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圆锥曲线单元检测高二数学

圆锥曲线单元检测 一、选择题 1.如果方程 x2+ky2=2 表示焦点在 y 轴上的椭圆,那么实数 k 的取值范围是( 1 ? A.(1,+∞) B.(1,2) C.? ?2,1? D.(0,1) x2 y2 4 2.已知双曲线 2- 2=1 的一条渐近线方程为 y= x,则双曲线的离心率为( a b 3 5 A. 3 4 5 3 B. C. D. 3 4 2 ) ) )

3.抛物线 y2=8x 上一点 P 到焦点的距离为 4,则 P 到坐标原点的距离为( A.5 B.2 5 C.4 2 D. 33 4.若点 P 到直线 x=-1 的距离比它到点(2,0)的距离小 1,则点 P 的轨迹为( A.圆 C.双曲线 B.椭圆 D.抛物线

)

x2 y2 5.设 P 是双曲线 2- =1(a>0)上一点,双曲线的一条渐近线方程为 3x-2y=0,F1, a 9 F2 分别是双曲线的左、右焦点,若|PF1|=3,则|PF2|=( A.1 或 5 B.6 C.7 ) D.8

6. 设圆锥曲线 C 的两个焦点分别为 F1, F2, 若曲线 C 上存在点 P 满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2| =4∶3∶2,则曲线 C 的离心率等于( 1 3 A. 或 2 2 1 C. 或 2 2 2 B. 或 2 3 2 3 D. 或 3 2 )

x2 y2 a2 7.过双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左焦点 F(-c,0)(c>0)作圆 x2+y2= 的切线,切 a b 4 点为 E,延长 FE 交双曲线右支于点 P,若 A. 10 2 B. 10 5 ,则双曲线的离心率为( )

C. 10

D. 2

x2 y2 8.已知双曲线 - =1 的左、右焦点分别是 F1、F2,P 是双曲线上的一点,若|PF1| 4 12 =5,则△PF1F2 最大内角的余弦值为( 1 A.- 10 3 C. 5 1 B. 10 3 D.- 5 )

x2 y2 3 9.已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 .双曲线 x2-y2=1 的渐近线与椭圆 C a b 2

有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为 16,则椭圆 C 的方程为( x2 y2 A. + =1 8 2 x2 y2 C. + =1 16 4 x2 y2 B. + =1 12 6 x2 y2 D. + =1 20 5

)

10.已知|AB― →|=3,A,B 分别在 y 轴和 x 轴上运动,O 为原点, 则动点 P 的轨迹方程是( ) x2 y2 A. +y2=1 B.x2+ =1 4 4 x2 y2 C. +y2=1 D.x2+ =1 9 9



11.探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分,光源位于抛物线的焦点处,已知灯口的 直径为 60 cm,灯深 40 cm,则抛物线的标准方程可能是( 25 A.y2= x 4 45 B.y2= x 4 )

45 45 C.x2=- y D.x2=- y 2 4 12.双曲线与椭圆 4x2+y2=64 有公共焦点,它们的离心率互为倒数,则双曲线方程为 ( ) A.y2-3x2=36 B.x2-3y2=36 C.3y2-x2=36 D.3x2-y2=36 二、填空题 x2 y2 13.以双曲线 - =1 的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆方程为________. 4 12 x2 y2 x2 14.设 F1,F2 为曲线 C1: + =1 的焦点,P 是曲线 C2: -y2=1 与 C1 的一个交点, 6 2 3 则△PF1F2 的面积为________. x2 y2 15.已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左焦点为 F,C 与过原点的直线相交于 A,B 两 a b 4 点,连接 AF,BF.若|AB|=10,|AF|=6,cos∠ABF= ,则 C 的离心率 e=________. 5 y2 16.已知抛物线 y2=2px(p>0)的焦点与双曲线 x2- =1 的右焦点 F 重合,抛物线的准 3 线与 x 轴交于点 K,点 A 在抛物线上且|AK|= 2|AF|,则△AFK 的面积为________. 三、解答题 17. 椭圆的中心在原点, 焦点在坐标轴上, 焦距为 2 13.一双曲线和该椭圆有公共焦点, 且双曲线的实半轴长比椭圆的长半轴长小 4, 双曲线离心率与椭圆离心率之比为 7∶3, 求椭 圆和双曲线的方程.

