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中山市实验高中2011届高三12月月考试题(理科)


中山市实验高中 2011 届高三 12 月月考试题 理科数学 一、选择题(每小题 5 分,共 40 分) 1、设集合 A ? ? x ||x -a|< 1 ,x ? R ? , B ? ? x | 1 ? x ? 5, x ? R ? .若 A ? B ? ? , 则实数 a 的取 值范围是( ) C、 ? a | a ? 0 , 或 a ? 6 ? D、 ? a | 2 ? a ? 4 ? 常数项为 80,

A、 ? a | 0 ? a ? 6 ? B、 ? a | a ? 2 , 或 a ? 4 ? 2、已知关于 x 的二项式 ( x ?
3

a x

) 展开式的二项式系数之和为 32,

n

则 a 的值为( ) A、1 B、 ? 1 C、2 D、 ? 2 3、如图,设 D 是图中边长分别为 2 和 4 的矩形区域,E 是 D 内位于函数 y=x2 图象下方的区域(阴影部分),向 D 内随机抛掷 30 个点,则落在 E 内 的点的个数约为( ) A、15 B、20 C、5 D、10 2 4、已知函数 f(x)=x +bx 的图象在点 A(1,f(1))处的切线 l 与直线 3x-y+2=0 平行,若数列 { A、
2007 2008
1 f (n) } 的前

n 项和为 Sn,则 S2009 的值为( C、
2008 2009



B、

2009 2010

D、

2010 2011

?x ? 2 ? 且目标函数 5、已知 x , y 满足 ? x ? y ? 4 , ?? 2 x ? y ? c ? 0 ?

z ? 3 x ? y 的最小值是 5,则 z 的最大值

A、10 B、12 C、14 D、15 6、一袋中有红、黄、蓝三种颜色的小球各一个,每次从中取出一个,记下颜色后放回, 当三种颜色的球全部取出时停止取球,则恰好取 5 次球时停止取球的概率为( ) A.
5 81

B.

14 81

C.

22 81

D.

25 81

7、定义在 R 上的偶函数 f(x)在[0,+∞)上单调递减,且 f( 则满足 f( lo g 1 x )<0 的集合为(
4

1 2

)=0,

) B、 (
1 2

A、 (-∞, C、 (
1 2

1 2

)∪(2,+∞)

,1)∪(1,2)
1 2

,1)∪(2,+∞)

D、 (0,

)∪(2,+∞)

8、为了迎接 2010 年广州亚运会,某大楼安装 5 个彩灯,它们闪亮的顺序不固定,每个 彩灯彩只能闪亮红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色,且这 5 个彩灯闪亮的颜色各不相同。 记这 5 个彩灯有序地各闪亮一次为一个闪烁。在每个闪烁中,每秒钟有且仅有一个彩灯 闪亮,而相邻两个闪烁的时间间隔均为 5 妙。如果要实现所有不同的闪烁,那么需要的 时间至少是( ) A、 1205 秒 B、1200 秒 C、1195 秒 D、1190 秒 二、填空题(每小题 5 分,共 30 分)

9、已知 f ( x ) ? 2 x ? 6 x ? a , ( a 为常数)在 [ ? 2 , 2 ] 上有最小值 3,那么 f ( x ) 在 [ ? 2 , 2 ] 上
3 2

的最大值为_________. 10、已知 X ~ N ( ? 1, ? ), 若 P ( ? 3 ? X ? ? 1) ? 0 . 4 , 则 P ( ? 3 ? x ? 1) ?
2

. .

11、按下图所示的程序框图运算:若输出 k=2,则输入 x 的取值范围是

12、 观察下列等式:
(1 ? x ? x ) ? 1 ? x ? x
2 1 2

,
2 3 4

(1 ? x ? x ) ? 1 ? 2 x ? 3 x ? 2 x ? x
2 2

,
4 5 6

(1 ? x ? x ) ? 1 ? 3 x ? 6 x ? 7 x ? 6 x ? 3 x ? x
2 3 2 3

,
6 7 8

(1 ? x ? x ) ? 1 ? 4 x ? 1 0 x ? 1 6 x ? 1 9 x ? 1 6 x ? 1 0 x ? 4 x ? x
2 4 2 3 4 5
?

, ??
2n

由以上等式推测:对于 n ? N ,若 (1 ? x ? x ) ? a ? a x ? a x ? ? ? a x 则 a ?
2 n 2 0 1 2 2n
2

.

