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中职数学 指数函数与对数函数


指数函数与对数函数
一、实数指数幂
1、实数指数幂:如果 xn=a(n∈N ? 且 n>1) ,则称 x 为 a 的 n 次方根。当 n 为奇数时,正 数 a 的 n 次方根是一个正数,负数的 n 次方根是一个负数。这时,a 的 n 次方根只有一个, 记作 n a 。 当 n 为偶数时, 正数 a 的 n 次方根有两个, 它们互为相反数, 分别记作 n a , -n a 。 它们可以写成± n a 的形式。负数没有 例:填空: (1) 、 ( 3 8 )3= (2) 8 = (3) 、4 5 =
4 3 3

(填“奇”或“偶” )次方根。

; ( 3 ? 8 )3=
3 ; 3 (?8) =

。 。 。

4 ; 4 ( ?5) =

巩固练习: 1、将下列各分数指数幂写成根式的形式: (1) a
2 3

(2) b

?

3 5

(b≠0)

2、将下列各根式写成分数指数幂的形式: (1) a
5 2

(2)

1
3

a

5

(a≠0)

3、求下列幂的值: (1) 、 (-5)0; 2、实数指数幂的运算法则 ①、 a ? a = a
? ?
? ??

(2) 、 (a-b)0;

(3)、2-1;

(4) 、 ( 4 7 )4。

②、

a? ? ?? =a ? a
? ?

③、 (a ) = a ?? 例 1:求下列各式的值:
1

? ?

? ④、 (ab) = a ? b

⑤、 ( ) =

a b

?

a? b?

⑴、 1002 例 2:化简下列各式: ⑴、 a3 a

⑵、 8

?

2 3

1

2

⑶83 ? 83

⑵、 3 3 ? 3 3 ? 6 3

巩固练习:1、求下列各式的值: ⑴、 2
?3

? 16

3 4

⑵、 4 2 ? 4 8 ⑶2
?3

? 4 5 ? 0.255

2、化简下列各式: ⑴ (3x) ?2 ⑵(

x 2 ?2 ) y3
2 ? 5 3

⑶a3 ?a

? a 0 ? a 2 (a≠0)

二、幂函数
1、幂函数:形如 y ? x (α ∈R,α ≠0)的函数叫做幂函数,其中 x 为自变量,α 为常 数。 例 1、判断下列函数是否是幂函数: ⑴、y= x ⑷、y= 2
4

?

⑵、y= x ⑸、s=4t

?3

⑶、y= ⑹、y= ( x ? 1)
2? x

1 x2
⑺、y= x +2x+1
2

x

巩固练习:观察下列幂函数在同一坐标系中的图象,指出它们的定义域:
1

⑴、y=x;⑵、y= x 2 ;⑶y= x ; ⑷y= x ;⑸y= x
2

?1

?

1 4



y=x

2

y

1 o 1 x

y=x

-1

y=x

三、指数函数
1、指数函数:形如 y= a x (a>0,且 a≠1)的函数叫做指数函数,其中 x 为自变量,a 为 常数,指数函数的定义域为 R。 例 1:判断下列函数是不是指数函数?
1

(1) y ? (?3) x

(2) y ? 3x 4
?x

(3) y ? x 2
x (6) y= ( )

?2? (4) y ? ? ? ?5?
函 数
x

(5) y= 2

x

1 2

2、指数函数性质归纳 y= a (a>1) y= a (0<a<1)
x

y 图 y=1 0 象

y= a

x

y= a

x

(a>1) x

(0<a<1)

y y=1 x

0

定义域 性 值域 过定点 质 单调性

R (0,+∞) (0,1) 是 R 上的增函数 是 R 上的减函数

例 1:已知指数函数 y=ax 的图像过点(2,16) 。 ①求函数的解析式及函数的值域。 ②分别求当 x=1,3 时的函数值。

例 2:判断下列函数在(﹣∞,﹢∞)上的单调性 ①y=0.5x ②y= ? ?

?1? ? 3?

