 2 2 2 2 cos10° + 3sin10° 3.)计算: =________. 1-cos80° . 4.函数 y=2cos2x+sin2x 的最小值是__________________. 1 1 5.函数 f(x)=(sin2x+ )(cos2x+ )的最小值是________. 2010sin2x 2010cos2x π π 6.已知角 α∈( , ),且(4cosα-3sinα)(2cosα-3sinα)=0. 4 2 π π (1)求 tan(α+ )的值;(2)求 cos( -2α)的值. 4 3 B组 2 π 1 π 1.若 tan(α+β)= ,tan(β- )= ,则 tan(α+ )=_____. 5 4 4 4

21

1 的值为________. cos2α+sin2α 6 3.设 a=sin14° +cos14° ,b=sin16° +cos16° ,c= ,则 a、b、c 的大小关系是 2 2.若 3sinα+cosα=0,则 4. 2+2cos8+2 1-sin8的化简结果是________. 1 10 π π π 5.若 tanα+ = ,α∈( , ),则 sin(2α+ )的值为_________. tanα 3 4 2 4 2 6.若函数 f(x)=sin2x-2sin x· sin2x(x∈R),则 f(x)的最小正周期为________. 1 2π π 解析:f(x)=sin2x(1-2sin2x)=sin2xcos2x= sin4x,所以 T= = . 2 4 2 2cos5° -sin25° 7. 的值为________. cos25° 8.向量 a=(cos10° ,sin10° ),b=(cos70° ,sin70° ),|a-2b|=________________. 1-cos2α 1 9.已知 =1,tan(β-α)=- ,则 tan(β-2α)=________. sinαcosα 3 sin2α+cos2(π-α) π 10.已知 tanα=2.求(1)tan(α+ )的值;(2) 的值. 4 1+cos2α sin2α+cos2(π-α) 2sinαcosα+cos2α 2sinα+cosα 1 5 (2) = = =tanα+ = . 2 2cos α 2cosα 2 2 1+cos2α 11.如图,点 A,B 是单位圆上的两点,A,B 两点分别在第一、二象限,点 C 是圆与 x 轴

3 4 正半轴的交点, △AOB 是正三角形, 若点 A 的坐标为 ? 记∠COA ÷, ? , ÷
=α. 1+sin2α (1)求 的值;(2)求|BC|2 的值. 1+cos2α sinA+sinB 12.△ABC 中,A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,tanC= , cosA+cosB sin(B-A)=cosC.(1)求角 A,C.(2)若 S△ABC=3+ 3,求 a,c.

骣 ? 桫 5 5÷

第七章

解三角形

第一节 正弦定理与余弦定理
1.△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,若 c = 等于 ( ) A. 6 B.2 C. 3

2 ,b=

6 ,B=120°,则 a

D. 2

2.在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,若 (a2 + b2 - c2 ) tan B = 则角 B 的值为( A.
? ; 6

3ac ,

) B.
? ; 3

C.

? 5? 或 ; 6 6

D.

? 2? 或 . 3 3

3.下列判断中正确的是() A.△ABC 中, a = 7 , b = 14 ,A=30°,有两解 B.△ABC 中, a = 30 , b = 25 ,A=150°,有一解 C.△ABC 中, a = 6 , b = 9 ,A=45°,有两解 D.△ABC 中,b=9,c=10,B=60°,无解.

22

4.在△ABC 中,若 2cosBsinA=sinC,则△ABC 一定是 ( ) A.等腰直角三角形; B.等腰三角形 C.直角三角形;D.等边三角形. 5.在△ABC 中,A=120° ,AB=5,BC=7,则 A. ;
8 5

sin B 的值为( ) sin C
D.
3 5

B. ;

5 8

C. ;

5 3

6.△ABC 中,若 a4 + b4 + c4 = 2c2 (a2 + b2 ) ,则∠C 的度数是 ( ) A.60° ; B.45° 或 135° ; C.120° ; D.30° .

7.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a , b , c ,若 a = 1 , b = B= . 8.8.在△ABC 中,A=60°,AB=5,BC=7,则△ABC 的面积为

7 ,c =

3 ,则

9.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a 、 b 、 c .若 ( 3b - c) cos A = a cos C , 则 cos A = .

10.10. 在△ABC 中,已知 a= 3 ,b= 2 ,B=45°,求 A、C 和 c. 11.在△ABC 中, a 、 b 、 c 分别是角 A,B,C 的对边,且

cos B b =. cos C 2a + b

(1)求角 B 的大小; (2)若 b =

13 , a + c = 4 ,求△ABC 的面积.

12. 在△ABC 中, a 、 b 、 c 分别表示三个内角 A、B、C 的对边,如果 (a2 + b2 )sin ( A- B)

= (a2 - b2 )sin ( A + B),判断三角形的形状.
13.已知△ABC 中,三个内角 A,B,C 的对边分别为 a , b , c ,若△ABC 的面积为 S,
2

2S = (a + b) - c 2 ,求 tan C 的值.
14.已知△ABC 的三个内角 A、B、C 的对边分别为 a 、b、c,若 a 、b、c 成等差数列,且 2 cos 2 B - 8cos B + 5 = 0 ,求角 B 的大小并判断△ABC 的形状. 15. 在△ABC 中, 角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c, 已知 a+b=5, c= 7 , 且 4sin (1)求角 C 的大小; (2)求△ABC 的面积.
2

A? B 7 -cos2C= . 2 2

第二节

正弦定理、余弦定理的应用

1.从 A 处望 B 处的仰角为 ? ,从 B 处望 A 处的俯角为 ? ,则 ?、 ? 的关系为( ) A. ? > ? ; B. ? = ? ; C. ? + ? =90° ; D. ? + ? =180° .

2.已知 A、B 两地的距离为 10 km,B、C 两地的距离为 20 km,现测得∠ABC=120°,则 A、 C 两地的距离为( )
23

A.10 km ;

B. 3 km;

C. 10 5 km;

D.10 7 km

3.为测量某塔 AB 的高度,在一幢与塔 AB 相距 20 m 的楼顶处测得塔顶 A 的仰角为 30°, 测得塔基 B 的俯角为 45°,那么塔 AB 的高度是( ) A. 20 ? ? ?1+



3÷ ÷m ; ÷ ? 3 ÷ 桫

B. 20 ? ? ?1+



3÷ ÷m ; ÷ ? 2 ÷ 桫

C. 20 1+ 3 m ;

(

)

D.30 m.

4.如图,位于港口 O 正东 20 海里 B 处的渔船回港时出现故障.位于港口南偏西 30° ,距港 口 10 海里 C 处的拖轮接到海事部门营救信息后以 30 海里/小时的速度沿直线 CB 去营救渔 船,则拖轮到达 B 处需要_______小时.

5.如图,海岸线上有相距 5 海里的两座灯塔 A,B,灯塔 B 位于灯塔 A 的正南方向.海上 停泊着两艘轮船,甲船位于灯塔 A 的 北偏西 75° ,与 A 相距 3 2海里的 D 处;乙船位于灯塔 B 的北 偏西 60° 方向,与 B 相距 5 海里的 C 处.则两艘轮船之间的距 离为________海里.

6.一船向正北方向匀速行驶,看见正西方 向两座相距 10 海里的灯塔恰好与该船在同一直线上,继续航行半 小时后,看见其中一座灯塔在南偏西 60° 方向上,另一灯塔在南 偏西 75° 方向上,则该船的速度是________海里/小时. 7.如图,某住宅小区的平面图呈圆心角为 120° 的扇形 AOB,C 是该小区的一个出入口,且 小区里有一条平行于 AO 的小路 CD.已知某人从 O 沿 OD 走到 D 用了 2 分钟,从 D 沿着 DC 走到 C 用了 3 分钟.若此人步行的速度为每分钟 50 米,则该扇形的半径为________米.

8.在 Rt△ABC 中,斜边 AB=2,内切圆的半径为 r,则 r 的最大值为________. 9.如图,A、B、C、D 都在同一个与水平面垂直的平面内,B、D 为两岛上的两座灯塔的塔 顶,测量船于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为 75° 、30° ,于水面 C 处测得 B 点和 D 点的仰角均为 60° ,AC=0.1 km.试探究图中 B、D 间距离与另外哪两点间距离相等,然
24

后求 B、D 的距离(计算结果精确到 0.01 km, 2≈1.414, 6≈2.449).

第八章
那么数列 ?an ? 的通项公式是_______.

数列

1.已知数列 ?an ? 满足条件 ( n ? 1 )an?1 ? ( n ? 1 )( an ? 1 ) ,且 a2 ? 6 ,设 bn ? an ? n , 2、 x = ab 是 a 、 x 、 b 成等比数列的( ) 条件 A.充分非必要 B.必要非充分 C.充要 3、已知数列 {an }的前 n 项和 Sn = a - 1(a 喂 R, a
n

D.既非充分又非必要

0) ,则数列 {an }( )

A.一定是等差 B.一定是等比 C.或是等差或是等比 D.既非等差又非等比 4、弹子跳棋共有 60 颗大小的球形弹子,现在棋盘上将它叠成正四面体形球垛,使剩下的 弹子尽可能的少,那么剩余的弹子有( ) A. 0 颗 B.4 颗 C.5 颗 D.11 颗 5、某学生家长为缴纳该学生上大学时的教育费,于 2003 年 8 月 20 号从银行贷款 a 元,为 还清这笔贷款, 该家长从 2004 年起每年的 8 月 20 号便去银行偿还确定的金额, 计划恰好在 贷款的 m 年后还清,若银行按年利息为 p 的复利计息(复利:即将一年后的贷款利息也纳 入本金计算新的利息) ,则该学生家长每年的偿还金额是 ( )

a A. ; m

B.

ap (1 + p )
n+ 1

n+ 1

6、已知 ?an ? 为等比数列, a1 ? 2, q ? 3 ,又第 m 项至第 n 项的和为 720 (m ? n) ,则 7、数列 ?an ? 对任意 n ? N 都满足 an?2 ? an ? an?4 ,且 a3 ? 2, a7 ? 4, an ? 0 ,则 a11 ? __
*

(1 + p) - 1
王新敞
奎屯 新疆



ap (1+ p) C. pn - 1

n+ 1



D.

ap (1 + p )
n

n


(1 + p) - 1

m?

,n ?

2

王新敞
奎屯

新疆

8、已知函数 f ( x) ?

1 1 1 x ,那么 f (1) ? f (2) ? f ( ) ? f (3) ? f ( ) ? f (4) ? f ( ) ? __ 2 2 3 4 1? x
王新敞
奎屯 新疆

2

9、 一个项数为偶数的等比数列, 首项是 1, 且所有奇数项之和是 85, 所有偶数项之和是 170, 则此数列共有_____项 10、在各项为正数的等比数列 ?an ? 中,已知 a3 ? a4 ? 11a2 ?a 4 ,且前 2 n 项的和等于它的 前 2 n 项中偶数项之和的 11 倍,则数列 ?an ? 的通项公式 a n ? ________.
王新敞
奎屯 新疆

11、已知数列 ?a n ? 中,a1 ? ?60, a n?1 ? a n ? 3 ,那么 | a1 | ? | a2 | ? ?? | a30 | 的值为________. 12、等差数列 ?a n ? 中, a1 ? 0 ,且 3a8 ? 5a13 ,则 {S n } 中最大项为________. 13、已知一个等差数列前五项的和是 120,后五项的和是 180,又各项之和是 360,则此数 列共有 ____项.

25

14、设 f ( x ) ?

1 ,利用课本中推导等差数列前 n 项和的公式的方法,可求得: 3 ? 3 f (?12) ? f (?11) ? f (?10) ? ? ? f (0) ? ? ? f (11) ? f (12) ? f (13) 的值为________.
x

15、已知数列 ?an ? 的通项 an ? (2n ? 1) ? 2 n?1 ,前 n 项和为 S n ,则 S n =________. 16、数列

17、已知数列 {an } 是首项为 a1 ,公差为 d (0 ? d ? 2? ) 的等差数列,若数列 {cos an } 是等比 数列,则其公比为( )

1 1 1 1 , 2 , 2 , 2 ,?前 n 项的和等于___________. 1 ? 2 2 ? 4 3 ?6 4 ?8
2

B. ?1 C. ?1 D. 2 18、已知在数列 ?an ? 中, a1 ? 1, a2n ? qa2n ?1, a2n ?1 ? a2n +d ( q、d ? R,q >0) . A. 1
(1)若 q ? 2, d ? ?1, 求 a3 , a4 并猜测 a2006 ; (2)若 ?a2 n ?1?是等比数列,且 ?a2 n ?是等差数列,求 q, d 满足的条件. 19.已知一个等差数列的前 10 项和是 310,前 20 项和是 1220,试求其前 n 项和.

