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辽宁省沈阳市铁路实验中学2015届高三上学期第一次月考数学试卷(理科)


辽宁省沈阳市铁路实验中学 2015 届高三上学期第一次月 考数学试卷(理科)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. ) 2 1.设全集为 R,集合 A={x|x ﹣9<0},B={x|﹣1<x≤5},则 A∩(?RB)=( ) A. (﹣3,0) B. (﹣3,﹣1) C. (﹣3,﹣1] D. (﹣3,3) 考点:交、并、补集的混合运算. 专题:集合. 分析:根据补集的定义求得?RB,再根据两个集合的交集的定义,求得 A∩(?RB) . 2 解答: 解:∵集合 A={x|x ﹣9<0}={x|﹣3<x<3},B={x|﹣1<x≤5},∴?RB={x|x≤﹣1,或 x>5}, 则 A∩(?RB)={x|﹣3<x≤﹣1}, 故选:C. 点评:本题主要考查集合的表示方法、集合的补集,两个集合的交集的定义和求法,属于基础 题. 2.设 x∈R,则“x> ”是“2x +x﹣1>0”的( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件
2

) B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题:简易逻辑. 分析:求出二次不等式的解,然后利用充要条件的判断方法判断选项即可. 解答: 解:由 2x +x﹣1>0,可知 x<﹣1 或 x> ; 所以当“x> ”?“2x +x﹣1>0”; 但是“2x +x﹣1>0”推不出“x> ”. 所以“x> ”是“2x +x﹣1>0”的充分而不必要条件. 故选 A. 点评:本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断,二次不等式的解法,考查计算能力.
2 2 2 2

3.

=(

)

A.﹣1﹣ i

B.﹣1+ i

C.1+ i

D.1﹣ i

考点:复数代数形式的乘除运算. 专题:计算题. 分析:利用分式的分母平方,复数分母实数化,运算求得结果. 解答: 解: = = = =﹣ 1+ i.

故选 B. 点评:本题考查复数代数形式的混合运算,复数的乘方运算,考查计算能力.

4.设 x,y 满足约束条件

,则 z=2x﹣3y 的最小值是(

)

A.﹣7

B.﹣6

C.﹣5

D.﹣3

考点:简单线性规划. 分析:作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,进行求最值即可. 解答: 解:由 z=2x﹣3y 得 y= ,

作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分 ABC) : 平移直线 y= 时 z 最小, 由 ,解得 ,即 C(3,4) . ,由图象可知当直线 y= ,过点 C 时,直线 y= 截距最大,此

代入目标函数 z=2x﹣3y, 得 z=2×3﹣3×4=6﹣12=﹣6. ∴目标函数 z=2x﹣3y 的最小值是﹣6. 故选:B.

点评:本题主要考查线性规划的基本应用,利用目标函数的几何意义是解决问题的关键,利用 数形结合是解决问题的基本方法.

5.设 a= A.c>b>a

,b=

,c=( ) ,则( B.b>c>a

0.3

) D.a>b>c

C.b>a>c

考点:对数值大小的比较. 专题:函数的性质及应用. 分析:根据指数函数与对数函数的单调性质,分别比较 a,b,c 与 和 1 的大小即可 解答: 解:∵a= < = ,b= >1, c=( ) <1,
0.3

∴b>c>a. 故选:B. 点评:本题考查对数的运算性质,考查指数函数与对数函数的单调性,属于基础题.

6.已知不等式 >0,则 A.

的解集为{x|a<x<b},点 A(a,b)在直线 mx+ny+1=0 上,其中 mn ) C.9 D.12

的最小值为( B.8

考点:基本不等式. 专题:不等式的解法及应用. 分析:由不等式 ,解得﹣2<x<﹣1.可得 a=﹣2,b=﹣1.由于点 A(﹣2,﹣1)在

直线 mx+ny+1=0 上,可得 2m+n=1.再利用“乘 1 法”和基本不等式即可得出. 解答: 解:不等式 ∴不等式 ?(x+2) (x+1)<0,解得﹣2<x<﹣1.