?x

四、对数
1、对数:如果 a =N(a>0,a≠1),那么 b 叫做以 a 为底 N 对数,记作㏒
b

a

N=b,其中,

a 叫做对数的底数,简称底;N 叫做真数。㏒ 我们把 a =N 叫做指数式,把㏒
b

a

N 读作:“以 a 为底 N 的对数” 。

a

N=b 叫做对数式。

2、对数式与指数式关系:

指数



真数 对数

a b =N
底数

㏒ a N= b

例 1:将下列对数式改写成指数式: (1)㏒ 381=4; (2)㏒ 5125=3; 例 2:将下列指数式改写成对数式: (1) 、 5 =125, (2) 、 16 =2 3、 常用对数: 把以 10 为底的对数叫做常用对数。 N(N>0)的常用对数㏒
10
3

1 4

N 可简记为 lg N。

例如:㏒ 107 可简记为 lg7 4、自然对数:以 e 为底的对数,这里 e=2.718281?是一个无理数。N(N>0)的自然对数 ㏒ eN 可简记为㏑ N。 例如:㏒ e5 可简记为㏑ 5 5、零和负数没有对数。 6、根据对数定义,可以证明:㏒ a1=0;㏒ aa=1(a>0,且 a≠1) 7、对数的运算性质: (1)积的对数:两个正数的积的对数,等于同一底数的这两个数的对数的和,即

㏒ a(MN)=㏒ aM+㏒ aN
(2)商的对数:两个正数的商的对数,等于同一底数的被除数的对数减去除数的对数,即

㏒a

M =㏒ aM-㏒ aN N
其中,a>0,a≠1,M>0,N>0

(3)幂的对数:一个正数的幂的对数,等于幂指数乘以这个数的对数,即

㏒ a M b =b ㏒ aM
例:求出下列各式的值: 1、㏒ 2(4×8) 2、㏒ 3(9×27)

64 3、㏒ 2 16

25 4、㏒ 5 75

5、3 ㏒ 24

6、㏒ 3 9

1 2

五、对数函数
1、 对数函数: 函数 y ? log a x( a ? 0, 且 a ? 1 ) 就是对数函数。 是指数函数 y ? a x( a ? 0, 且 a ? 1 )的反函数。 2、对数函数的图象和性质 Y





性质 对数函数 y ? log a x ? a ? 1? 性质 1.对数函数 y ? log a x 的图像都在Y轴的右方. 性质 2.对数函数 y ? log a x 的图像都经过点(1,0) 性质 3.当 x ? 1 时, y ? 0 ; 当 0 ? x ? 1 时, y ? 0 . 性质 4.对数函数在 ? 0, ?? ? 上是增函数. 例 1:求下列函数的定义域: (2) y ? loga (4 ? x2 ) ; (3) y ? log a ?1? y ? loga x2 ; 4? x 当 x ? 1 时, y ? 0 ; 当 0 ? x ? 1 时, y ? 0 . 对数函数在 ? 0, ?? ? 上是减函数.

? 0 ? a ? 1?

x

例 2:利用对数函数的性质,比较下列各题中两个值的大小: (1) log3 5 和 log3 7 ;

log a (2) log 0.5 3 和 log 0.5 ? ; (3)

1 1 和 log a , 其中 a ? 0, a ? 1 2 3

综合练习
1、下列各式中正确的是( A. 0 ? 1
0

)
7 4

B. a

?

?
7

1 a4


) ?1 C.(- 1
-1

D. a

?

1 5

?
5

1 a

2、下列等式中能够成立的是( A.
3

9 ? 3
3

a 5 5 B. ( ) ? a 5 ? b b
2 3
1

1

C.

3

x ? y ? ( x ? y)
2 2

D.
1

6

(?3) 2 ? 3 ? 3
1

3、设 b ? 0 ,化简式子 (a 3b ?3 ) 2 ? (a ?2 b 2 ) 3 ? (ab5 ) 6 的结果是( A. ab
?1



B. a
? 3 2

C. a

?1

D. (ab) ?1 )

4、在式子 (2 ? 3x) A. x ? R
1 3

中, x 的取值范围是( B. x ? ?

2 3


C. x ? ?

2 3

D. x ? ?

2 3

5、幂函数 y ? x 必经过点( A. ( 2,2)
3

B. (1,1) 和 (0,0) )

C. ( , )

1 1 2 2

D. (1,3)

6、幂函数 y ? x 的奇偶性为(

A. 奇函数 B. 偶函数 C. 非奇非偶函数 7、下列函数中,为指数函数的是( ) A. y ? ?? 1? 8、计算 (? 4 )
x

D. 减函数 D. y ? a x?1 (a ? 0且a ? 1)

B. y ? ?2 x

C. y ? ? x

?

1 2 ?2

?

的结果是 , (3 ) 3 ?

9、 2 2 ? 4 2 ? 8 4 ?

3 8

2

10、比较下列各题中两个实数的大小

?1? ?1? (1) ? ? 与? ? ?5? ?5?