13、在△ABC 中有如下结论:“若点 M 为△ABC 的重心,则 MA + MB + MC =0”,设 a,b,

c 分别为△ABC 的内角 A,B,C 的对边,点 M 为△ABC 的重心.如果 a MA +b MB +
则内角 A 的大小为 ; a=3,则△ABC 的面积为 14、给出下列四个命题:
2

3 c MC =0, 3

.

①命题“ ? x ? R , x ? 0 ”的否定是“ ? x ? R , x ? 0 ” ;
2

②线性相关系数 r 的绝对值越接近于 1,表明两个随机变量线性相关性越强; ③若 a,b ? ?0 ,1?, 则不等式
a
2

?b

2

?

1 4

成立的概率是

?
4



? ④函数 y ? log 2 ( x ? ax ? 2 ) 在 ?2, ? ? 上恒为正,则实数 a 的取值范围是 ? ? ? , ? ,其中
2

? ?

5? 2?

真命题的序号是 。 (请填上所有真命题的序号) 三、解答题 (共 6 小题,80 分,须写出必要的解答过程) 15、 (本题12分)已知向量 a ? (co s x , sin x ), b ? ( ? co s x , co s x ), c ? ( ? 1, 0 ). (1)若 x ?
?
6

?

?

?

,求向量 a 与 c 的夹角;
, 9?
? ? ] 时,求函数 f ( x ) ? 2 a ? b ? 1 的最大值。

?

?

(2)当 x ? [

?
2

8 ? ? π (3)设 f (x ) ? 2 a ?b ? 1 ,将函数 y ? f ( x ) 的图象向右平移 个单位后,再将得到的图象 6

上各点的横坐标伸长到原来的 4 倍,纵坐标不变,得到函数 y ? g ( x ) 的图象,求 y ? g ( x ) 的

单调递减区间

16、 (14 分)为了比较注射 A, B 两种药物后产生的皮肤疱疹的面积,选 200 只家兔做试验, 将这 200 只家兔随机地分成两组,每组 100 只,其中一组注射药物 A,另一组注射药物 B。 (Ⅰ)甲、乙是 200 只家兔中的 2 只,求甲、乙分在不同组的概率; (Ⅱ)下表 1 和表 2 分别是注射药物 A 和 B 后的试验结果.(疱疹面积单位:mm2)

(ⅰ)完成下面频率分布直方图,并比较注射两种药物后疱疹面积的中位数大小;

(ⅱ)完成下面 2×2 列联表,并回答能否有 99.9%的把握认为“注射药物 A 后的疱疹面积与 注射药物 B 后的疱疹面积有差异”.

17、 (12 分)沪杭高速公路全长 166 千米,假设某汽车从上海莘庄镇进入该高速公路后以不低 于 60 千米/时且不高于 120 千米/时的速度匀速行驶到杭州。 已知该汽车每小时的运输成本 (以 v (千米/时)的平方成正比,比例 元为单位)由可变部分和固定部分组成:可变部分与速度 系数为 0.02;固定部分为 200 元。 (1)把全程运输成本 y (元)表示为速度 v (千米/时)的函数,并指出函数的定义域; (2)汽车应以多大速度行驶才能使全程运输成本最小?最小运输成本为多少元?

18、 (14 分)如图,三棱柱 ABC ? A1 B 1 C 1 的底面是边长为 2 的 正三角形且侧棱垂直于底面,侧棱长是 3,D 是 AC 的中点。 (1)求证: B 1 C // 平面 A 1 BD ; (2)求二面角 A1 ? BD ? A 的大小; (3)求直线 AB 1 与平面 A 1 BD 所成的角的正弦值.

19、 (14 分)已知数列 { a n } 中, a1 ? 3, a n ? 1 ? 2 a n ? 1( n ? 1) (1)设 b n ? a n ? 1( n ? 1, 2, 3 ? ) ,求证:数列 { b n } 是等比数列; (2)求数列 { a n } 的通项公式 (3)设 c n ?
2
n

a n ? a n ?1

,求证:数列 { c n } 的前 n 项和 S n ?

1 3



20、 (14 分)已知函数 f ( x ) ?