18. 已知过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点, 斜率为 2 2的直线交抛物线于 A(x1, y1), B(x2, y2)(x1<x2)两点,且|AB|=9. (1)求该抛物线的方程; (2)O 为坐标原点,C 为抛物线上一点,若
2 2

,求 λ 的值.

x y 19.如图所示,F1,F2 分别为椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右两个焦点,A,B 为 a b 两个顶点,

3 1, ?到 F1,F2 两点的距离之和为 4. 已知椭圆 C 上的点? ? 2? (1)求椭圆 C 的方程; (2)过椭圆 C 的焦点 F2 作 AB 的平行线交椭圆于 P,Q 两点,求△F1PQ 的面积. x2 y2 2 20.如图,椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)经过点 A(0,-1),且离心率为 . a b 2

(1)求椭圆 E 的方程; (2)经过点(1,1),且斜率为 k 的直线与椭圆 E 交于不同两点 P,Q(均异于点 A),证明: 直线 AP 与 AQ 的斜率之和为 2. x2 y2 2 3 21.已知双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的离心率为 ,过点 A(0,-b)和 B(a,0) a b 3 的直线与原点的距离为 3 . 2

(1)求双曲线 C 的方程; (2)直线 y=kx+m(km≠0)与该双曲线 C 交于不同的两点 C,D,且 C,D 两点都在以点 A 为圆心的同一圆上,求 m 的取值范围. y2 x2 22.已知抛物线 C1:x2=4y 的焦点 F 也是椭圆 C1: 2+ 2=1(a>b>0)的一个焦点.C1 a b 与 C2 的公共弦的长为 2 6.过点 F 的直线 l 与 C1 相交于 A, B 两点, 与 C2 相交于 C, D 两点, . (1)求 C2 的方程; (2)若|AC|=|BD|,求直线 l 的斜率.


2 2



x y 1. 解析:选 D 由 x2+ky2=2,得 + =1, 2 2 k 又∵椭圆的焦点在 y 轴上, 2 ∴ >2,即 0<k<1. k b 4 4 2. 解析:选 A 由 = 得 b= a, a 3 3 ∴c= a2+b2= c 5 ∴e= = . a 3 3. 解析:选 B 抛物线 y2=8x 的准线方程为 x=-2,由 P 到焦点的距离为 4 知,P 到
2 2 准线的距离为 4,故 P 的横坐标 xP=2,y2 P=16,|PO|= xP+yP=2 5.

4 ?2 5 a2+? ?3a? =3a.

4. 解析:选 D 由题意得,点 P 到直线 x=-2 的距离与它到点(2,0)的距离相等,因 此点 P 的轨迹是抛物线. x2 y2 5. 解析: 选 C 双曲线 2- =1 的一条渐近线方程为 3x-2y=0, 故 a=2.又 P 是双曲 a 9 线上一点,故||PF1|-|PF2||=4,而|PF1|=3,则|PF2|=7. 6. 解析:选 A 设|PF1|=4k,|F1F2|=3k,|PF2|=2k.若曲线 C 为椭圆,则 2a=6k,2c 1 3 =3k,∴e= ;若曲线 C 为双曲线,则 2a=2k,2c=3k,∴e= . 2 2 7. 解析:选 A 设双曲线右焦点为 M,∵OE⊥PF,∴在直角三角形 OEF 中,|EF|= a2 c2- . 4 又 , a2 c2- , 4

∴E 是 PF 的中点.∴|PF|=2 又 O 是 FM 的中点, ∴MP⊥FP,∴|PM|=a, 又|PF|-|PM|=2a,∴2 c 10 ∴离心率 e= = . a 2

a2 c2- -a=2a, 4

8. 解析:选 B 由双曲线定义知|PF2|=|PF1|±2a.所以|PF2|=9 或|PF2|=1<c-a=2(舍 去).

又|F1F2|=8,所以△PF1F2 的最大内角为∠PF1F2, 52+82-92 1 cos∠PF1F2= = . 10 2×5×8 9. 解析:选 D 因为椭圆的离心率为 3 c 3 3 ,所以 e= = ,c2= a2=a2-b2,所以 b2 2 a 2 4

1 x2 x2 x2 x2 5x2 = a2, 即 a2=4b2.双曲线的渐近线方程为 y=± x, 代入椭圆方程得 2+ 2=1, 即 2+ 2= 2 4 a b 4b b 4b 4 2 4 2 =1,所以 x2= b2,x=± b,y2= b2,y=± b,则在第一象限双曲线的渐近线与椭圆 C 5 5 5 5 的交点坐标为? 2