的解集为{x|﹣2<x<﹣1},

∴a=﹣2,b=﹣1. ∵点 A(﹣2,﹣1)在直线 mx+ny+1=0 上, ∴﹣2m﹣n+1=0,化为 2m+n=1. ∵mn>0 , ∴ 号. ∴ 的最小值为 9. = =5+ =9,当且仅当 m=n= 时取等

故选:C.

点评:本题考查了分式不等式的解法、基本不等式的性质,属于基础题. 7.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(﹣x)=﹣f(x) ,f(x﹣2)=f(x+2)且 x∈(﹣1,0)时, f(x)=2 + ,则 f(log220)=( A.1 B.
x

) C.﹣1 D.﹣

考点:函数的周期性;奇偶函数图象的对称性. 专题:计算题. 分析:根据对数函数的单调性 ,我们易判断出 log220∈(4,5) ,结合已知中 f(﹣x)=﹣f(x) , f(x﹣2)=f(x+2)且 x∈(﹣1,0)时,利用函数的周期性与奇偶性,即可得到 f(log220) 的值. 解答: 解:∵定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(﹣x)=﹣f(x) , ∴函数 f(x)为奇函数 又∵f(x﹣2)=f(x+2) ∴函数 f(x)为周期为 4 是周期函数 又∵log232>log220>log216 ∴4<log220<5 ∴f(log220)=f(log220﹣4)=f(log2 )=﹣f(﹣log2 )=﹣f(log2 ) 又∵x∈(﹣1,0)时,f(x)=2 + , ∴f(log2 )=1 故 f(log220)=﹣1 故选 C 点评:本题考查的知识点是函数的周期性和奇偶函数图象的对称性,其中根据已知中 f(﹣x) =﹣f(x) ,f(x﹣2)=f(x+2)判断函数的奇偶性,并求出函数的周期是解答的关键. 8.若函数 f(x)=x ﹣3bx+3b 在(0,1)内有极小值,则( A.0<b<1 B.b<1 C.b>0
3 x

) D.b<

考点:利用导数研究函数的极值. 专题:计算题. 分析:先对函数 f(x)进行求导,然后令导函数等于 0,由题意知在(0,1)内必有根,从而 得到 b 的范围. 解答: 解:因为函数在(0,1)内有极小值,所以极值点在(0,1)上. 2 2 令 f'(x)=3x ﹣3b=0,得 x =b,显然 b>0, ∴x=± . 又∵x∈(0,1) ,∴0< <1.∴0<b<1. 故选 A. 点评:本题主要考查应用导数解决有关极值与参数的范围问题.

9.设 f(x)为定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=2 +2x+b(b 为常数) ,则 f(﹣1) =( ) A.﹣3 B.﹣1 C.1 D.3 考点:奇函数. 专题:函数的性质及应用. 分析:首先由奇函数性质 f(0)=0 求出 f(x)的解析式,然后利用定义 f(﹣x)=﹣f(x)求 f(﹣1)的值. 解答: 解:因为 f(x)为定义在 R 上的奇函数, 0 所以 f(0)=2 +2×0+b=0, 解得 b=﹣1, 所以当 x≥0 时,f(x)=2 +2x﹣1, 又因为 f(x)为定义在 R 上的奇函数, 1 所以 f(﹣1)=﹣f(1)=﹣(2 +2×1﹣1)=﹣3, 故选 A. 点评:本题考查奇函数的定义 f(﹣x)=﹣f(x)与基本性质 f(0)=0(函数有意义时) . 10.曲线 y= 与直线 y=x﹣1 及 x=4 所围成的封闭图形的面积为( A.2﹣ln2 B.4﹣21n2 C.4﹣ln2 ) D.21n2
x

x

考点:定积分在求面积中的应用. 专题:计算题. 分析: 作出函数的图象, 可得围成的封闭图形为曲边三角形 ABC, 它的面积可化作梯形 ABEF 的面积与曲边梯形 BCEF 面积的差,由此结合定积分计算公式和梯形面积公式,不难得到本 题的答案. 解答: 解:令 x=4,代入直线 y=x﹣1 得 A(4,3) ,同理得 C(4, ) 由 =x﹣1,解得 x=2,所以曲线 y= 与直线 y=x﹣1 交于点 B(2,1) ∴SABC=S 梯形 ABEF﹣SBCEF 而 SBCEF= =2ln4﹣2ln2=2ln2 ∵S 梯形 ABEF= (1+3)×2=4 ∴封闭图形 ABC 的面积 SABC=S 梯形 ABEF﹣SBCEF=4﹣2ln2 故选 B =(2lnx+C) , (其中 C 是常数)