第九章
则 a 与 b 的夹角为_________ 2、下列命题:

平面向量

1. 已知三个向量 a=(cos ? 1 , sin ? 1 ), b=(cos ? 2 , sin ? 2 ), c= (cos? 3 , sin ? 3 ), 满足 a ? b ? c ? 0 ,

r r r r r r r r (2)若 e 为单位向量,且 a // e ,则 a = a e ; r r r r (3) a 鬃 a a= a r r r r r r (4)若 a 与 b 共线,又 b 与 c 共线,则 a 与 c 必共线 uu u r uuu r uuu r uuu r (5)若平面内四个点 A、B、C、D 则必有 AB + BD = BC + AD
正确的命题个数为( ) A.1 B.2 C .3 D.0

(1)若 a 与 b 为非零向量,且 a // b 时,则 a - b 必与 a 或 b 中之一的方向相同;

? ? ? ? ? ? 3、若 O 为平行四边形 ABCD 的中心, AB =4 e 1, BC ? 6e2 , 则3e2 ? 2e1 等于( ) ? ? ? ? A. A O B. BO C. C O D. DO ? ? ? ? ? 4、若 a ? (5,?7), b ? (?1,2) ,且( a ? ?b ) ? b ,则实数 ? 的值为_______. ?
5、已知 | a |?| b |? 2 , a 与 b 的夹角为

,则 a ? b 在 a 上的投影为 . 3 6、在直角坐标平面上,向量 OA ? (4,1) ,向量 OB ? (2,?3) ,两向量在直线 l 上的正射影长 度相等,则直线 l 的斜率为_________. 7、设平面向量 a =(-2,1), b =(1, ? ),若 a 与 b 的夹角为钝角,则 ? 的取值范_______. 8、 已知向量 OB ? (2,0), OC ? (2,2), CA ? ( 2 cos ? , 2 sin? ) , 则向量 OA, OB 的夹角范围是 ________. 9、将函数 y ? 2 x 的图象按向量 a 平移后得到 y ? 2 x ? 6 的图象,给出以下四个命题: ① a 的坐标可以是 (?3,0) ;
?
?

?

② a 的坐标可以是 (?3,0) 和 (0,6) ;
?

?

③ a 的坐标可以是 (0,6) ; ④ a 的坐标可以有无数种情况. 上述说法正确的是__________. 15 10 、 已 知 ?ABC 中 , CB ? a, CA ? b, a ? b ? 0, S ?ABC ? , | a |? 3, | b |? 5 , 则 a 与 b 的 夹 角 为 4 ______.
26

11、若△ABC 三边长 AB=5,BC=7,AC=8,则 AB ? BC 等于



12 .已知 | a |? 4, | b |? 3, a ,b 的夹角为 120 °,且 c ? a ? 2b , d ? 2a ? kb ,当 c ? d 时, k= . 13.已知 A(3,y) ,B( ? 5 ,2) ,C(6, ? 9 )三点共线,则 y=_________. 14.若 a =(1,2) , b =( ? 3 ,2) ,k 为何值时:(1)k a + b 与 a -3 b 垂直; (2)k a + b 与 a -3 b 平行?

第十章
第一节

算法

程序框图 A组

1.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果是________.

2. 如果执行如图的程序框图, 输入 x=-2, h=0. 5, 那么输出的各个数的和等于________. 3.执行下面的程序框图,输出的 T=________.

第2题

第3题

4.阅读下面的流程图,若输入 a=6,b=1,则输出的结果是________.

27

5.阅读如图所示的程序框图,若输入的 n 是 100,则输出的变量 S 的值是多少?

第5题 第6题 6.已知如图所示的程序框图(未完成),设当箭头 a 指向①时,输出的结果为 S=m,当 箭头 a 指向②时,输出的结果为 S=n,求 m+n 的值.

B组 1.如图是一算法的程序框图,若此程序运行结果为 s=720,则在判断框中应填入的关于 k 的判断条件是__________.

(第 1 题) (第 2 题) (第 3 题) 2.若 R=8,则下列流程图的运行结果为______. 3.给出一个如图所示的程序框图,若要使输入的 x 的值与输出的 y 的值相等,则 x 的可能 值的个数为________.
28

4.如图,该程序运行后输出的结果为________. 5.已知流程图如图所示,该程序运行后,为使输出的 b 值为 16,则循环体的判断框内①处 应填____.

(第 4 题)

(第 5 题)

(第 6 题)

6. 按如图所示的程序框图运行后, 输出的结果是 63, 则判断框中的整数 M 的值是________. 7.某篮球队 6 名主力队员在最近三场比赛中投进的三分球个数如下表所示: 1 2 3 4 5 6 队员 i a1 a2 a3 a4 a5 a6 三分球个数 下图是统计该 6 名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图, 则图中判断框 应填______,输出的 s=______. (注:框图中的赋值符号“←”也可以写成“=”或“:=”)

(第 7 题)

(第 8 题)

8.某算法的程序框图如图所示,则输出量 y 与输入量 x 满足的关系式是________. 9.某流程如图所示,现输入如下四个函数 1 ①f(x)=x2;②f(x)= ;③f(x)=lnx;④f(x)=sinx. x 则输入函数与输出函数为同一函数的是_____________.

29

(第 9 题)

(第 10 题)
? ?

? π 3π π π ? ? 10. 如图所示的算法中, 令 a=tanθ, b=sinθ, c=cosθ, 若在集合?θ? ?-4<θ< 4 ,θ≠0,4,2

中,给 θ 取一个值,输出的结果是 sinθ,求 θ 值所在的范围. 1 1 1 1 11.画出计算 1+ + +?+ + 值的一个算法的流程图. 2 3 9 10

(第 11 题) (第 12 题) 12.到银行办理个人异地汇款(不超过 100 万元)时,银行要收取一定的手续费.汇款额不超 过 100 元,收取 1 元手续费; 超过 100 元但不超过 5000 元,按汇款额的 1%收取; 超过 5000 元,一律收取 50 元手续费.设计算法求汇款额为 x 元时,银行收取的手续费 y 元,只画出 流程图.

第二节

程序语句

A组 1.(2010 年徐州调研)如图,给出一个算法的伪代码,则 f(-3)+f(2)=_-8__. Input x If x<0 Then y←(x+1)(x- 1) Else
30

y←(x-1)2 End If Print y End

T←1 I←3 While I<50 T←T+I I←I+2 End While

(第 1 题) (第 2 题) (第 2.输入 x=5,运行下面的程序之后得到的 y 等于__. 3.根据如图所示的伪代码,可知输出的结果 T 为______. 4.程序框图(即算法流程图)如图所示,其输出结果是____. Input n S←0 I←1 While________ S←S+I I←I+1 Wend Print “S=”;S End

Print T

3 题)

(第 4 题) (第 5 题) (第 6 题) 5.编写程序求 S=1+2+3+?+n 的和(n 由键盘输入),程序如图,则横线上应填__ _. 6.下图是一个算法的流程图,求最后输出的 W 的值. B组 1.右面程序执行后输出的结果是___. (缺图) Input x If x≤0 Then f(x)←4x Else f(x)←2x End If Print f(x) 2.下列程序的功能是:判断任意输入的数 x 是否是正数,若是,输 出它的平方值;若不是,输出它的相反数.则填入的条件应该是 _______. x←Input(“x=”) If________ y←-x; Else y←x2 End If Print y

3.程序如下:
31

a←Input(“a =”) b←Input(“b =”) c←Input(“c =”) a←b b←c c←a Print a,b,c 若输入 10,20,30,则输出结果为_______. 4.程序如下: t←1 i←2 While i≤4 t←t×i i←i+1 End While Print t 以上程序输出的结果是__. 5.有下面算法: p←1 For k From 1 To 10 Step 3 p←p+2×k-6 End For Print p 则运行后输出的结果是__. 6.(2010 年南京第一次调研)根据如图所示的伪代码,可知输出的结果 I 为__. S←1 I←1 While S<5 I+1 S←S× I I←I+1 End While Print I 1 1 1 7.现欲求 1+ + +?+ 的和(其中 n 的值由键盘输入),已给出了其程序框图, 3 5 2n-1 请将其补充完整并设计出程序. 8.已知函数 y=x2+2x(x∈[-10,10],x∈Z),编写程序,求该函数的最大值.

32

第十一章

概率
第一节 古典概型

A组 1.某产品分甲、乙、丙三级,其中乙、丙两级均属次品,在正常生产情况下,出现乙级品 和丙级品的概率分别是 5%和 3%,则抽验一只是正品(甲级品)的概率为________. 2.某射手在一次射击中,射中 10 环,9 环,8 环的概率分别是 0.20,0.30,0.10,则 此射手在一次射击中不够 8 环的概率为________. 3.从甲、乙、丙、丁四人中任选两名代表,甲被选中的概率为________. 4. 从一个信箱中任取一封信, 记一封信的重量为 ξ(单位: 克), 如果 P(ξ<10)=0. 3, P(10≤ξ≤30) =0.4,则 P(ξ>30)=________. 5.某种电子元件在某一时刻是否接通的可能性是相同的,有 3 个这样的电子元件,则出现 至少有一个接通的概率为________. 6.某学校的篮球队、羽毛球队、乒乓球队各有 10 名队员,某些队员不止参加了一支球队, 具体情况如图所示,现从中随机抽取一名队员,求: (1)该队员只属于一支球队的概率; (2)该队员最多属于两支球队的概率. B组 1.(2009 年高考安徽卷)从长度分别为 2、3、4、5 的四条线段中 任意取出三条,则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是 ________. 1 1 2.甲射手击中靶心的概率为 ,乙射手击中靶心的概率为 ,甲、 3 2 乙两人各射击一次,那么,甲、乙不全击中靶心的概率为________. 3. 口袋内装有一些大小相同的红球、 白球和黑球, 从中摸出 1 个球, 摸出红球的概率是 0. 42, 摸出白球的概率是 0.28,那么摸出黑球的概率是________. 4.甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人,则甲、乙将贺年卡送给同一 人的概率是________. 5.若将一颗质地均匀的骰子(一种各面上分别标有 1,2,3,4,5,6 个点的正方体玩具)先 后抛掷 2 次,则出现向上的点数之和为 4 的概率是___. 6.有两个质地均匀、大小相同的正四面体玩具,每个玩具的各面上分别写有数字 1、2、3、
33

4,把两个玩具各抛掷一次,斜向上的面写有的数字之和能被 5 整除的概率为________. 7.有一个奇数列 1,3,5,7,9,?,现在进行如下分组,第一组有 1 个数为 1,第二组有 2 个数为 3、5,第三组有 3 个数为 7、9、11,?,依此类推,则从第十组中随机抽取一个 数恰为 3 的倍数的概率为________. 8.先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数 1、2、3、4、5、6),骰子 朝上的面的点数分别为 x、y,则满足 log2xy=1 的概率为________. 9.将一枚骰子抛掷两次,若先后出现的点数分别为 b、c 则方程 x2+bx+c=0 有实根的概 率为____________. 10.如图,四边形 ABCD 被两条对角线分成四个小三角形,若每个小三角形用 4 种不同颜 色中的任一种涂染,求出现相邻三角形均不同色的概率.

11. 在数学考试中, 小明的成绩在 90 分及以上的概率是 0. 18, 在 80~89 分的概率是 0. 51, 在 70~79 分的概率是 0.15,在 60~69 分的概率是 0.09,计算小明在数学考试中取得 80 分及以上成绩的概率和小明考试不及格(低于 60 分)的概率. 12.盒中有 6 只灯泡,其中 2 只次品,4 只正品,有放回地从中任取 2 次,每次只取 1 只, 试求下列事件的概率:(1)取到的 2 只都是次品;(2)取到的 2 只中正品、次品各 1 只;(3)取 到的 2 只中至少有 1 只正品.

第二节

概率的应用

A组 1.在一个袋子中装有分别标注数字 1,2,3,4,5 的五个小球,这些小球除标注的数字外 完全相同.现从中随机取出 2 个小球,则取出的小球标注的数字之和为 3 或 6 的概率是 . → → → 2. 已知 k∈Z, AB=(k, 1), AC=(2, 4), 若|A B |≤4, 则△ABC 是直角三角形的概率为________. 3.甲盒子里装有分别标有数字 1,2,4,7 的 4 张卡片,乙盒子里装有分别标有数字 1,4 的 2 张卡片. 若从两个盒子中各随机地取出 1 张卡片, 则 2 张卡片上的数字之和为奇数的概 率是________. 4.现有 5 根竹竿,它们的长度(单位:m)分别为 2.5,2.6,2.7,2.8,2.9,若从中 一次随机抽取 2 根竹竿,则它们的长度恰好相差 0.3 m 的概率为________. 5.连掷两次骰子分别得到点数 m,n,向量 a=(m,n),b=(-1,1),若在△ABC 中,A B 与 a 同向,C B 与 b 反向,则∠ABC 是钝角的概率是________. 6.一个袋子中有红、白、蓝三种颜色的球共 24 个,除颜色外其他特征完全相同,已知蓝色 1 球 3 个.若从袋子中随机取出 1 个球,取到红色球的概率是 . 6 (1)求红色球的个数; (2)若将这三种颜色的球分别进行编号,并将 1 号红色球,1 号白色球,2 号蓝色球和 3 号蓝色球这四个球装入另一个袋子中,甲乙两人先后从这个袋子中各取一个球(甲先取,取 出的球不放回),求甲取出的球的编号比乙大的概率. B组 1.有 20 张卡片,每张卡片上分别标有两个连续的自然数 k,k+1,其中 k=0,1,2,?, 19.从这 20 张卡片中任取一张,记事件“该卡片上两个数的各位数字之和(例如:若取到标 有 9, 10 的卡片, 则卡片上两个数的各位数字之和为 9+1+0=10)不小于 14”为 A, 则 P(A)
34





=________. 2.用黑白两种颜色的正方形地砖依照下图的规律拼成若干图形,则按此规律第 100 个图形 中有白色地砖________块; 现将一粒豆子随机撒在第 100 个图形中, 则豆子落在白色地砖上 的概率是________.