? 5

b,

2 ? 2 2 16 b ,所以四边形的面积为 4× b× b= b2=16,所以 b2=5,所 5 5 ? 5 5

x2 y2 以椭圆方程为 + =1. 20 5 1 2 10. 解析:选 A 设 P(x,y),A(0,y0),B(x0,0),由已知得(x,y)= (0,y0)+ (x0, 3 3 2 1 3 0),即 x= x0,y= y0,所以 x0= x,y0=3y.因为| 3 3 2 x2 =9,化简整理得动点 P 的轨迹方程是 +y2=1. 4 11. 解析:选 C 如果设抛物线的方程为 y2=2px(p>0),则抛物线过点(40,30),从而 45 45 有 302=2p×40,即 2p= ,所以所求抛物线方程为 y2= x. 2 2 45 45 虽然选项中没有 y2= x,但 C 中的 2p= 符合题意. 2 2 x2 y2 12. 解析:选 A 由 4x +y =64 得 + =1,c2=64-16=48, 16 64
2 2

3 ?2 2 2 ? |=3,所以 x2 + y = 9 ,即 0 0 ?2x? +(3y)

4 3 3 ∴c=4 3,e= = . 8 2 ∴双曲线中,c′=4 3,e′= ∴a′= 2 c′ = . 3 a′

3 c′=6,b′2=48-36=12. 2

y2 x2 ∴双曲线方程为 - =1,即 y2-3x2=36. 36 12 13. 解析:双曲线焦点(± 4,0),顶点(± 2,0),故椭圆的焦点为(± 2,0),顶点(± 4,0). x2 y2 答案: + =1 16 12 14. 解析:由题意知|F1F2|=2 6-2=4,设 P 点坐标为(x,y).

x2 y2 3 2 + =1, x=± , 6 2 2 由 2 得 x 2 -y2=1, y=± . 3 2

? ? ?

? ? ?

1 1 2 则 S△PF1F2= |F1F2|·|y|= ×4× = 2. 2 2 2 答案: 2 15. 解析:设椭圆的右焦点为 F1,在△ABF 中,由余弦定理可解得|BF|=8,所以△ABF 为直角三角形,又因为斜边 AB 的中点为 O,所以|OF|=c=5,连接 AF1,因为 A,B 关于原 5 点对称,所以|AF1|=|BF|=8,所以 2a=14,a=7,所以离心率 e= . 7 5 答案: 7 p 16. 解析:由题意得 =2,p=4,抛物线方程为 y2=8x,K(-2,0),设 A(x0,y0),|AF| 2 =a,x0=a-2,
2 由|AK|= 2a 得 a2+y2 0=2a , 2 又 y2 0=8(a-2),∴a =8(a-2),解得 a=4.

由已知可得|y0|=a=4. 1 ∴S△AFK= ×4×4=8. 2 答案:8 x2 y2 17. 解:①焦点在 x 轴上,设椭圆方程为 2+ 2=1(a>b>0),且 c= 13. a b x2 y2 设双曲线为 2- 2=1(m>0,n>0), m n e双 7 a 7 m=a-4.因为 = ,所以 = , 3 m 3 e椭 解得 a=7,m=3. 因为椭圆和双曲线的半焦距为 13, 所以 b2=36,n2=4. x2 y2 所以椭圆方程为 + =1, 49 36 x2 y2 双曲线方程为 - =1. 9 4 x2 y2 y2 x2 ②焦点在 y 轴上,椭圆方程为 + =1,双曲线方程为 - =1. 36 49 9 4 p? 2 2 2 18. 解:(1)直线 AB 的方程是 y=2 2? ?x-2?,与 y =2px 联立,从而有 4x -5px+p =

5p 0,所以 x1+x2= . 4 由抛物线定义得:|AB|=x1+x2+p=9,所以 p=4,从而抛物线方程是 y2=8x. (2)由 p=4,4x2-5px+p2=0 可简化为 x2-5x+4=0. 从而 x1=1,x2=4,y1=-2 2,y2=4 2, 从而 A(1,-2 2),B(4,4 2). 设 =(x3,y3)=(1,-2 2)+λ(4,4 2)

=(4λ+1,4 2λ-2 2),
2 又 y2 3=8x3,即[2 2(2λ-1)] =8(4λ+1),

即(2λ-1)2=4λ+1, 解得 λ=0 或 λ=2. 19. 解:(1)由题设知,2a=4,即 a=2, 3? 1 2 将点? ?1,2?代入椭圆方程得22+ b2 =1,解得 b =3, x2 y2 故椭圆方程为 + =1. 4 3 (2)由(1)知 A(-2,0),B(0, 3), 所以 kPQ=kAB= y= 3 (x-1), 2 3 ,所以 PQ 所在直线方程为 2

?3? ?2?