点评:本题利用定积分计算公式,求封闭曲边图形的面积,着重考查了利用积分公式求原函数 和定积分的几何意义等知识,属于基础题. 11.已知函数 f(x)=e +|x|.若关于 x 的方程 f(x)=k 有两个不同的实根,则实数 k 的取值 范围是( ) A. (0,1) B. (1,+∞) C. (﹣1,0) D. (﹣∞,﹣1) 考点:函数的零点与方程根的关系. 专题:函数的性质及应用. |x| 分析:将方程 f(x)=k 恰有两个不同的实根,转化为方程 e =k﹣|x|恰有两个不同的实根,再 |x| 转化为一个函数 y=e 的图象与一条折线 y=k﹣|x|的位置关系研究. |x| 解答: 解:方程 f(x)=k 化为:方程 e =k﹣|x| |x| 令 y=e ,y=k﹣|x|, y=k﹣|x|表示过斜率为 1 或﹣1 的平行折线系, |x| 折线与曲线 y=e 恰好有一个公共点时,有 k=1,如图, 若关于 x 的方程 f(x)=k 有两个不同的实根,则实数 k 的取值范围是(1,+∞) . 故选 B.
|x|

点评:本题主要考查根的存在性及根 的个数判断,解答关键是利用直线与曲线的位置关系. 12.已知函数 y=f(x)对任意的 x∈R 满足 2 f′(x)﹣2 f(x)ln2>0(其中 f′(x)是函数 f (x)的导函数) ,则下列不等式成立的是( ) A.2f(﹣2)<f(﹣1) B.2f(1)>f(2) C.4f(﹣2)>f(0) D.2f(0)>f(1)
x x

考点:利用导数研究函数的单调性. 专题:导数的综合应用. 分析:根据条件构造函数 g(x)= 关系即可得到结论. 解答: 解:构造函数 g(x)= , ,求函数的导数,利用函数的单调性和导数之间的

则 g′(x)=
x x



∵x∈R 满足 2 f′(x)﹣2 f(x)ln2>0, ∴g′(x)>0, 即函数 g(x)在 R 上单调递增, 则 g(﹣2)<g(﹣1) ,g(1)<g(2) ,g(﹣2)<g(0) ,g(0)<g(1) , 即 , , , ,

即 2f(﹣2)<f(﹣1) ,2f(1)<f(2) ,4f(﹣2)<f(0) ,2f(0)<f(1) , 故 A 正确. 故选:A. 点评:本题主要考查函数单调性的应用,利用条件构造函数是解决本题的关键,综合性较强, 有一点的难度. 二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共计 20 分. ) 13.函数 f(x)=log (2x ﹣3x+1)的增区间是(﹣∞, ) .
2

考点:复合函数的单调性. 专题:函数的性质及应用. 2 分析:令 t(x)=2x ﹣3x+1>0,求得函数的定义域.根据复合函数的单调性,本题即求函数 2 t(x)在定义域内的减区间.再利用二次函数的性质求得 t(x)=2x ﹣3x+1 在定义域内的减 区间. 解答: 解:令 t(x)=2x ﹣3x+1>0,求得 x< 或 x>1,故函数的定义域为{x|x< 或 x> 1},且 f(x)=log t(x) ,
2

根据复合函数的单调性,本题即求函数 t(x)在定义域内的减区间. ∵二次函数 y=2x ﹣3x+1 在定义域内的减区间是(﹣∞, ) ,∴f(x)的增区间是(﹣∞, ) . 故答案为: (﹣∞, ) .
2

点评:本题主要考查复合函数的单调性,二次函数的性质,体现了转化的数学思想,属于中档 题.

14.设函数

,函数 y=f﹣1 的零点个数为 2.