3.设集合 A={1,2},B={1,2,3},分别从集合 A 和 B 中随机取一个数 a 和 b,确定平 面上的一个点 P(a,b),记“点 P(a,b)落在直线 x+y=n 上”为事件 Cn(2≤n≤5,n∈N), 若事件 Cn 的概率最大,则 n 的所有可能值为________. 4.先后从分别标有数字 1,2,3,4 的 4 个大小、形状完全相同的球中,有放回地随机抽取 2 个球,则抽到的 2 个球的标号之和不大于 5 的概率等于________. 5.把一颗骰子投掷两次,观察出现的点数,并记第一次出现的点数为 a,第二次出现的点 数为 b,向量 m=(a,b),n=(1,-2),则向量 m 与向量 n 垂直的概率是________. 6.如图,将一个体积为 27 cm3 的正方体木块表面涂上蓝色,然后锯成体积为 1 cm3 小正方 体,从中任取一块,则这一块恰有两面涂有蓝色的概率是 . 7.集合 A={2,4,6,8,10},B={1,3,5,7,9},在 A 中任取

(6 题图)

一元素 m 和在 B 中任取一元素 n,则所取两数 m>n 的概率是________. 8.集合 A={(x,y)|y≥|x-1|},集合 B={(x,y)|y≤-x+5}.先后掷两颗骰子,设掷第一颗 骰子得点数记作 a,掷第二颗骰子得点数记作 b,则(a,b)∈A∩B 的概率等于 . 9.已知|x|≤2,|y|≤2,点 P 的坐标为(x,y),则当 x,y∈Z 时,P 满足(x-2)2+(y-2)2≤4 的概率为________. 10.甲、乙两人各掷一次骰子(均匀的正方体,六个面上分别为 1,2,3,4,5,6 点),所 得点数分别为 x,y. (1)求 x<y 的概率;(2)求 5<x+y<10 的概率. 11.晚会上,主持人面前放着 A、B 两个箱子,每箱均装有 3 个完全相同的球,各箱的 3 个 球分别标有号码 1,2,3.现主持人从 A、B 两箱中各摸出一球. (1)若用(x,y)分别表示从 A、B 两箱中摸出的球的号码,请写出数对(x,y)的所有情形, 并回答一共有多少种; (2)求所摸出的两球号码之和为 5 的概率; (3)请你猜这两球的号码之和,猜中有奖.猜什么数获奖的可能性最大?说明理由. 12.从某学校高三年级共 800 名男生中随机抽取 50 人 测量身高.据测量,被测学生身高全部介于 155 cm 到 195 cm 之间,将测量结果按如下方式分成八组:第一 组[155,160);第二组[160,165);?;第八组[190, 195]. 如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的 一部分.已知第一组与第八组人数相同,第六组、第七 组、第八组人数依次构成等差数列. (1)估计这所学校高三年级全体男生身高在 180 cm
35

以上(含 180 cm)的人数; (2)求第六组、第七组的频率并补充完整频率分布直方图; (3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两人,记他们的身高分别为 x、 y,求满足“|x-y|≤5”的事件的概率.

第三节

几何概型
A组

1 1.在长为 1 的线段上任取两点,则这两点之间的距离小于 的概率为________. 2 2. 在等腰直角三角形 ABC 中, 若 M 是斜边 AB 上的点, 则 AM 小于 AC 的概率为________. π π 1 3.在区间[- , ]上随机取一个数 x,则 cosx 的值介于 0 到 之间的概率为________. 2 2 2 4.平面上有一组平行线,且相邻平行线间的距离为 3 cm,把一枚半径为 1 cm 的硬币任意 投掷在这个平面上,则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是________. S 5.向面积为 S 的△ABC 内任投一点 P,则△PBC 的面积小于 的概率为________. 2

? 的中点(如图) 6.在扇形 OAmB 中,∠AOB=90°,C 为 AB , ? 上取一点 M,求∠MOA<45°的概率; (1)在 AB (2)在 OC 上任取一点 N,过 N 作 EF ? 于 E、F,求 EF<OA 的概率(精确到 0.01) ⊥OC,交 AB .
A M C

O

B B组

1.点 A 为周长等于 3 的圆周上的一个定点,若在该圆周上随机取一点 B,则劣弧

的长

度小于 1 的概率为________. 2.已知如图所示的矩形,长为 12,宽为 5,在矩形内随机地投掷 1000 粒黄豆,数得落在阴 影部分的黄豆数为 600 粒,则可以估计出阴影部分的面积约为________.

3.在棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 内任取一点 P,则点 P 到点 A 的距离小于等于 a 的概率为________. x-2 4. 已知集合 A{x|-1<x<5}, B={x| >0}, 在集合 A 中任取一个元素 x , 则事件“x∈A∩B” 3-x 的概率是________. 5.某公共汽车站每隔 10 分钟就有一趟车经过,小王随机赶到车站,则小王等车时间不超过 4 分钟的概率是________. 6.如图,M 是半径为 R 的圆周上一个定点,在圆周上等可能地任取一点 N,连结 MN,则 弦 MN 的长度超过 2R 的概率是________.

36

7.已知 Ω={(x,y)|x+y≤6,x≥0,y≥0},E={(x,y)|x-2y≥0,x≤4,y≥0},若向区域 Ω 内随机投一点 P,则点 P 落入区域 E 的概率为________. 8.已知函数 f(x)=-x2+ax-b.若 a、b 都是从区间[0,4]任取的一个数,则 f(1)>0 成立的 概率是________. 1 9.在区间[0,1]上任意取两个实数 a,b,则函数 f(x)= x3+ax-b 在区间[-1,1]上有且仅 2 有一个零点的概率为________.
?0≤x≤6 ?0≤x≤6 ? ? 10.设不等式组? 表示区域为 A,不等式组? 表示的区域为 B. ? ? ?0≤y≤6 ?x-y≥0 (1)在区域 A 中任取一点(x,y),求点(x,y)∈B 的概率; (2)若 x,y 分别表示甲、乙两人各掷一次骰子所得的点数,求点(x,y)在区域 B 中的概 率.

集合 B = {x | ax + b ?2x 1< 0,0 #a 2,1 # 0}, b (1)若 a,b∈N,求 A∩B≠ ?的概率;(2)若 a,b∈R,求 A∩B= ?的概率. 骣 1 12.将长为 1 的棒任意地折成三段,求:三段的长度都不超过 a ? #a 1÷ ÷ ? ÷的概率 ? 桫 3 11. 已知集合 A = {x | - 1 #x

3}.

第十二章导数 第一节
1.(函数 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? 3x ? 9 ,已知 f ( x) 在 x ? ?3 时取得极值,则 a =( (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 2.设 f ( x) ? x ln x ,若 f '( x0 ) ? 2 ,则 x0 ? ( A. e
2

)



B. e
3 2

C.

ln 2 2

D. ln 2

3.函数 f ( x) ? x ? 3x ? 1是减函数的区间为( ) A. (2,??) B. (??,2) C. (??,0) D. (0,2) 4.设函数 f ( x) ? 2 x ? A.有最大值

1 ? 1( x ? 0), 则 f ( x) ( x

) D.是减函数

B.有最小值

C.是增函数

5.已知对任意实数 x 有 f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),且 x>0 时,f’(x)>0,g’(x)>0, 则 x<0 时( ) A f’(x)>0,g’(x)>0 B f’(x)>0,g’(x)<0 C f’(x)<0,g’(x)>0 D f’(x)<0,g’(x)<0 )

2 6.设曲线 y ? ax 在点(1, a )处的切线与直线 2 x ? y ? 6 ? 0 平行,则 a ? (

37

A.1

B.

1 2

C. ?

1 2

D. ?1 )

7. f ( x) ? x3 ? 3x2 ? 2 在区间 ??1,1? 上的最大值是( (A)-2 (B)0 (C)2 (D)4

8.若函数 f(x)=x2+bx+c 的图象的顶点在第四象限,则函数 f /(x)的图象是( y y y y



o

x

o B

x

o C

x

o D

x

A

9.函数 y=xcosx-sinx 在下面哪个区间内是增函数( (A)(



3? ? 3? 5? , ) (B)( ? ,2 ? ) (C)( , ) (D)(2 ? ,3 ? ) 2 2 2 2

10.设 f ?( x) 是函数 f(x)的导函数,y= f ?( x) 的图象如图所示,则 y= f(x)的 图象最有可能的是( )

二、填空题:(每小题 5 分,计 20 分) 3 2 11.曲线 y ? x ? 2x ? 4x ? 2 在点(1,一3)处的切线方程是________________.
12.曲线 y ? x 3 在点(1,1)处的切线与 x 轴、直线 x ? 2 所围成的三角形的 面积为 . 13.已知函数 f ( x) ? x ?12 x ? 8 在区间 [?3,3] 上的最大值与最小值分别为 M , m , 则 M ? m ? _____________;
3

14.如图,函数 f(x)的图象是折线段 ABC,其中 A,B,C 的坐标分别为(0,4) , (2,0) , (6,4) ,则 f(f(0))= 函数 f(x)在 x=1 处的导数 f′(1)= ______

____ ;

三、解答题:(15,16 小题各 12 分,其余各小题各 14 分)
15. 已知函数 f(x)=-x3+3x2+9x+a. (I)求 f(x)的单调递减区间; (II)若 f(x)在区间[-2,2]上的最大值为 20,求它在该区间上的最小值.
3 2 16.设函数 f ? x ? ? x ? bx ? cx( x ? R) ,已知 g ( x) ? f ( x) ? f ?( x) 是奇函数。

38

(Ⅰ)求 b 、 c 的值。

(Ⅱ)求 g ( x) 的单调区间与极值。

17.已知函数 f ( x) ? x 3 ? bx2 ? cx ? d 的图象过点 P(0,2) ,且 在点 M(-1,f(-1) )处的切线方程为 6 x ? y ? 7 ? 0 . (Ⅰ)求函数 y ? f ( x) 的解析式; (Ⅱ)求函数 y ? f ( x) 的单调区间. 18.用长为 18 m 的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽 之比为 2:1,问该长方体的长、宽、高各为多少时,其体积最大?最大体积是多 少? 19.设 a ? R ,函数 f ( x) ? ax3 ? 3x 2 . (Ⅰ)若 x ? 2 是函数 y ? f ( x) 的极值点,求 a 的值; (Ⅱ)若函数 g ( x) ? f ( x) ? f ?( x),x ?[0, 2] ,在 x ? 0 处取得最大值,求 a 的取值范围.

20. 已知函数 f ( x) ? x3 ? mx2 ? m2 x ? 1 (m 为常数,且 m>0)有极大值 9. (Ⅰ)求 m 的值; (Ⅱ)若斜率为-5 的直线是曲线 y ? f ( x) 的切线,求此直线方程. 第二节 1.函数 f ( x) ? ax3 ? x ? 1 有极值的充要条件是( (A) a ? 0 (B) a ? 0 (C) a ? 0 2.已知曲线 y ? (A)3 ) (D) a ? 0 )

1 x2 ? 3lnx的一条切线的斜率为 ,则切点的横坐标为( 2 4
(B) 2


(C) 1


1 (D) 2


3.设 f0(x)=sinx,f1(x)=f0 (x),f2(x)=f1 (x),?,fn+1(x)=fn (x),n∈N, 则 f2005(x)=( ) A、sinx B、-sinx C、cosx D、-cosx 4.设 a ? R ,若函数 y ? e ax ? 3x , x ? R 有大于零的极值点,则( A. a ? ?3 B. a ? ?3
3



C. a ? ?

1 3

D. a ? ?

1 3

5.函数 y ? 1 ? 3x ? x 有( ) (A)极小值-1,极大值 1 (B)极小值-2,极大值 3 (C)极小值-2,极大值 2 (D)极小值-1,极大值 3 6.设 f(x)、g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,当 x<0 时, f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) >0.且 g?? 3? ? 0 ,.则不等式 f(x)g(x)<0 的解集是( (A) (?3,0) ? (3,??) (C) (??,?3) ? (3,??) (B) (?3,0) ? (0,3) (D) (??,?3) ? (0,3)



39

7.曲线 y ? e A.