2

?y= 23(x-1), 由? 得 8y +4 x y ? 4 + 3 =1,
2 2 2

3y-9=0,

设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则 y1+y2=- 9 y1·y2=- , 8 所以|y1-y2|= (y1+y2)2-4y1y2=

3 , 2

3 9 21 +4× = , 4 8 2

1 1 21 21 所以 S△F1PQ= |F1F2|·|y1-y2|= ×2× = . 2 2 2 2 c 2 20. 解:(1)由题意知 = ,b=1,综合 a2=b2+c2, a 2 解得 a= 2,

x2 所以,椭圆的方程为 +y2=1. 2 (2)证明:由题设知,直线 PQ 的方程为 y=k(x-1)+1, x2 代入 +y2=1, 2 得(1+2k2)x2-4k(k-1)x+2k(k-2)=0, 由已知 Δ>0,设 P(x1,y1),Q(x2,y2),x1x2≠0, 4k(k-1) 则 x1+x2= , 1+2k2 x1x2= 2k(k-2) , 1+2k2

从而直线 AP 与 AQ 的斜率之和 kAP+kAQ= y1+1 y2+1 kx1+2-k kx2+2-k + = + x1 x2 x1 x2

1 1? x1+x2 + =2k+(2-k) =2k+(2-k)? ?x1 x2? x1x2 4k(k-1) =2k+(2-k) =2k-2(k-1)=2. 2k(k-2) x2 21. 解:(1) -y2=1. 3 y=kx+m, ? ?2 (2)?x 消去 y 得, -y2=1, ? ?3 (1-3k2)x2-6kmx-3m2-3=0, 由已知,1-3k2≠0 且 Δ=12(m2+1-3k2)>0?m2+1>3k2.① 设 C(x1,y1),D(x2,y2),CD 的中点 P(x0,y0), x1+x2 3km m 则 x0= = , 2,y0=kx0+m= 2 1-3k 1-3k2 因为 AP⊥CD, m +1 1-3k2 m+1-3k2 1 所以 kAP= = =- , 3km 3km k -0 1-3k2 整理得 3k2=4m+1.② 联立①②得 m2-4m>0, 所以 m<0 或 m>4,又 3k2=4m+1>0, 1 1 所以 m>- ,因此- <m<0 或 m>4. 4 4 1 - ,0?∪(4,+∞). 故 m 的取值范围为? ? 4 ?

22. 解:(1)由 C1:x2=4y 知其焦点 F 的坐标为(0,1), 因为 F 也是椭圆 C2 的一个焦点,所以 a2-b2=1.① 又 C1 与 C2 的公共弦长为 2 6,C1 与 C2 都关于 y 轴对称,且 C1 的方程为:x2=4y, 3 ± 6, ?, 由此可知 C1 与 C2 的公共点的坐标为? 2? ? 9 6 所以 2+ 2=1.② 4a b 联立①②得 a2=9,b2=8, y2 x2 故 C2 的方程为 + =1. 9 8 (2)如图,设 A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),

从而 x3-x1=x4-x2,即 x3-x4=x1-x2,于是(x3+x4)2-4x3x4=(x1+x2)2-4x1x2.③

设直线 l 的斜率为 k,则 l 的方程为 y=kx+1,

? ?y=kx+1, 由? 2 得 x2-4kx-4=0,而 x1,x2 是这个方程的两根,所以 x1+x2=4k,x1x2 ?x =4y, ?

=-4,④ y=kx+1, ? ?2 2 由?x y 得(9+8k2)x2+16kx-64=0, ? 8 + 9 =1, ? 而 x3,x4 是这个方程的两根, 16k 64 所以 x3+x4=- ,⑤ 2,x3x4=- 9+8k 9+8k2 4×64 162k2 将④、⑤代入③,得 16(k2+1)= + . (9+8k2)2 9+8k2 162×9(k2+1) 即 16(k +1)= , (9+8k2)2
2

所以(9+8k2)2=16×9, 6 解得 k=± , 4

6 即直线 l 的斜率为± . 4


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