考点:函数的零点;根的存在性及根的个数判断. 分析:根据函数 ,根据指数函数和对数函数的性质,我们可

以分类讨论,化简函数函数 y=f﹣1 的解析式,进而构造方程求出函数的零点,得到答案. 解答: 解:∵函数 当 x≤0 时 y=f﹣1=f(2 )﹣1= 令 y=f﹣1=0,x=1(舍去) 当 0<x≤1 时 y=f﹣1=f(log2x)﹣1= 令 y=f﹣1=0,x=1 当 x>1 时 y=f﹣1=f(log2x)﹣1=log2(log2x)﹣1 令 y=f﹣1=0,log2(log2x)=1 则 log2x=2,x=4 故函数 y=f﹣1 的零点个数为 2 个 故答案为:2 点评:本题考查的知识点是函数的零点,根的存在性及根的个数判断,其中根据指数函数和对 数函数的图象和性质,化简函数的解析式是解答的关键. 15.若对任意 x>0, ≤a 恒成立,则 a 的取值范围是 a≥ . ﹣1=x﹣1
x



﹣1=x﹣1

考点:基本不等式在最值问题中的应用. 专题:不等式的解法及应用. 分析:根据 x+ ≥2 代入 解答: 解:∵x>0, ∴x+ ≥2(当且仅当 x=1 时取等号) , 中求得 的最大值为 进而 a 的范围可得.



=



= ,即

的最大值为 ,

故答案为:a≥ 点评:本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用.属基础题. 16.下列四个命题中,真命题的序号有①②③④. (写出所有真命题的序号) 2 2 ①若 a,b,c∈R,则“ac >bc ”是“a>b”成立的充分不必要条件; 2 2 ②命题“?x∈R 使得 x +x+1<0”的否定是“?x∈R 均有 x +x+1≥0”; ③命题“若|x|≥2,则 x≥2 或 x≤﹣2”的否命题是“若|x|<2,则﹣2<x<2”; ④函数 f(x)=lnx+x﹣ 在区间(1,2)上有且仅有一个零点.

考点:命题的真假判断与应用. 专题:阅读型;简易逻辑. 分析:①由充分必要条件的定义,注意举反例,即可判断; ②由含有一个量词的命题的否定形式,即可判断; ③由命题的否命题,既要对条件否定,也要对结论否定,注意否定形式,可判断; ④先通过导数判断函数的单调性,再由零点存在定理,即可判断. 解答: 解:①若 a,b,c∈R,则“ac >bc ”可推出“a>b”,反之,不能推出,比如 c=0,故 ①正确; ②命题“?x∈R 使得 x +x+1<0”的否定是“?x∈R 均有 x +x+1≥0”,故②正确; ③命题“若|x|≥2,则 x≥2 或 x≤﹣2”的否命题是“若|x|<2,则﹣2<x<2”,故③正确; ④函数 f(x)=lnx+x﹣ ,f′(x)= +1>0 在(1,2)上成立,即为增区间, 由于 f(1)<0,f(2)>0,故在区间(1,2)上有且仅有一个零点,故④正确. 故答案为:①②③④. 点评:本题考查充分必要条件的判断、命题的否定、原命题的否命题,注意运用定义和区别, 同时考查零点存在定理及运用,属于基础题. 三、解答题: (解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤,解答过程书写在答题纸的对应位 置.) 2 2 17.已知命题 p:方程(m﹣1)x +(3﹣m)y =(m﹣1) (3﹣m)表示的曲线是双曲线;命 3 题 q:函数 f(x)=x ﹣mx 在区间(﹣∞,﹣1]上为增函数,若“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命 题,求实数 m 的取值范围. 考点:复合命题的真假. 专题:导数的综合应用;简易逻辑. 分析:根据双曲线的标准方程,及函数的单调性和导数符号的关系可求出命题 p,q 下的 m 的 取值范围,然后由 p∨q 为真命题,p∧q 为假命题,得到 p,q 一真一假,讨论 p,q 的真假情 况,从而求出每种情况下的 m 的取值范围再求并集即可. 2 2 解答: 解:p:方程(m﹣1)x +(3﹣m)y =(m﹣1) (3﹣m)表示的曲线是双曲线,则 有(m﹣1) (3﹣m)<0;
2 2 2 2