1 x 2

在点 (4,e2 ) 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为(



9 2 2 2 2 e B. 4e C. 2e D. e 2 1 2 8. 若 f(x)= ? x ? b ln( x ? 2)在(-1,+?)上是减函数,则 b 的取值范围是( ) 2 A.[-1,+∞] B.(-1,+∞) C. ?? ?,?1? D.(-∞,-1)
9.已知函数 y ? xf ?( x) 的图像如右图所示(其中 f ?( x) 是函数 f ( x)的导函数) ,下面四个图 象中 y ? f ( x) 的图象大致是 ( )
y
2 1 -2 -1 -2
o

y
2 1
1 23 x
o

y
4

y
4 2 1

y y=xf'(x)
1 -1
o

-1 -2
B

1 2 x
-2

2
o

x

-2

o

2

x

1

x

-1

A

C ) (C)

D

10.右图中阴影部分的面积是( (A) 2 3 (B) 9 ? 2 3

32 3

(D)

35 3

二、填空题:(每小题 5 分,计 20 分)
11.已知函数 y ? f ( x) 的图象在 M(1,f(1) )处的切线方程是 y ? f(1)—f ’(1)=______________. 12.函数 f ( x) ? 12 x ? x 在区间 [?3, 3] 上的最小值是
3

1 x +2, 2



1) 处的切线与直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 垂直,则 a ? _____ . 13.设曲线 y ? eax 在点 (0,
14.半径为 r 的圆的面积 S(r)= ? r ,周长 C(r)=2 ? r,若将 r 看作(0,+∞)上的变量,则 1, 1 式可以用语言叙述为——————————————— ○ (? ? r 2 )? =2 ? r ○
2

—。 1 的式子: 对于半径为 R 的球,若将 R 看作(0,+∞)上的变量,请你写出类似于○ 2 ○ 2 式可以用语言叙述为: ○ 。

三、解答题:(15,16 小题各 12 分,其余各小题各 14 分)
15.某工厂生产某种产品,已知该产品的月生产量 x (吨)与每吨产品的价格 p (元/吨)之间 的关系式为: p ? 24200 ?

1 2 x ,且生产 x 吨的成本为 R ? 50000 ? 200 x(元) 。问该产每月 5

生产多少吨产品才能使利润达到最大?最大利润是多少?(利润=收入─成本) 16 设函数 f ( x) ? x ? ax ? 9x ?1(a 0). 若曲线 y=f(x)的斜率最小的切线与 直线 12x+y=6 平行,求: (Ⅰ)a 的值; (Ⅱ)函数 f(x)的单调区间.
3 2

17.已知函数 f ( x) ? x ? ax ? x ? 1 , a ? R .
3 2

40

(Ⅰ)讨论函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)设函数 f ( x ) 在区间 ? ? , ? ? 内是减函数,求 a 的取值范围. 18.设曲线 y ? e ? x ( x ≥0)在点 M(t, e )处的切线 l 与 x 轴 y 轴所围成的三角形面积为 S
?t

? 2 ? 3

1? 3?

(t) 。

(Ⅰ)求切线 l 的方程;
2

(Ⅱ)求 S(t)的最大值。

19.设函数 f ( x) ? ln(2 x ? 3) ? x (Ⅰ)讨论 f ( x ) 的单调性;

(Ⅱ)求 f ( x ) 在区间 ? ? , ? 的最大值和最小值. 4 4

? 3 1? ? ?

20.设 a≥0,f (x)=x-1-ln2 x+2a ln x(x>0). (Ⅰ)令 F(x)=xf' (x) ,讨论 F(x)在(0.+∞)内的单调性并求极值; (Ⅱ)求证:当 x>1 时,恒有 x>ln2x-2a ln x+1.

第十四章
第一节

立体几何
简单几何体

A组 1.下列命题中,不正确的是______. ①棱长都相等的长方体是正方体 ②有两个相邻侧面为矩形的棱柱为直棱柱 ③有两个侧面与底面垂直的棱柱为直棱柱 ④底面为平行四边形的四棱柱叫平行六面体 2.纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北,现在沿该正方 体的一些棱将正方体剪开,外面朝上展平,得到如图的平面图形,则标“△”的面的方位是 ________.

3.对于四面体 ABCD,下列命题正确的是________.(写出所有正确命题的编号). ①相对棱 AB 与 CD 所在的直线是异面直线; ②由顶点 A 作四面体的高,其垂足是△BCD 三条高线的交点; ③若分别作△ABC 和△ABD 的边 AB 上的高,则这两条高的垂足重合; ④任何三个面的面积之和都大于 第四个面的面积; ⑤分别作三组相对棱中点的连线,所得的三条线段相交于一点. 4.下列三个命题,其中正确的有________个. ①用一个平面去截棱锥,棱锥底面和截面之间的部分是棱台;②两个底面平行且相似, 其余各面都是梯形的多面体是棱台; ③有两个面互相平行, 其余各面都是等腰梯形的六面体 是棱台. 5.下面命题正确的有________个. ①长方形绕一条直线旋转一周所形成的几何体是圆柱 ②过圆锥侧面上一点有无数条母线 ③三棱锥的每个面都可以作为底面 ④圆锥的轴截面(过轴所作的截面)是等腰三角形

41

6.如图所示,长方体的长、宽、高分别为 4 cm,3 cm,5 cm,一只蚂蚁从 A 到 C1 点沿着 表面爬行的最短距离是多少?

B组
1.对于四面体 ABCD,下列命题正确的是________. ①相对棱 AB 与 CD 所在的直线是异面直线; ②由顶点 A 作四面体的高,其垂足是△BCD 三条高线的交点; ③若分别作△ABC 和△ABD 的边 AB 上的高,则这两条高的垂足重合; ④任何三个面的面积之和都大于第四个面的面积; ⑤分别作三组相对棱中点的连线,所得的三条线段相交于一点. 2.下面是关于三棱锥的四个命题: ①底面是等边三角形,侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥. ②底面是等边三角形,侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥. ③底面是等边三角形,侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥. ④侧棱与底面所成的角都相等,且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱 锥. 其中,真命题的编号是______.(写出所有真命题的编号) 3.关于如图所示几何体的正确说法为________. ①这是一个六面体 ②这是一个四棱台 ③这是一个四棱柱 ④这是一个四棱柱和三棱柱的组合体 ⑤这是一个被截去一个三棱柱的四棱柱 4 . (2009 年高考安徽卷 ) 对于四面体 ABCD ,下列命题正确的是 ________. ①相对棱 AB 与 CD 所在的直线是异面直线; ②由顶点 A 作四面体的高,其垂足是△BCD 三条高线的交点; ③若分别作△ABC 和△ABD 的边 AB 上的高,则这两条高的垂足重合; ④任何三个面的面积之和都大于第四个面的面积; ⑤分别作三组相对棱中点的连线,所得的三条线段相交于一点. 5.给出以下命题:①底面是矩形的四棱柱是长方体;②直角三角形绕着它的一边旋转一周 形成的几何体叫做圆锥;③四棱锥的四个侧面可以都是直角三角形.其中说法正确的是 __________. 6.下列结论正确的是 ①各个面都是三角形的几何体是三棱锥 ②以三角形的一条边所在直线为旋转轴, 其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆 锥 ③棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等,则该棱锥可能是正六棱锥 ④圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线 7.过半径为 2 的球 O 表面上一点 A 作球 O 的截面,若 OA 与该截面所成的角是 60° ,则该 截面的面积是________. 解析:设截面的圆心为 O′,由题意得:∠OAO′=60° ,O′A=1,S=π·12=π.答案: π
42

8.如果四棱锥的四条侧棱都相等,就称它为“等腰四棱锥”,四条侧棱称为它的腰,以下 四个命题中,假命题是________. ①等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等 ②等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补 ③等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆 ④等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上 9.如图(1),一个正四棱柱形的密闭容器水平放置,其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装 饰块,容器内盛有 a 升水时,水面恰好经过正四棱锥的顶点 P.如果将容器倒置,水面也恰 好过点 P(图(2)) 有下列四个命题: A.正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半 B.将容器侧面水平放置时,水面也恰好过点 P C.任意摆放该容器,当水面静止时,水面都恰好 经过点 P D.若往容器内再注入 a 升水,则容器恰好能装满. 其中真命题的代号是: ______(写出所有真命题的代 号). 10.一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱,这个四棱锥的底面为正方形,且 底面边长与各侧棱长相等, 这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等. 设四棱锥、 三棱锥、 三棱柱的高分别为 h1,h2,h3,求 h1∶h2∶h3 的值. 解:选依题意,四棱锥为正四棱锥,三棱锥为正三棱锥,且棱长均相等,设为 a,h2= 2 2 2 3 6 a) = a,h2= a2-( a)2= a, 2 2 3 3 故 h1∶h2∶h3= 3∶2∶2. 11. 一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上. 已知正三棱柱的底面边 长为 2,求该三角形的斜边长. h3,h1= a2-( 12.如果把地球看成一个球体,求地球上北纬 60° 纬线长和赤道线长的比值.

第二节 空间图形的基本关系与公理
A组 1.以下四个命题中,正确命题的个数是________. ①不共面的四点中,其中任意三点不共线; ②若点 A、B、C、D 共面,点 A、B、C、E 共面,则 A、B、C、D、E 共面; ③若直线 a、b 共面,直线 a、c 共面,则直线 b、c 共面; ④依次首尾相接的四条线段必共面. 2.给出下列四个命题: ①如果两个平面有三个公共点,那么这两个平面重合; ②两条直线可以确定一个平面; ③若 M∈α,M∈β,α∩β=l,则 M∈l; ④空间中,相交于同一点的三条直线在同一平面内. 其中真命题的个数为________. 3.平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,既与 AB 共面也与 CC1 共面的棱的条数为________. 4.正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,P、Q、R 分别是 AB、AD、B1C1 的中点.那么,正方体的 过 P、Q、R 的截面图形是________. 5.(原创题)已知直线 m、n 及平面 α,其中 m∥n,那么平面 α 内到两条直线 m、n 距离相等 的点的集合可能是: (1)一条直线; (2)一个平面; (3)一个点; (4)空集. 其中正确的是________. 6.如图,已知平面 α、β,且 α∩β=l.设梯形 ABCD 中,AD∥BC,且 AB?α,CD?β.求 证:AB,CD,l 共点(相交于一点).
43

B组 1.有以下三个命题: ①平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点; ②直线 l 在平面 α 内,可以用符号“l∈α”表示; ③若平面 α 内的一条直线 a 与平面 β 内的一条直线 b 相交, 则 α 与 β 相交, 其中所有正 确命题的序号是______________. 2.下列命题中正确的是________. ①若△ABC 在平面 α 外,它的三条边所在的直线分别交 α 于 P、Q、R,则 P、Q、R 三点共线;②若三条直线 a、b、c 互相平行且分别交直线 l 于 A、B、C 三点,则这四条直 线共面;③空间中不共面的五个点一定能确定 10 个平面. 3.对于空间三条直线,有下列四个条件: ①三条直线两两相交且不共点②三条直线两两平行③三条直线共点 ④有两条直线平行,第三条直线和这两条直线都相交 其中使三条直线共面的充分条件有:________. 4.对两条不相交的空间直线 a 与 b,必存在平面 α,使得________. ①a?α,b?α ②a?α,b∥α ③a⊥α,b⊥α ④a?α,b⊥α 5.正方体 AC1 中,E、F 分别是线段 C1D、BC 的中点,则直线 A1B 与直线 EF 的位置关系 是________. 6.设 α,β,γ 是三个不重合的平面,l 是直线,给出下列四个命题: ①若 α⊥β,l⊥β,则 l∥α; ②若 l⊥α,l∥β,则 α⊥β; ③若 l 上有两点到 α 的距离相等,则 l∥α; ④若 α⊥β,α∥γ,则 γ⊥β. 其中正确命题的序号是________. 7.给定下列四个命题: ①若一个平面内的两条直线与另一个平面平行,那么这两个平面相互平行; ②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直; ③垂直于同一直线的两条直线相互平行; ④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂 直. 其中,为真命题的是________. 8.如图所示,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,线段 B1D1 上有两个动点 E,F, 2 且 EF= ,则下列结论中错误的是________. 2 ①AC⊥BE ②EF∥平面 ABCD ③三棱锥 A-BEF 的体积为定值 ④异面直线 AE,BF 所成的角为定值 9.(2008 年高考陕西卷改编)如图,α ⊥β ,α ∩β =l,A∈α , B∈β ,A、B 到 l 的距离分别是 a 和 b,AB 与α 、β 所成的角 分别是θ 和φ ,AB 在α 、β 内的射影分别是 m 和 n.若 a>b, 则 θ 与 φ 的大 小关系为______,m 与 n 的大小关系为______.
44

10.如图,已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别为 D1C1、B1C1 的中点,AC∩BD= P,A1C1∩EF=Q,若 A1C 交平面 DBFE 于 R 点,试确定 R 点的位置.