1 2

a x ? 2 x , g ( x ) ? ln x .
2

(1)如果函数 y ? f ( x ) 在 [1, ? ? ) 上是单调增函数,求 a 的取值范围; (2)是否存在实数 a ? 0 ,使得方程
g (x) x ? f ? ( x ) ? ( 2 a ? 1) 在区间 ( 1 e , e ) 内有且只有两

个不相等的实数根?若存在,请求出 a 的取值范围;若不存在,请说明理由.

16、解: (Ⅰ)甲、乙两只家兔分在不同组的概率为
P ? 2 C 198 C 200
100 99

?

100 199

??4 分

(Ⅱ) (i)

图Ⅰ注射药物 A 后皮肤疱疹面积的频率分布直方图 率分布直方图

图Ⅱ注射药物 B 后皮肤疱疹面积的频

可以看出注射药物 A 后的疱疹面积的中位数在 65 至 70 之间,而注射药物 B 后的疱疹面积的 中位数在 70 至 75 之间,所以注射药物 A 后疱疹面积的中位数小于注射药物 B 后疱疹面积的 中位数。 ??8 分 (ii)表 3:

K

2

?

2 0 0 ? (7 0 ? 6 5 ? 3 5 ? 3 0 ) 100 ? 100 ? 105 ? 95

2

? 2 4 .5 6

由于 K2>10.828,所以有 99.9%的把握认为“注射药物 A 后的疱疹面积于注射药物 B 后的疱 疹面积有差异” 。

设 n 与 AA 1 所成角为 ? , 则 cos ? ?
? 二面角 A1 ? BD ? A 的大小是

n ? AA n ? AA

1

?

1 2



?? ?

?
3

1

?
3

(3)由已知,得 AB 1 =(-1, 3 , 3 ) ,n=( ? 则 cos ? ?
AB AB
1

3 ,0,1)

?n
1

?

21 7

n

? 直线 AB 1 与平面 A 1 B D 所成的角的正弦值为

21 7

(2)把方程

g (x) x
2

? f ? ( x ) ? ( 2 a ? 1) 整理为

ln x x

? a x ? 2 ? ( 2 a ? 1) ,
2

即为方程 a x ? (1 ? 2 a ) x ? ln x ? 0 . 设 H ( x ) ? a x ? (1 ? 2 a ) x ? ln x ( x ? 0 ) ,

原方程在区间( , e )内有且只有两个不相等的实数根, 即为函数 H ( x ) 在区间( , e )
e e
1 x

1

1

内有且只有两个零点. H ? ( x ) ? 2 a x ? (1 ? 2 a ) ?

?

2 a x ? (1 ? 2 a ) x ? 1
2

?

( 2 a x ? 1)( x ? 1) x

x

令 H ? ( x ) ? 0 ,因为 a ? 0 ,解得 x ? 1 或 x ? ? 当 x ? (0 ,1) 时, H ? ( x ) ? 0 ,
H ? ( x ) ? 0 , H ( x ) 是增函数. H ( x ) 在(
? H ? ? ?H ?H ? ? 1 ( ) ? 0, e ( x ) m in ? 0 , (e) ? 0,

1 2a

(舍) 当
x ? (1, ? ? )

H ( x ) 是减函数;



,

1 e

, e )内有且只有两个不相等的零点, 只需

?

1? a ?

e

2

? e

2e ? 1

????????14 分

P ( X ? 2)? P ( B C D )? P ( B C D )? P ( B C D )

? P ( B ) P (C ) P ( D )? P ( B ) P (C ) P ( D )? P ( B ) P (C ) P ( D )
1 4 3 8 1 2 1 4 5 8 1 2 3 4 3 8 1 2 17 64

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?



P ( X ? 3 ) ? P1 ?

3 64

. ?? 1 0 分

故 X 的分布列是
X
0

1
29 64

2
17 64

3

P

15 64

3 64

X

的数学期望 E X

? 0 ? 15 ? 1 ? 29 ? 2 ? 17 ? 3 ? 3 ? 9 64 64 64 64 8

. ?? 1 2 分

2 参 考 数 据 : x ? 77 . 5 , y ? 84 . 875 , ? ( x i ? x ) ? 1050 , ? ( x i ? x )( y i ? y ) ? 688 , i ?1 i ?1

8

8

1050 ? 32 . 4

, 457 ? 21 . 4 , 550 ? 23 . 5 )
25 ?8?5
15

解: (1)抽取男生数 40
5 3

人, 40

?8?3

??????????1 分

则共有 C 25 C 15 个不同样本??????????3 分



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