解得:m<1 或 m>3; q:函数 f(x)=x ﹣mx 在区间(﹣∞,﹣1]上为增函数,∴f'(x)=3x ﹣m≥0 在区间(﹣∞, ﹣1]上恒成立; 2 于是 m≤(3x )min=3; ∵“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题,∴p、q 一真一假; 若 p 真 q 假,则 ,解得:m>3;
3 2

若 p 假 q 真,则

,解得:1≤m≤3;

综上所述,实数 m 的取值范围是上,y=f(x)的图象恒在 y=2x+m 的图象上方,试确定实数 m 的范围. 考点:二次函数的性质. 专题:计算题. 2 分析: (1)先设 f(x)=ax +bx+c,在利用 f(0)=1 求 c,再利用两方程相等对应项系数相等 求 a,b 即可. (2)转化为 x ﹣3x+1﹣m>0 在上恒成立问题,找其在上的最小值让其大于 0 即可. 2 2 解答: 解: (1)设 f(x)=ax +bx+c,由 f(0)=1 得 c=1,故 f(x)=ax +bx+1. 2 2 因为 f(x+1)﹣f(x)=2x,所以 a(x+1) +b(x+1)+1﹣(ax +bx+1)=2x. 即 2ax+a+b=2x,所以
2 2

,∴



所以 f(x)=x ﹣x+1 2 2 (2)由题意得 x ﹣x+1>2x+m 在上恒成立.即 x ﹣3x+1﹣m>0 在上恒成立. 设 g(x)=x ﹣3x+1﹣m,其图象的对称轴为直线
2 2

,所以 g(x)在上递减.

故只需 g(1)>0,即 1 ﹣3×1+1﹣m>0, 解得 m<﹣1. 点评:本题考查了二次函数解析式的求法.二次函数解析式的确定,应视具体问题,灵活的选 用其形式,再根据题设条件列方程组,即运用待定系数法来求解.在具体问题中,常常会与图 象的平移,对称,函数的周期性,奇偶性等知识有机的结合在一起. 19.已知函数 f(x)=x +ax +bx+5,在曲线 y=f(x)上的点 P(1,f(1) )处的切线与直线 y=3x+2 平行. (1)若函数 y=f(x)在 x=﹣2 时取得极值,求 a,b 的值; (2)在(1)的条件下求函数 y=f(x)的单调区间. 考点:利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性. 专题:计算题;导数的综合应用. 分析: (1) 求导, 利用导数的几何意义得 2a+b=0, 再由极值得 12﹣4 a+b=0, 从而解出 a, b. (2) 用导数求单调性. 2 解答: 解: (1)f′(x)=3x +2ax+b, ∵曲线 y=f(x)上的点 P(1,f(1) )处的切线与直线 y=3x+2 平行, ∴f′(1)=3+2a+b=3 即 2a+b=0①
3 2

∵y=f(x)在 x=﹣2 时取得极值, ∴f′(﹣2)=0 即 12﹣4a+b=0 ② 联立①②解得 a=2,b=﹣4 (2)由(1)得 3 2 f(x)=x +2x ﹣4x+5, f′(x)=3x +4x﹣4=3(x+2) (x﹣ ) 解 f′(x)>0 得 x<﹣2 或 x> ,则函数 y=f(x)的单调递增区间为(﹣∞,﹣2) , ( ,+∞) 解 f′(x)<0 得﹣2<x< ,则函数 y=f(x)的单调递减区间为(﹣2, ) , 所以函数 y=f(x)的单调递增区间为(﹣∞,﹣2) , ( ,+∞) ,单调递减区间为 点评:本题考查了学生对导数综合应用的掌握,是基础题. 20.在四棱锥 P﹣ABCD 中,侧面 PCD⊥底面 ABCD,PD⊥CD,底面 ABCD 是直角梯形, AB∥DC,∠ADC=90°, AB=AD=PD=1,CD=2. (Ⅰ)求证:BC⊥平面 PBD: (Ⅱ)求直线 AP 与平面 PDB 所成角的正弦值; (Ⅲ)设 E 为侧棱 PC 上异于端点的一点, P 的余弦值为 . ,试确定 λ 的值,使得二面角 E﹣BD﹣ .
2