11.如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M 为 AB 的中点,N 为 BB1 的中 点,O 为平面 BCC1B1 的中心. (1)过 O 作一直线与 AN 交于 P,与 CM 交于 Q(只写作法,不

必证明); (2)求 PQ 的长. 12.如图,平面 ABEF⊥平面 ABCD,四边形 ABEF 与 ABCD 都是直角梯形,∠BAD= 1 1 ∠FAB=90° ,BC 綊 AD,BE 綊 FA,G、H 分别为 FA、FD 的中点. 2 2 (1)证明:四边形 BCHG 是平行四边形; (2)C、D、F、E 四点是否共面?为什么? (3)设 AB=BE,证明:平面 ADE⊥平面 CDE.

第三节

平行关系

A组 1.已知 m、n 是两条不同直线,α,β 是两个不同平面,下列命题中的真命题是_. ①如果 m?α,n?β,m∥n,那么 α∥β ②如果 m?α,n?β,α∥β,那么 m∥n ③如果 m?α,n?β,α∥β 且 m,n 共面,那么 m∥n
45

④如果 m∥n,m⊥α,n⊥β,那么 α⊥β 2.已知 m、n 是不同的直线,α、β 是不重合的平面,给出下列命题: ①若 m∥α,则 m 平行于平面 α 内的无数条直线; ②若 α∥β,m?α,n?β,则 m∥n; ③若 m⊥α,n⊥β,m∥n,则 α∥β; ④若 α∥β,m?α,则 m∥β. 其中,真命题的序号是________.(写出所有真命题的序号) 3.给出下列关于互不相同的直线 m、l、n 和平面 α、β 的四个命题: ①若 m?α,l∩α=A,点 A?m, 则 l 与 m 不共面; ②若 m、l 是异面直线,l∥α,m∥α,且 n⊥l,n⊥m,则 n⊥α; ③若 l∥α,m∥β,α∥β,则 l∥m; ④若 l?α,m?α,l∩m=A,l∥β,m∥β,则 α∥β. 其中为真命题的是________. 4.设 m,n 是平面 α 内的两条不同直线;l1,l2 是平面 β 内的两条相交直线,则 α∥β 的一 个充分而不必要条件是________. ①m∥β 且 l1∥α ②m∥l1 且 n∥l2 ③m∥β 且 n∥β ④m∥β 且 n∥l2 5. 直线 a∥平面 α, α 内有 n 条直线交于一点, 则这 n 条直线中与直线 a 平行的直线有________ 条. 6.如图,ABCD 为直角梯形,∠C=∠CDA=90° ,AD=2BC=2CD,P 为平面 ABCD 外一 点,且 PB⊥BD. (1)求证:PA⊥BD; (2)若 PC 与 CD 不垂直,求证:PA≠PD; (3)若直线 l 过点 P,且直线 l∥直线 BC,试在直线 l 上找一 点 E,使得直线 PC∥平面 EBD. B组 1.已知 m,n 是两条不同的直线,α,β,γ 是三个不同的平面, 则下列命题正确的是________. ①若 α⊥γ,α⊥β,则 γ∥β ②若 m∥n,m?α,n?β,则 α∥β ③若 m∥n,m∥α,则 n∥α ④若 n⊥α,n⊥β,则 α∥β 2.已知 m,n 是两条不同的直线,α,β 是两个不同的平面,有下列 4 个命题: ①若 m∥n,n?α,则 m∥α; ②若 m⊥n,m⊥α,n?α,则 n∥α; ③若 α⊥β,m⊥α,n⊥β,则 m⊥n; ④若 m,n 是异面直线,m?α,n?β,m∥β,则 n∥α.其中正确的命题有_. 3.已知 m,n 是平面 α 外的两条直线,且 m∥n,则“m∥α”是“n∥α”的________条件. 4.设 l1,l2 是两条直线,α,β 是两个平面,A 为一点,下列命题中正确的命题是________. ①若 l1?α,l2∩α=A,则 l1 与 l2 必为异面直线 ②若 α⊥β,l1?α,则 l1⊥β ③l1?α,l2?β,l1∥β,l2∥α,则 α∥β ④若 l1∥α,l2∥l1,则 l2∥α 或 l2?α 5.(2010 年广东深圳模拟)若 a 不平行于平面 α,且 a?α,则下列结论成立的是________. ①α 内的所有直线与 a 异面 ②α 内与 a 平行的直线不存在 ③α 内存在唯一的直线与 a 平行 ④α 内的直线与 a 都相交 6.设 m、n 是异面直线,则(1)一定存在平面 α,使 m?α 且 n∥α;(2)一定存在平面 α,使 m?α 且 n⊥α;(3)一定存在平面 γ,使 m、n 到 γ 的距离相等;(4)一定存在无数对平面 α 与 β,使 m?α,n?β,且 α∥β.上述 4 个命题中正确命题的序号为________. 7.如图,ABCD-A1B1C1D1 是棱长为 a 的正方体,M、N 分别是下底面的棱 A1B1、B1C1 的
46

a 中点,P 是上底面的棱 AD 上的一点,AP= ,过 P、M、N 的平面交上底面于 PQ,Q 在 CD 3 上,则 PQ=______. 8.下列四个正方体图形中,A、B 为正方体的两个顶点,M、N、P 分别为其所在棱的中点, 能得出 AB∥面 MNP 的图形的序号是________(写出所有符合要求的图形序号).

9.如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F、G、H 分别是棱 CC1、C1D1、D1D、 CD 的中点, N 是 BC 中点. 点 M 在四边形 EFGH 上及其内部运动, 则 M 满足条件________ 时,有 MN∥平面 B1BDD1.

10.如图,长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AA1= 2,AB=1,AD=2,E 为 BC 的中点, 点 M 为棱 AA1 的中点. (1)证明:DE⊥平面 A1AE; (2)证明:BM∥平面 A1ED.

11.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M,N 分别是 AB,BC 的中点. (1)求证:平面 B1MN⊥平面 BB1D1D; (2)若在棱 DD1 上有一点 P,使 BD1∥平面 PMN,求线段 DP 与 PD1 的比

12.如图,四边形 ABCD 为矩形,BC⊥平面 ABE,F 为 CE 上的点,且 BF⊥平面 ACE. (1)求证:AE⊥BE;
47

(2)设点 M 为线段 AB 的中点,点 N 为线段 CE 的中点.求证:MN∥平面 DAE.

第四节

垂直关系

A组 1.设 b、c 表示两条直线,α,β 表示两个平面,则下列命题是真命题的是________. ①若 b?α,c∥α,则 b∥c ②若 b?α,b∥c,则 c∥α ③若 c∥α,α⊥β,则 c⊥β ④若 c∥α,c⊥β,则 α⊥β 2.已知直线 l⊥平面 α,直线 m?平面 β,下面有三个命题: ①α∥β?l⊥m;②α⊥β?l∥m;③l∥m?α⊥β.则真命题的个数为________. 3.已知 α、β 表示两个不同的平面,m 为平面 α 内的一条直线,则“α⊥β ”是“m⊥β ”的 ________条件. 4.如图,在长方形 ABCD 中,AB=2,BC=1,E 为 DC 的中点,F 为线段 EC(端点除外) 上一动点. 现将△AFD 沿 AF 折起, 使平面 ABD⊥平面 ABC. 在平面 ABD 内过点 D 作 DK⊥AB, K 为垂足.设 AK=t,则 t 的取值范围是________.

5.已知 a、b 为两条不同的直线,α、β 为两个不同的平面,且 a⊥α,b⊥β,则下列命题中 假命题的有________. ①若 a∥b,则 α∥β;②若 α⊥β,则 a⊥b;③若 a、b 相交,则 α、β 相交;④若 α、β 相交,则 a,b 相交. 6.如图,在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,底面 ABCD 为等腰梯形,AB∥CD,AB=4,BC =CD=2,AA1=2,E,E1 分别是棱 AD,AA1 的中点. (1)设 F 是棱 AB 的中点,证明:直线 EE1∥平面 FCC1; (2)证明:平面 D1AC⊥平面 BB1C1C.

B组 1.设 a,b 是两条不同的直线,α,β 是两个不同的平面,则能得出 a⊥b 的是____. ①a⊥α,b∥β,α⊥β ②a⊥α,b⊥β,α∥β ③a?α,b⊥β,α∥β ④a?α,b∥β,α⊥β 2.设 α,β 为不重合的平面,m,n 为不重合的直线,则下列命题正确的是________. ①若 m?α,n?β,m∥n,则 α∥β

48

②若 n⊥α,n⊥β,m⊥β,则 m⊥α ③若 m∥α,n∥β,m⊥n,则 α⊥β ④若 α⊥β,α∩β=n,m⊥n,则 m⊥α 3.设 m,n 是两条不同的直线, α,β 是两个不同的平面,则下列命题正确的是. ①m⊥α,n?β,m⊥n?α⊥β ②α∥β,m⊥α,n∥β ?m⊥n ③α⊥β,m⊥α,n∥β ?m⊥n ④α⊥β,α∩β=m,n⊥m?n⊥β 4.已知两条不同的直线 m,n,两个不同的平面 α,β,则下列命题中正确的是_. ①若 m⊥α,n⊥β,α⊥β,则 m⊥n ②若 m⊥α,n∥β,α⊥β,则 m⊥n ③若 m∥α,n∥β,α∥β,则 m∥n ④若 m∥α,n⊥β,α⊥β,则 m∥n 5. 设 a, b, c 表示三条直线, α, β 表示两个平面, 则下列命题的逆命题不成立的是________. ①c⊥α,若 c⊥β,则 α∥β ②b?β,c 是 a 在 β 内的射影,若 b⊥c,则 a⊥b ③b?β,若 b⊥α,则 β⊥α ④b?α,c?α,若 c∥α,则 b∥c 6.已知二面角 α-l-β 的大小为 30° ,m、n 为异面直线,m⊥平面 α,n⊥平面 β,则 m、n 所成的角为________. 7.如图所示,在斜三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠BAC=90° ,BC1⊥AC,则 C1 在底面 ABC 上 的射影 H 必在直线______上.

8.在矩形 ABCD 中,AB=3,AD=4,P 在 AD 上运动,设∠ABP=θ,将△ABP 沿 BP 折起, 使得平面 ABP 垂直于平面 BPDC,AC 长最小时 θ 的值为________. 3 9.在正四棱锥 P-ABCD 中,PA= AB,M 是 BC 的中点,G 是△PAD 的重心,则在平面 2 PAD 中经过 G 点且与直线 PM 垂直的直线有________条. 10.如图,在三棱锥 S-ABC 中,OA=OB,O 为 BC 中点,SO⊥平面 ABC,E 为 SC 中点, F 为 AB 中点.

(1)求证:OE∥平面 SAB; (2)求证:平面 SOF⊥平面 SAB. 11. 在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中, AA1=2AB 分别是棱 AA1,BB1,A1B1 的中点. (1)求证:CE∥平面 C1E1F;
49

= 2BC , E , F , E1

(2)求证:平面 C1E1F⊥平面 CEF.

12.如图,已知空间四边形 ABCD 中,BC=AC,AD=BD,E 是 AB 的中点. 求证:(1)AB⊥平面 CDE; (2)平面 CDE⊥平面 ABC; (3)若 G 为△ADC 的重心,试在线段 AE 上确定一点 F,使得 GF∥平面 CDE.

第五节

简单几何体的面积和体积

A组 1 .已知一个长方体的同一顶点处的三条棱长分别为 1 , 3 , 2 ,则其外接球的表面积为 ________. 2.若等腰直角三角形的直角边长为 2,则以一直角边所在的直线为轴旋转一周所成的几何 体体积是_________. 3.如图,在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,D 为棱 AA1 的中点.若截面△BC1D 是面积为 6 的 直角三角形,则此三棱柱的体积为________.

50

4.矩形 ABCD 中,AB=4,BC=3,沿 AC 将矩形 ABCD 折成一个直二面角 B-AC-D,则 四面体 ABCD 的外接球的体积为________. 5.已知过球面上三点 A、B、C 的截面到球心的距离等于球半径的一半,且 AC=BC=6, AB=4,则球的半径等于________,球的表面积等于________. 6.在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=BC=2,过 A1、C1、B 三点的平面截去长方体的一 40 个角后,得到如图所示的几何体 ABCD-A1C1D1,且这个几何体的体积为 .(1)证明:直线 3 A1B∥平面 CDD1C1;(2)求棱 A1A 的长;(3)求经过 A1,C1,B,D 四点的球的表面积.

B组 1.用与球心距离为 1 的平面去截球,所得的截面面积为 π,则球的体积为________. 2.在三棱锥 A-BCD 中,侧棱 AB、AC、AD 两两垂直,△ABC,△ACD,△ADB 的面积分 2 3 6 别为 , , ,则该三棱锥的体积为________. 2 2 2 32π 3.已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面相切,若这个球的体积是 ,则这个 3 三棱柱的体积是________. 4. 若正方体的棱长为 2, 则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为________. 5.已知 OA 为球 O 的半径,过 OA 的中点 M 且垂直于 OA 的平面截球面得到圆 M.若圆 M 的面积为 3π,则球 O 的表面积等于__________. 6.体积为 8 的一个正方体,其全面积与球 O 的表面积相等,则球 O 的体积等于________. 7.若长方体的三个共顶点的面的面积分别是 2, 3, 6,则长方体的体积是__. 8.在一个锥体中,作平行于底面的截面,若这个截面面积与底面面积之比为 1∶3,则锥体 被截面所分成的两部分的体积之比为________ 9. 正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2 3, 则四面体 A-B1CD1 的外接球的体积为________. 10.如图,在三棱锥 P-ABC 中,△PAB 是等边三角形,∠PAC=∠PBC=90° . (1)证明:AB⊥PC; (2)若 PC=4,且平面 PAC⊥平面 PBC,求三棱锥 P-ABC 的体积.