?5

-4

(2)

2 ?5 与2 -3.5

课后练习
一、选择题 1、函数 y ?

x ?1 的定义域是 2x ? 3
3 2
B. {x x ? ?1且x ? }





A. {x x ? ?1或x ? }

3 2

C. {x x ? ?1或x ? } D. {x x ? ?1} ( )

3 2

2、定义在 R 上的偶函数 f ( x ) ,在 (0, ?? ) 上是增函数,则 A. f (3) ? f ( ?4) ? f ( ?? ) C. f (3) ? f ( ?? ) ? f ( ?4) B. f ( ?? ) ? f ( ?4) ? f (3) D. f ( ?4) ? f ( ?? ) ? f (3)

3、式子 ( ) A.-2

1 2

?2

? 16 4 的值为
B.2 C.4 D.-4

1





4、式子 (lg5)2 ? lg2 ? lg50 的值为 A. 6 5、已知 f ( x ) ? A. ? B.4 C.3 D.1





2x ? 1 3 ?1 (x∈R,x≠ ? ),则 f (?2) 的值为 4x ? 3 4
B. ?

(

)

7 10

3 5

C.

3 5

D.

7 10
( )

6、已知 f ( x) ? loga x 的图象过点 (5,3) ,则 a ? A. 5 B. 3 C. 5
3

D. 3 5 ( )

7、若 4 ? ( ) ? 16 ,则的取值范围是 B. ?4 ? x ? ?2 C. ?4 ? x ? 2

1 x 2 A. 2 ? x ? 4

D. ?2 ? x ? 4

8、对于 0 ? a ? 1 ,给出下列四个不等式: ① log a (1 ? a ) ? log a (1 ? ③ a
1? a

1 ) a

② log a (1 ? a ) ? log a (1 ? ④a
1? a

1 ) a

?a

1?

1 a

?a

1?

1 a

其中成立的是 A.①与③
2

B.①与④
0.3

C.②与③

( ) D.②与④ ( D. b ? c ? a )

9、已知 0.3 ? a , log2 0.3 ? b , 2 A. a ? b ? c

? c ,则下列正确的是
C. c ? b ? a

B. c ? a ? b

10、已知 lg2=a,lg3=b,则

lg 12 等于 lg 15
a ? 2b 1? a ? b
C.





A.

2a ? b 1? a ? b

B.

2a ? b 1? a ? b

D.

a ? 2b 1? a ? b


11、当 a ? 1 时,函数 y ?

ax ?1 是 a x ?1
C. 既奇又偶函数



A. 奇函数
12、

B. 偶函数

D. 非奇非偶函数
( )

log8 9 的值是 log2 3
2 3
B.1 C.

A.

3 2

D.2

13、若 3a ? 2b ? 2, 则8a ? 22b ? A. 2
2

( C.8 D.16 (



B.4

14、函数 y ? log 1 (2 x ? 1) 的定义域为



A.(

1 ,+∞) 2

B. [1,+∞ )

C.(

1 ,1 ] 2

D.(-∞,1)

15、 log3 4 ? log4 8 ? log8 7 ? log7 m ? log3 18 ,那么 m ? A.27 二、填空题 16、二次函数 f ( x) ? 2 x 2 ? x ? 1 ,则 f ( x ) 的图像的对称轴是直线 17、函数 y ? a x?2 ? 1.(a ? 0 且 a ? 1) 的图像必经过点 18、函数 y ? 3 x ? 1的反函数是 19、 4 ? 10 ? 2 ? 16 ? 0 的解集是
x x





B.18

C.9

D.

9 2

20、 log2 ?log2 (log2 x)? ? 1 ,则 x ? 三、解答题 21、计算
1 7 0 0.75 (1) 0.064 ? ( ? ) ? 16 ? 0.012 8 ? 1 3

(2) log 2 (log 2 32 ? log 2

3 ? log 2 6) 4

22、解不等式与方程 (1)解不等式: ( )

1 3

x2 ?2 x ?2

? 31?2 x

(2)解方程: log2 ( x ? 1) ? log2 x ? log2 6

23、已知函数 f ( x) ? a x ? b 的图象过点 (1,3) ,其反函数 f

?1

( x ) 的图象过 (2,0) ,求函数

f ( x ) 的解析式。

24、函数 f(x)= lg[(a - 4 )x + (a-2)x +1] 的定义域为 R,求 a 的取值范围。

2

2


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