考点:与二面角有关的立体几何综合题;直线与平面垂直的判定. 专题:空间位置关系与距离;空间角. 分析: (Ⅰ)以 D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系,利用向量法能证明 BC⊥平面 PBD. (Ⅱ) 求出平面 PBD 的一个法向量, 利用向量法能求出直线 AP 与平面 PDB 所成角的正弦值. (Ⅲ)设 E(x0,y0,z0) ,由题设知(x0,y0,z0﹣1)=(0,2λ,﹣λ) ,求出平面 EBD 的法 向量,由已知条件,利用向量法能确定确定 λ 的值,使得二面角 E﹣BD﹣P 的余弦值为 解答: (Ⅰ)证明:∵侧面 PCD⊥底面 ABCD,PD⊥CD, ∴PD⊥底面 ABCD,∴PD⊥AD. 又∵∠ADC=90°,即 AD⊥CD, 以 D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系, 则由题意知 A(1,0,0) ,B(1,1,0) , C(0,2,0) ,P(0,0 ,1) , .

∴ ∴ ,∴BC⊥BD.



∵PD⊥底面 ABCD,∴PD⊥BC, 又∵PD∩DB=D,∴BC⊥平面 PBD.… (Ⅱ)解:由(Ⅰ)知平面 PBD 的一个法向量为 ∵ ∴ , , ,

设直线 AP 与平面 PDB 所成角为 θ, 则 ,

∴直线 AP 与平面 PDB 所成角的正弦值为 .… (Ⅲ)解:∵ ,又 ,

设 E(x0,y0,z0) 则(x0,y0,z0﹣1)=(0,2λ,﹣λ) ∴E(0,2λ,1﹣λ) , 设平面 EBD 的法向量为 ∵ 得 ,由 ,… ,… , , , .…

令 a=﹣1,则可得平面 EBD 的一个法向量为 ∵二面角 E﹣BD﹣P 的余弦值为 ,



,…

解得

或 λ=﹣1,… .…

又由题意知 λ∈(0,1) ,∴

点评:本题考查直线与平面垂直的证明,考查直线与平面所成角的正弦值的证明,考查参数的 确定,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用. 21.已知函数 f(x)=lnx﹣ ,g(x )=f(x)+ax﹣6lnx,其中 a∈R. (Ⅰ)讨论 f(x)的单调性; (Ⅱ)若 g(x)在其定义域内为增函数,求正实数 a 的取值范围; 2 (Ⅲ)设函数 h(x)=x ﹣mx+4,当 a=2 时,若?x1∈(0,1) ,?x2∈,总有 g(x1)≥h(x2) 成立,求实数 m 的取值范围. 考点:利用导数求闭区间上函数的最值;函数恒成立问题;利用导数研究函数的单调性. 专题:综合题;压轴题. 分析: (Ⅰ)f(x)的定义域为(0,+∞) ,且 ,当 a≥0 时,f′(x)>0,f(x)

在(x,+∞)上单调递增;当 a>0 时,由 f′(x)>0,得 x>﹣a;由 f′(x)<0,得 x<﹣a.由 此能够判断 f(x)的单调性. (Ⅱ)由 g(x)=ax﹣ ,定义域为(0,+∞) ,知 ﹣ = ,

因为 g(x)在其定义域内为增函数,所以?x∈(0,+∞) ,g′(x)≥0,由此能够求出正实数 a 的取值范围. (Ⅲ)当 a=2 时,g(x)=2x﹣ , ,由 g′(x)=0,得 x= 或 时,g′(x)<0.所以在(0,1)上,

x=2.当

时,g′(x)≥0 当 x

,由此能求出实数 m 的取值范围. 解答: 解: (Ⅰ)f(x)的定义域为(0,+∞) ,且 ,

①当 a≥0 时,f′(x)>0,f(x)在(x,+∞)上单调递增; ②当 a<0 时,由 f′(x)>0,得 x>﹣a;由 f′(x)<0,得 x<﹣a; 故 f(x)在(0,﹣a)上单调递减,在(﹣a,+∞)上单调递增. (Ⅱ)g(x)=ax﹣ ,g(x)的定义域为(0,+∞) ,