51

11.如图,已知 AB⊥平面 ACD,DE⊥平面 ACD,△ACD 为等边三角形,AD=DE=2AB =2,F 为 CD 的中点. (1)求证:AF⊥平面 CDE; (2)求证:AF∥平面 BCE; (3)求四棱锥 C-ABED 的体积.

12.如图,A1A 是圆柱的母线,AB 是圆柱底面圆的直径,C 是底面圆周上异于 A、B 的 任意一点,A1A=AB=2. (1)求证:BC⊥平面 A1AC; (2)求三棱锥 A1-ABC 的体积的最大值.

第十五章
第一节

解析几何

直线的倾斜角、斜率及方程

A组 1.已知 θ∈R,则直线 xsinθ- 3y+1=0 的倾斜角的取值范围是________. 2.已知直线 l1 的方程是 ax-y+b=0,l2 的方程是 bx-y-a=0(ab≠0,a≠b),则下列各示 意图形中,正确的是________.

3.直线 mx-y+2m+1=0 经过一定点,则该点的坐标是______________. 4.已知 a>0,若平面内三点 A(1,-a),B(2,a2),C(3,a3)共线,则 a=________. 5.若点 A(ab,a+b)在第一象限内,则直线 bx+ay-ab=0 不经过第________象限. 6.求过点 P(2,3),且满足下列条件的直线方程: (1)倾斜角等于直线 x-3y+4=0 的倾斜角的二倍的直线方程; (2)在两坐标轴上截距相等的直线方程. B组 1.直线 l 的倾角 α 满足 4sinα=3cosα,而且它在 x 轴上的截距为 3,则直线 l 的方程是 ________________. 2.已知直线 y=kx-2k-1 与直线 x+2y-4=0 的交点位于第一象限,则 k 的取值范围 是________. 3.直线 l 与两直线 y=1,x-y-7=0 分别交于 P、Q 两点,线段 PQ 的中点恰为(1,-1), 则直线 l 的斜率为________. 4.若直线(k2-1)x-y-1+2k=0 不过第二象限,则实数 k 的取值范围是________.
52

1 1 5.若 ab<0,则过点 P(0,- )与 Q( ,0)的直线 PQ 的倾斜角的取值范围是__________. b a π 6. 函数 y=asinx-bcosx 的一个对称轴方程为 x= , 则直线 ax-by+c=0 的倾斜角为______. 4 π π 解析:令 f(x)=asinx-bcosx,由于 f(x)的一条对称轴为 x= ,得 f(0)=f( ),即-b=a, 4 2 a =-1.∴直线 ax-by+c=0 的斜率为-1,倾斜角为 135° . b 7.已知两直线 a1x+b1y+1=0 与 a2x+b2y+1=0 的交点是 P(2,3),则过两点 Q1(a1,b1), Q2(a2,b2)的直线方程是______________________. 8.直线 ax+y+1=0 与连结 A(2,3),B(-3,2)的线段相交,则 a 的取值范围是__. 9.已知在△ABC 中,∠ACB=90° ,BC=4,AC=3,P 是 AB 上的一动点,则点 P 到 AC, BC 的距离乘积的最大值是________. 10.已知直线方程为(2+m)x+(1-2m)y+4-3m=0. (1)证明:直线恒过定点 M; (2)若直线分别与 x 轴、y 轴的负半轴交于 A、B 两点,求△AOB 面积的最小值及此时直 线的方程. 11.已知直线 l:ay=(3a-1)x-1. (1)求证:无论 a 为何值,直线 l 总过第三象限; (2)a 取何值时,直线 l 不过第二象限? 12.若直线 l 过点 P(3,0)且与两条直线 l1:2x-y-2=0,l2:x+y+3=0 分别相交于两点 A、B,且点 P 平分线段 AB,求直线 l 的方程.

第二节

点与直线、直线与直线的位置关系

A组 1.直线 l 过点(-1,2)且与直线 2x-3y+4=0 垂直,则 l 的方程是________. 2.已知两条直线 y=ax-2 和 y=(a+2)x+1 互相垂直,则 a 等于________. 3.直线 x+ay+3=0 与直线 ax+4y+6=0 平行的充要条件是 a=________. 4.若点 P(a,3)到直线 4x-3y+1=0 的距离为 4,且点 P 在不等式 2x+y-3<0 表示的平面 区域内,则实数 a 的值为________. 5.在平面直角坐标系中,定义平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量,若直线 l 过点 A(-2,3),且法向量为 n=(1,-2),则直线 l 的方程为_________. 6.直线 y = 2 x 是△ABC 中∠C 的角平分线所在的直线,若 A、B 的坐标分别为 A(-4,2), B(3,1),求点 C 的坐标,并判断△ABC 的形状. B组 1.已知点 P(3,2)与点 Q(1,4)关于直线 l 对称,则直线 l 的方程为______________. 2.若三条直线 l1:x+y=7,l2:3x-y=5,l3:2x+y+c=0 不能围成三角形,则 c 的值为 ________. 3. 已知两条直线 l1: ax+by+c=0, 直线 l2: mx+ny+p=0, 则 an=bm 是直线 l1∥l2 的________ 条件. 4.过点 P(1,2)作直线 l,使直线 l 与点 M(2,3)和点 N(4,-5)距离相等,则直线 l 的方程 为________________. 1 5.已知直线 l 经过点( ,2),其横截距与纵截距分别为 a、b(a、b 均为正数),则使 a+b≥c 2 恒成立的 c 的取值范围为________. 1 6.若函数 y=ax+8 与 y=- x+b 的图象关于直线 y=x 对称,则 a+b=________. 2 1 解析: 直线 y=ax+8 关于 y=x 对称的直线方程为 x=ay+8, 所以 x=ay+8 与 y=- x 2

53

? ?a=-2 +b 为同一直线,故得? ,所以 a+b=2.答案:2 ?b=4 ? 7.如图,已知 A(4,0)、B(0,4),从点 P(2,0)射出的光线经直线 AB 反射后再射到直线 OB 上,最后经直线 OB 反射后又回到 P 点,则光线所经过的路程是______. 8.设 a、b、c、分别是△ABC 中∠A、∠B、∠C 所对边的边长, 则直线 xsinA+ay+c=0 与 bx-ysinB+sinC=0 的位置关系是 ______.

9.已知 0<k<4,直线 l1:kx-2y-2k+8=0 和直线 l2:2x+k2y-4k2-4=0 与两坐标轴围成 一个四边形,则使得这个四边形面积最小的 k 值为______. 10.在△ABC 中,BC 边上的高所在直线方程为 x-2y+1=0,∠A 的平分线所在直线方程 为 y=0,若点 B 坐标为(1,2),求点 A 和 C 的坐标. 11.在直线 l:3x-y-1=0 上求点 P 和 Q,使得: (1)P 到 A(4,1)和 B(0,4)的距离之差最大; (2)Q 到 A(4,1)和 C(3,4)的距离之和最小.

12.已知 n 条直线 l1:x-y+C1=0,C1= 2,l2:x-y+C2=0,l3:x-y+C3=0,?,ln: x-y+Cn=0(其中 C1<C2<C3<?Cn), 在这 n 条平行直线中, 每相邻两条直线之间的距离顺次 为 2、3、4、?、n. (1)求 Cn; (2)求 x-y+Cn=0 与 x 轴、y 轴围成图形的面积; (3)求 x-y+Cn-1=0 与 x-y+Cn=0 及 x 轴、y 轴围成的图形的面积.

第三节
2 2

圆的标准方程和一般方程

A组 1 .若圆 x + y - 2kx + 2y + 2 = 0(k>0) 与两坐标轴无公共点,那么实数 k 的取值范围为 ________. 2.若圆 C 的半径为 1,圆心在第一象限,且与直线 4x-3y=0 和 x 轴都相切,则该圆的标 准方程是________. ?x-2y≥0 ? 3.已知 D 是由不等式组? ,所确定的平面区域,则圆 x2+y2=4 在区域 D 内的弧 ?2x+y≥0 ? 长为________.

54

4.已知圆 C1:(x+1)2+(y-1)2=1,圆 C2 与圆 C1 关于直线 x-y-1=0 对称,则圆 C2 的方 程为________________. 5.圆 x2+y2-4x+2y+c=0 与 y 轴交于 A、B 两点,其圆心为 P,若∠APB=90° ,则实数 c 的值是________. 6.已知点 A(-3,0),B(3,0),动点 P 满足|PA|=2|PB|. (1)若点 P 的轨迹为曲线 C,求此曲线的方程; (2)若点 Q 在直线 l:x+y+3=0 上,直线 l2 经过点 Q 且与曲线 C 只有一个公共点 M, 求|QM|的最小值,并求此时直线 l2 的方程. B组 1.圆心在直线 2x-3y-1=0 上的圆与 x 轴交于 A(1,0),B(3,0)两点,则圆的方程为 ________________. 2.)若直线 ax+by=1 过点 A(b,a),则以坐标原点 O 为圆心,OA 长为半径的圆的面积的 最小值是___. 3.点 P(4,-2)与圆 x2+y2=4 上任一点连线的中点轨迹方程是________________. 4.已知点 P(1,4)在圆 C:x2+y2+2ax-4y+b=0 上,点 P 关于直线 x+y-3=0 的对称点 也在圆 C 上,则 a=________,b=________. 5.已知圆的方程为 x2+y2-6x-8y=0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为 AC 和 BD,则四边形 ABCD 的面积为___________. 6.过圆 x2+y2=4 外一点 P(4,2)作圆的两条切线,切点为 A、B,则△ABP 的外接圆的方 程是____________________. 7.已知动点 P(x,y)满足 x2+y2-|x|-|y|=0,O 为坐标原点,则 PO 的取值范围是______. 8 .曲线 f(x) = xlnx 在点 P(1 , 0) 处的切线 l 与坐标轴围成的三角形的外接圆方程是 ____________. y 9.设实数 x、y 满足 x2+(y-1)2=1,若对满足条件的 x、y,不等式 +c≥0 恒成立,则 x-3 c 的取值范围是________. 10.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,A(a,0)(a>0),B(0,a),C(-4,0),D(0,4),设△AOB 的外接圆圆心为 E. (1)若⊙E 与直线 CD 相切,求实数 a 的值; (2)设点 P 在圆 E 上,使△PCD 的面积等于 12 的点 P 有且只有三个,试问这样的⊙E 是否存在,若存在?求出⊙E 的标准方程;若不存在,说明理由. 11.在 Rt△ABO 中,∠BOA=90° ,OA=8,OB=6,点 P 为它的内切圆 C 上任一点,求点 P 到顶点 A、B、O 距离的平方和的最大值和最小值. 12.在平面直角坐标系 xOy 中,设二次函数 f(x)=x2+2x+b(x∈R)的图象与两个坐标轴有三 个交点,经过这三个交点的圆记为 C. (1)求实数 b 的取值范围; (2)求圆 C 的方程; (3)问圆 C 是否经过某定点(其坐标与 b 无关)?请证明你的结论.