﹣ =



因为 g(x)在其定义域内为增函数,所以?x∈(0,+∞) ,g′(x)≥0, ∴ax ﹣5x+a≥0, 2 ∴a(x +1)≥5x, 即 ,
2







,当且仅当 x=1 时取等号,

所以 a



(Ⅲ)当 a=2 时,g(x)=2x﹣





由 g′(x)=0,得 x= 或 x=2. 当 时,g′(x)≥0;当 x 时,g′(x)<0. ,

所以在(0,1)上,

而“?x1∈(0,1) ,?x2∈,总有 g(x1)≥ h(x2)成立”等价于 “g(x)在(0,1)上的最大值不小于 h(x)在上的最大值” 而 h(x)在上的最大值为 max{h(1) ,h(2)},

所以有











解得 m≥8﹣5ln2, 所以实数 m 的取值范围是 又∵BD=DC,∴AD 是线段 BC 的中垂线(线段的中垂线定义) . ∴AB=AC(线段中垂线上的点到线段两端的距离相等) . ∴∠B=∠C(等腰三角形等边对等角的性质) . 又∵D,E 为圆上位于 AB 异侧的两点, ∴∠B=∠E(圆周角定理) ∴∠E=∠C(等量代换)

点评:本题考查的知识点是圆周角定理,等腰三角形的性质,中垂线的性质,熟练掌握证明角 相等的常用方法是解答的关键. 【选修 4-4】 23.在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程为 (2,2) ,倾斜角 . (θ 为参数) ,直线 l 经过点 P

(1)写出圆的标准方程和直线 l 的参数方程; (2)设直线 l 与圆 C 相交于 A、B 两点,求|PA|?|PB|的值. 考点:圆的参数方程;直线的参数方程. 专题:选作题;坐标系和参数方程. 分析: (1)利用同角三角函数的基本关系消去 θ,可得圆的标准方程;根据直线 l 经过点 P(2, 2) , 倾斜角 ,可得直线 l 的参数方程;

(2)把直线的方程

代入 x +y =16,利用参数的几何意义,即可求|PA|?|PB|的值.

2

2

解答: 解: (1)∵C 的参数方程为 ∴圆的标准方程为 x +y =16. ∵直线 l 经过点 P(2,2) ,倾斜角 ,
2 2

(θ 为参数) ,

∴直线 l 的参数方程为

(t 为参数)

(2)把直线的方程
2

代入 x +y =16,

2

2

得 t +2( +1)t﹣8=0, 设 t1,t2 是方程的两个实根,则 t1t2=﹣8,∴|PA|?|PB|=8.

点评:本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法,求直线的参数方程,参数的几何意义, 属于基础题. 【选修 4-5】 24.已知函数 f(x)=|x﹣a|. (1)若不等式 f(x)≤3 的解集为{x|﹣1≤x≤5},求实数 a 的值; (2)在 (1)的条件下,若存在 x∈R 使得 f(x)+f(x+5)≤m 成立,求实数 m 的取值范围. 考点:绝对值不等式的解法. 专题:不等式的解法及应用. 分析: (1)利用同一个不等式的解集是相等集合得到端点的关系求 a; (2)要使存在 x∈R 使得 f(x)+f(x+5)≤m 成立,只要求出 f(x)+f(x+5)的最小值即可, 构造函数 g(x)=f(x)+f(x+5) ,借助于三角不等式的性质求 g(x)的最小值. 解答: 解: (1) .由 f(x)≤3 得|x﹣a|≤3,解得 a﹣3≤x≤a+3,又已知不等式 f(x)≤3 的解集 为{x|﹣1≤x≤5},所以 ,解得 a=2;

(2) .当 a=2 时 f(x)=|x﹣2|. 设 g(x)=f(x)+f(x+5)=|x﹣2|+|x+3|,由|x﹣2|+|x+3|≥5, (当且仅当﹣3≤x≤2 时等号成立) 得,g(x)的最小值为 5.从而存在 x∈R,使得 f(x)+f(x+5)≤m 成立,即存在 x∈R,使得 g(x)≤m 成立,所以 m 的取值范围为[5,+∞) . 点评:本题考查了绝对值不等式的解法以及绝对值函数的值域的求法.


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