第四节
2 2 2 2

直线与圆、圆与圆的位置关系

A组 1.若圆 x +y =4 与圆 x +y +2ay-6=0(a>0)的公共弦的长为 2 3,则 a=________. 2.已知圆 O:x2+y2=5 和点 A(1,2),则过 A 且与圆 O 相切的直线与两坐标轴围成的三角 形的面积等于________. 3.过原点 O 作圆 x2+y2-6x-8y+20=0 的两条切线,设切点分别为 P、Q,则线段 PQ 的 长为________. 4.若直线 3x+4y+m=0 与圆 x2+y2-2x+4y+4=0 没有公共点,则实数 m 的取值范围是 ________. 5.已知直线 3x-y+2m=0 与圆 x2+y2=n2 相切,其中 m,n∈N*,且 n-m<5,则满足条 件的有序实数对(m,n)共有________个.
55

2 6.已知:以点 C(t, )(t∈R,t≠0)为圆心的圆与 x 轴交于点 O、A,与 y 轴交于点 O、B, t 其中 O 为原点. (1)求证:△OAB 的面积为定值; (2)设直线 y=-2x+4 与圆 C 交于点 M,N,若 OM=ON,求圆 C 的方程. B组 1.直线 ax+by+b-a=0 与圆 x2+y2-x-3=0 的位置关系是________. 2.(2010 年秦州质检)已知直线 y= 3-x 与圆 x2+y2=2 相交于 A、B 两点,P 是优弧 AB 上 任意一点,则∠APB=____________. 3.已知向量 a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),a 与 b 的夹角为 60° ,直线 xcosα+ysinα=0 1 2 2 与圆(x+cosβ) +(y+sinβ) = 的位置关系是________. 2 4.过点 A(11,2)作圆 x2+y2+2x-4y-164=0 的弦,其中弦长为整数的共有__ 条. 2 5.若集合 A={(x,y)|y=1+ 4-x },B={(x,y)|y=k(x-2)+4}.当集合 A∩B 有 4 个子 集时,实数 k 的取值范围是________________. 6. 已知 AC、 BD 为圆 O: x2+y2=4 的两条相互垂直的弦, 垂足为 M(1, 2), 则四边形 ABCD 的面积的最大值为________. 7.已知圆 C:x2+y2+bx+ay-3=0(a、b 为正实数)上任意一点关于直线 l:x+y+2=0 的 1 3 对称点都在圆 C 上,则 + 的最小值为________. a b 16 8.设圆 O:x2+y2= ,直线 l:x+3y-8=0,点 A∈l,使得 9 圆 O 上存在点 B,且∠OAB=30° (O 为坐标原点),则点 A 的横 坐标的取值范围是________. 9.设直线系 M:xcosθ+(y-2)sinθ=1(0≤θ≤2π),对于下列四个命题: A.存在一个圆与所有直线相交 B.存在一个圆与所有直线不相交 C.存在一个圆与所有直线相切 D.M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等 其中真命题的代号是________(写出所有真命题的代号). 10.已知圆 C1:x2+y2+2x+2y-8=0 与圆 C2:x2+y2-2x+10y-24=0 相交于 A、B 两点, (1)求公共弦 AB 所在的直线方程; (2)求圆心在直线 y=-x 上,且经过 A、B 两点的圆的方程. 11.已知圆 C 的方程为 x2+y2=1,直线 l1 过定点 A(3,0),且与圆 C 相切. (1)求直线 l1 的方程; (2)设圆 C 与 x 轴交于 P、Q 两点,M 是圆 C 上异于 P、Q 的任意一点,过点 A 且与 x 轴垂直的直线为 l2, 直线 PM 交直线 l2 于点 P′, 直线 QM 交直线 l2 于点 Q′. 求证: 以 P′Q′ 为直径的圆 C′总过定点,并求出定点坐标. 12.如图在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 C1:(x+3)2+(y-1)2=4 和圆 C2:(x-4)2+(y -5)2=4. (1)若直线 l 过点 A(4,0),且被圆 C1 截得的弦长为 2 3,求直线 l 的方程; (2)设 P 为平面上的点,满足:存在过点 P 的无穷多对互相垂直的直线 l1 和 l2,它们分 别与圆 C1 和 C2 相交,且直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被圆 C2 截得的弦长相等,试求 所有满足条件的点 P 的坐标.

第五节

空间直角坐标系

A组 1.在空间直角坐标系中,已知点 A(1,0,2),B(1,-3,1),点 M 在 y 轴上,且 M 到 A 与到 B 的距离相等,则 M 的坐标是________.
56

2.在空间直角坐标系中,以点 A(4,1,9),B(10,-1,6),C(x,4,3)为顶点的△ABC 是 以 BC 为底边的等腰三角形,则实数 x 的值为________. 3. 已知 x、 y、 z 满足方程 C: (x-3)2+(y-4)2+(z+5)2=2, 则 x2+y2+z2 的最小值是________. 4.与 A(3,4,5)、B(-2,3,0)两点距离相等的点 M(x,y,z)满足的条件是________. 5.已知 A(3,5,-7)和点 B(-2,4,3),点 A 在 x 轴上的射影为 A′,点 B 在 z 轴上的射 影为 B′,则线段 A′B′的长为________. 6.如图所示,正方体 ABCD-A′B′C′D′的棱长为 a,P、Q 分别是 D′B,B′C 的中 点,求 PQ 的长.

B组 1.已知△ABC 的三个顶点坐标分别为 A(2,3,1)、B(4,1,-2)、C(6,3,7),则△ABC 的重心坐标为______. 2.设点 B 是点 A(2,-3,5)关于 xOy 面的对称点,则|AB|等于______. 3. 正方体不在同一表面上的两顶点 A(-1, 2, -1), B(3, -2, 3), 则正方体的体积为______. → 4.已知 B 是点 A(3,7,-4)在 xOy 平面上的射影,则OB2 等于______. 5.在 z 轴上与点 A(-4,1,7)和点 B(3,5,-2)等距离的点 C 的坐标为 ______. 6.在空间直线坐标系中,方程 x2-4(y-1)2=0 表示的图形是__________. 7.在空间直角坐标系中,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的顶点 A(3,-1,2),其中心 M 的坐标 为(0,1,2),则该正方体的棱长为__________. 8.已知 ABCD 为平行四边形,且 A(4,1,3)、B(2,-5,1),C(3,7,-5),则顶点 D 的 坐标为________. 9.如图所示,在长方体 OABC-O1A1B1C1 中,OA=2,AB=3,AA1=2,M 是 OB1 与 BO1 的交点,则 M 点的坐标是______.

10.如图所示,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,|C1C|=|CB|=|CA|=2,AC⊥CB,D、E 分别是 棱 AB、B1C1 的中点,F 是 AC 的中点,求 DE、EF 的长度.

11.已知 A(1,2,-1),B(2,0,2). (1)在 x 轴上求一点 P,使|PA|=|PB|;
57

(2)在 xOz 平面内的点 M 到 A 点与到 B 点等距离,求 M 点的轨迹. 12.在正四棱锥 S-ABCD 中,底面边长为 a,侧棱长也为 a,以底面中心 O 为坐标原点, 建立如图所示的空间直角坐标系,P 点在侧棱 SC 上,Q 点在底面 ABCD 的对角线 BD 上, 试求 P、Q 两点间的最小距离.

第十六章 第八章

圆锥曲线 圆锥曲线方程

一、选择题 1.在同一坐标系中,方程 a2x2+b2y2=1 与 ax+by2=0(a>b>0)的曲线大致是(



2.椭圆 ?

? x ? 4 ? 5 cos ? ( ? 为参数)的焦点坐标为( ? y ? 3 sin ?



A.(0,0) , (0,-8) B.(0,0) , (-8,0) C.(0,0) , (0,8) D.(0,0) , (8,0) 3.已知椭圆的焦点是 F1、 F2, P 是椭圆上的一个动点. 如果延长 F1P 到 Q, 使得|PQ|=|PF2|, 那么动点 Q 的轨迹是( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线的一支 D.抛物线 2 2 4.椭圆 5x +ky =5 的一个焦点是(0,2) ,那么 k 等于( ) A.-1 5.设θ ∈(0, B.1 C.

5

D. -

5


? 4

) ,则二次曲线 x2cotθ -y2tanθ =1 的离心率的取值范围为(

A.(0,

1 ) 2

B.(

1 2 ) , 2 2

58

C.(

2 , 2) 2

D.(

2 ,+∞)

6.已知椭圆 方程是( A.x=±

x2 y2 x2 y2 和双曲线 =1 有公共的焦点, 那么双曲线的渐近线 ? ? 3m 2 5n 2 2m 2 3n 2 15 x 2 3 x 4




15 y 2 3 y 4

B.y=±

C.x=±

D.y=±

7.曲线 ?

? x ? cos? (θ 为参数)上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是( ? y ? sin ?
B.

A.

1 2

2 2

C.1

D.

2

8.点 P(1,0)到曲线 ?

?x ? t 2 ? y ? 2t
B.1

(其中参数 t∈R)上的点的最短距离为(



A.0

C.

2
1 4

D.2 )

9.若椭圆经过原点,且焦点为 F1(1,0) ,F2(3,0) ,则其离心率为( A.

3 4

B.

2 3

C.

1 2

D.

10.对于抛物线 y2=4x 上任意一点 Q,点 P(a,0)都满足|PQ|≥|a|,则 a 的取值范围 是( ) A.(-∞,0) B.(-∞,2 ]

C.[0,2] D.(0,2) 11.椭圆短轴长是 2,长轴是短轴的 2 倍,则椭圆中心到其准线距离是( A.



3 4

B.

4 5 5

C.

8 3 5

D.

4 3 3

12.过抛物线 y=ax2(a>0)的焦点 F 用一直线交抛物线于 P、Q 两点,若线段 PF 与 FQ 的长分别是 p、q,则

1 1 ? 等于( p q
B.



A.2a

1 2a
59

C.4a

D.

4 a

13.双曲线

x2 y2 =1 的两条渐近线互相垂直,那么该双曲线的离心率是( ? b2 a2
B.



A.2

3


C.

2

D.

3 2

14.)抛物线 y=-x2 的焦点坐标为( A.(0,

1 ) 4

B.(0,-

1 ) 4 1 ,0) 4

C.(

1 ,0 ) 4
1 ? 3 y 2 表示的曲线是(


D.(-

15.x=

A.双曲线 B.椭圆 C.双曲线的一部分 D.椭圆的一部分 16.下列以 t 为参数的参数方程所表示的曲线中,与 xy=1 所表示的曲线完全一致的是 ( )
1 ? ?x ? t 2 A. ? 1 ?y ? t ?2 ?

? x ?| t | ? B. ? 1 ?y ? | t | ?
D. ?

C. ?

? x ? cos t ? y ? sec t

? x ? tan t ? y ? cot t

x2 y2 17.椭圆 =1 的焦点为 F1 和 F2,点 P 在椭圆上.如果线段 PF1 的中点在 y 轴上, ? 12 3
那么|PF1|是|PF2|的( A.7 倍 18.椭圆 ) B.5 倍 C.4 倍 D.3 倍

x2 y2 =1 的一个焦点为 F1, 点 P 在椭圆上.如果线段 PF1 的中点 M 在 y 轴上, ? 12 3


那么点 M 的纵坐标是( A.±

3 4

B.±

3 2

C.±

2 2

D.±

3 4


( x ? 3) 2 ( y ? 2) 2 ? 19.椭圆 C 与椭圆 ,关于直线 x+y=0 对称, 椭圆 C 的方程是 ( 9 4
A.

( x ? 2) 2 ( y ? 3) 2 ? ?1 4 9

B.

( x ? 2) 2 ( y ? 3) 2 ? ?1 4 9
60

C.

( x ? 2) 2 ( y ? 3) 2 ? ?1 9 4

D.

( x ? 2) 2 ( y ? 3) 2 ? ?1 4 9


1 ? ?x ? 1 ? t (t 是参数,t≠0) 20.曲线的参数方程是 ? ,它的普通方程是( ?y ?1? t 2 ?
A.(x-1)2(y-1)=1 B.y=

x ( x ? 2) (1 ? x) 2

C.y=

1 ?1 (1 ? x) 2

D.y=

x +1 1? x2


21.设θ ∈(

3 π ,π ) ,则关于 x、y 的方程 x2cscθ -y2secθ =1 所表示的曲线是( 4

A.实轴在 y 轴上的双曲线 B.实轴在 x 轴上的双曲线 C.长轴在 y 轴上的椭圆 D.长轴在 x 轴上的椭圆 22. (1997 上海) 设 k>1, 则关于 x、 y 的方程 (1-k) x2+y2=k2-1 所表示的曲线是 ( A.长轴在 y 轴上的椭圆 B.长轴在 x 轴上的椭圆 C.实轴在 y 轴上的双曲线 D.实轴在 x 轴上的双曲线 23.中心在原点,准线方程为 x=±4,离心率为



1 的椭圆方程是( 2



A.

x2 y2 =1 ? 4 3

B.

x2 y2 =1 ? 3 4
2

x2 2 C. +y =1 4

y2 D.x + =1 4


x2 y2 24.将椭圆 =1 绕其左焦点按逆时针方向旋转 90°,所得椭圆方程是( ? 25 9
A.

( x ? 4) 2 ( y ? 4) 2 ? ?1 25 9

B.

( x ? 4) 2 ( y ? 4) 2 ? ?1 25 9

( x ? 4) 2 ( y ? 4) 2 C. ? ?1 9 25

( x ? 4) 2 ( y ? 4) 2 D. ? ?1 9 25

25.若函数 f(x) 、g(x)的定义域和值域都为 R,则 f(x)>g(x) (x∈R)成立的充要 条件是( ) A.有一个 x∈R,使 f(x)>g(x) B.有无穷多个 x∈R,使得 f(x)>g(x) C.对 R 中任意的 x,都有 f(x)>g(x)+1
61

D.R 中不存在 x,使得 f(x)≤g(x) 26.椭圆 ?

? x ? 3 ? 3 cos ? 的两个焦点坐标是( ? y ? ?1 ? 5 sin ?



A.(-3,5) , (-3,-3) B.(3,3) , (3,-5) C.(1,1) , (-7,1) D.(7,-1) , (-1,-1) 2 2 27.椭圆 25x -150x+9y +18y+9=0 的两个焦点坐标是( ) A.(-3,5) , (-3,3) B.(3,3) , (3,-5) C.(1,1) , (-7,1) D.(7,-1) , (-1,-1)

x2 y2 28.设双曲线 2 ? 2 =1(0<a<b)的半焦距为 c,直线 l 过(a,0) , (0,b)两点. a b
已知原点到直线 l 的距离为

3 c,则双曲线的离心率为( 4
B.



A.2

3

C.

2

D.

2 3 3


29.若θ ∈[0,

? 2

] ,则椭圆 x2+2y2-2

2 xcosθ +4ysinθ =0 的中心的轨迹是(

30.双曲线 3x2-y2=3 的渐近线方程是( A.y=±3x B.y=±



1 x 3

C.y=±

3x

D.y=±

3 x 3


31.如果方程 x2+ky2=2 表示焦点在 y 轴上的椭圆,那么实数 k 的取值范围是( A.(0,+∞) B.(0,2) C.(1,+∞) D.(0,1)

x2 2 ? y =1 的两个焦点, 32.设 F1 和 F2 为双曲线 点 P 在双曲线上, 且满足∠F1PF2=90°, 4
则△F1PF2 的面积是( A.1 ) B.

5 2

C.2

D.

5

62

33.设 a、b 是平面α 外任意两条线段,则“a、b 的长相等”是 a、b 在平面α 内的射影长相等的( ) A.非充分也非必要条件 B.充要条件 C.必要非充分条件 D.充分非必要条件 34.在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的方程是 y=cosx,现在平移坐标系,把原点移到 O′ (

? 2

,-

? 2

) ,则在坐标系 x′O′y′中,曲线 C 的方程是(



A.y′=sinx′+

? 2
? 2

B.y′=-sinx′+

? 2 ? 2

C.y′=sinx′- 二、填空题

D.y′=-sinx′-

35.如图 8—1,F1、F2 分别为椭圆

x2 y2 =1 的左、右焦点,点 ? a2 b2

P 在椭圆上,△POF2 是面积为

3 的正三角形,则 b2 的值是_____.
图 8—1

36.直线 y=x-1 被抛物线 y2=4x 截得线段的中点坐标是_____. 37.若椭圆的两个焦点坐标为 F1(-1,0) ,F2(5,0) ,长轴的长 为 10,则椭圆的方程为 . 38. 若 双 曲 线 是

x2 y2 3 =1 的渐近线方程为 y=± x,则双曲线的焦点坐标 ? 4 m 2

. 39.对于顶点在原点的抛物线,给出下列条件: ①焦点在 y 轴上; ②焦点在 x 轴上; ③抛物线上横坐标为 1 的点到焦点的距离等于 6; ④抛物线的通径的长为 5; ⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线,垂足坐标为(2,1) . 2 能使这抛物线方程为 y =10x 的条件是 . (要求填写合适条件的序号) 2 40.抛物线(y-1) =4(x-1)的焦点坐标是 . 2 2 41.椭圆 5x -ky =5 的一个焦点是(0,2) ,那么 k= .

?x ? t 2 ? 1 42.曲线 ? (t 为参数)的焦点坐标是_____. ? y ? 2t ? 1
43.椭圆 x2+4y2=4 长轴上一个顶点为 A,以 A 为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直 角三角形,该三角形的面积是 .

x2 2 ? y =1 上一动点,O 为坐标原点,M 为线段 OP 的中点,则点 M 44.设 P 为双曲线 4
63

的轨迹方程是 . 2 45.抛物线 x -4y-3=0 的焦点坐标为 46.双曲线



x2 y2 =1 的两个焦点为 F1、F2,点 P 在双曲线上,若 PF1⊥PF2,则点 P ? 9 16

到 x 轴的距离为 . 47.若双曲线的一个顶点坐标为(3,0) ,焦距为 10,则它的标准方程为_____. 48.直线 y=2x-

? x ? sin ? 1 与曲线 ? ( ? 为参数)的交点坐标是_____. y ? cos 2 ? 2 ?

49.椭圆

x2 y2 =1 的焦点为 F1、F2,点 P 为其上的动点,当∠F1PF2 为钝角时,点 P ? 9 4 ( x ? 1) 2 y 2 ? =1 的焦点坐标是_____. 16 9
? x ? 4 sec ? ? 1 的焦点坐标是_____. ? y ? 3 tan?

横坐标的取值范围是_____. 50.圆锥曲线

51.圆锥曲线 ?

x2 y2 52.设椭圆 2 ? 2 =1(a>b>0)的右焦点为 F1,右准线为 l1,若过 F1 且垂直于 x 轴 a b
的弦的长等于点 F1 到 l1 的距离,则椭圆的离心率是 . 2 53.若平移坐标系, 将曲线方程 y +4x-4y-4=0 化为标准方程, 则坐标原点应移到点 O′ ( ) .

x2 y2 54.设圆过双曲线 =1 的一个顶点和一个焦点,圆心在此双曲线上,则圆心到双 ? 9 16
曲线中心的距离是 . 55.已知直线 x-y=2 与抛物线 y2=4x 交于 A、B 两点,那么线段 AB 的中点坐标是_____. 56.二次曲线 ?

? x ? 5 cos ? (θ 为参数)的左焦点坐标是_____. ? y ? 3 sin ?

57.平移坐标轴将抛物线 4x2-8x+y+5=0 化为标准方程 x′2=ay′(a≠0) ,则新坐标 系的原点在原坐标系中的坐标是 . 2 58.已知点(-2,3)与抛物线 y =2px(p>0)的焦点的距离是 5,则 p=_____. 59.已知圆 x2+y2-6x-7=0 与抛物线 y2=2px(p>0)的准线相切,则 p=_____. 60 直线 L 过抛物线 y2=a(x+1) (a>0)的焦点,并且与 x 轴垂直,若 L 被抛物线截得的 线段长为 4,则 a= . 61.若直线 L 过抛物线 y2=4(x+1)的焦点,并且与 x 轴垂直,则 L 被抛物线截得的线段 长为 .

64

62.把参数方程 ?

? x ? sin ? (α 是参数)化为普通方程,结果是 ? y ? cos? ? 1
.



63.双曲线

x2 8y2 =8 的渐近线方程是 ? 2 9

64.到点 A(-1,0)和直线 x=3 距离相等的点的轨迹方程是 . 2 65.抛物线 y =8-4x 的准线方程是 , 圆心在该抛物线的顶点且与其准线相切的圆 的方程是 .

y2 66.双曲线 -x2=1 的两个焦点的坐标是 2
三、解答题 67.设 F1、F2 分别为椭圆 C:

.

x2 8y2 =1(a>b>0)的左、右两个焦点. ? a2 b2
3 )到 F1、F2 两点的距离之和等于 4,写出椭圆 C 的方程 2

(1)若椭圆 C 上的点 A(1,

和焦点坐标; (2)设点 K 是(1)中所得椭圆上的动点,求线段 F1K 的中点的轨迹方程; (3)已知椭圆具有性质:若 M、N 是椭圆 C 上关于原点对称的两个点,点 P 是椭圆上 任意一点,当直线 PM、PN 的斜率都存在,并记为 kPM、kPN 时,那么 kPM 与 kPN 之积是与点 P 位置无关的定值.试对双曲线 并加以证明.

x2 y2 ? ? 1 写出具有类似特性的性质, a2 b2

x2 y2 68.如图 8—2,已知 F1、F2 为双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0) a b
图 8—2 的焦点, 过 F2 作垂直于 x 轴的直线交双曲线于点 P, 且∠PF1F2=30°. 求 双曲线的渐近线方程. 69.已知某椭圆的焦点是 F1(-4,0) 、F2(4,0) ,过点 F2 并垂直于 x 轴的直线与椭圆 的一个交点为 B,且|F1B|+|F2B|=10.椭圆上不同的两点 A(x1,y1) 、C(x2,y2)满足条 件:|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列. (Ⅰ)求该椭圆的方程; (Ⅱ)求弦 AC 中点的横坐标; (Ⅲ)设弦 AC 的垂直平分线的方程为 y=kx+m,求 m 的取值范围. 70.设点 P 到点 M(-1,0) 、N(1,0)距离之差为 2m,到 x 轴、y 轴距离之比为 2.求 m 的取值范围. 71.已知 O(0,0) ,B(1,0) ,C(b,c)是△OBC 的三个顶点.如 图 8—3. (Ⅰ)写出△OBC 的重心 G,外心 F,垂心 H 的坐标,并证明 G、 F、H 三点共线;
65

图 8—3

(Ⅱ)当直线 FH 与 OB 平行时,求顶点 C 的轨迹.

y2 ? 72.设 A、B 是双曲线 x 2 =1 上的两点,点 N(1,2)是线段 AB 的中点.
2

(Ⅰ)求直线 AB 的方程; (Ⅱ)如果线段 AB 的垂直平分线与双曲线相交于 C、D 两点,那么 A、B、C、D 四点是 否共圆,为什么? 73.已知点 A( ? ,动点 C 到 A、B 两点的距离之差的绝对值为 3 ,0)和 B( 3 ,0)

2,点 C 的轨迹与直线 y=x-2 交于 D、E 两点,求线段 DE 的长. 74.)已知抛物线 y2=2px(p>0).过动点 M(a,0)且斜率为 1 的直线 l 与该抛物线交 于不同的两点 A、B,|AB|≤2p. (Ⅰ)求 a 的取值范围; (Ⅱ)若线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 N,求△NAB 面积的最大值. 75.)设 F1、F2 为椭圆

x2 y2 =1 的两个焦点,P 为椭圆上的一点.已知 P、F1、F2 是 ? 9 4

一个直角三角形的三个顶点,且|PF1|>|PF2|,求

| PF1 | 的值. | PF2 |

76.设抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F,经过点 F 的直线交抛物线于 A、B 两点,点 C 在抛物线的准线上,且 BC∥x 轴.证明直线 AC 经过原点 O. 77.已知椭圆 C 的方程为 x2+

y2 b2 =1,点 P(a,b)的坐标满足 a2+ ≤1,过点 P 的直 2 2

线 l 与椭圆交于 A、B 两点,点 Q 为线段 AB 的中点,求: (1)点 Q 的轨迹方程; (2)点 Q 的轨迹与坐标轴的交点的个数.

x2 2 78.已知椭圆 +y =1 的右准线 l 与 x 轴相交于点 E, 过椭圆右焦点 F 的直线与椭圆相交 2
于 A、B 两点,点 C 在右准线 l 上,且 BC∥x 轴. 求证:直线 AC 经过线段 EF 的中点.

66


推荐相关:

高考文科数学第一轮复习经典习题集(学生版)

高考文科数学第一轮复习经典习题集(学生版) - 高考第一轮复习 文科数学习题集(含答案) 目录 第一章 第一节 第二节 集合???...


高考文科数学第一轮复习专题1:集合

高考文科数学第一轮复习专题1:集合_数学_高中教育_教育专区。高考文科数学第一轮...B 等)求参数范围问 题时,往往容易忽略空集的情形,因此一定要先对空集进行讨论...


2017年高考全国卷文科数学第一轮复习 讲义一 数列

2017年高考全国卷文科数学第一轮复习 讲义一 数列 - (2017 高考文科数学) 2016-4-30 讲义一 一、高考趋势 1、考纲要求 数列 (1) .了解数列的概念和几种...


人教版2018最新高考数学一轮复习经典习题集Word版

人教版2018最新高考数学一轮复习经典习题集Word版 - 第一章集合与逻辑用语 (附参考答案) 第1讲 集合的含义与基本关系 1.(2011 年江西)若全集 U={1,2,3,4...


【高考数学】2018最新高考数学一轮复习经典习题集...

高考数学】2018最新高考数学一轮复习经典习题集(专题拔高特训) - 第一章集合与逻辑用语 (附参考答案) 第1讲 集合的含义与基本关系 1.(2011 年江西)若全集...


第一轮复习自己整理绝对经典2016概率文科

第一轮复习自己整理绝对经典2016概率文科 - 概率与统计题型总结(文科) 一:随机抽样(系统抽样、简单随机抽样、分层抽样) 【例 1】在 1000 个有机会中奖的号码(...


第一轮复习自己整理绝对经典2016立体几何文科--第...

第一轮复习自己整理绝对经典2016立体几何文科--第一...(第 9 题) C 线面夹角(了解) :例 45:如图,...2016年全国高考文科数学... 暂无评价 8页 1下载券...


2017届高考理科数学第一轮复习习题1.doc

2017届高考理科数学第一轮复习习题1.doc - (建议用时:80 分钟) 1.设 f(x)=a(x-5)2+6ln x,其中 a∈R,曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与 ...


第一轮复习自己整理绝对经典2016函数--第一轮

第一轮复习自己整理绝对经典2016函数--第一轮_高三数学_数学_高中教育_教育专区...真题: 【2015 高考新课标 1 文 10】 已知函数 ,且 f (a) ? ?3 ,则 ...


2014年高考数学第一轮复习:指对幂函数经典练习题-...

2014年高考数学第一轮复习:指对幂函数经典练习题-含答案 - 高一指数函数和对数函数、幂函数练习(1) 1、若函数 y ? (a ? 3a ? 3) ? a x 是指数函数,...

网站首页 | 网站地图
3986 3986.net
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@qq.com