3986.net
小网站 大容量 大智慧
当前位置:首页 >> 数学 >>

山东省莱芜市2015届高三上学期期中考试数学(文)试卷


2014-2015 学年山东省莱芜市高三(上)期中数学试卷(文科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是正确的. 1.在复平面内,复数 对应的点位于( )

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.已知全集为 R,集合 A={x|x ﹣x﹣2≥0},则? RA=( ) A.{x|x<﹣1,或 x>2} B.{x|x<﹣1,或 x≥2} C.{x|﹣1<x<2} ≤2}
2

D. {x|﹣1≤x

3.为了得到函数 A.向左平移 C.向左平移 个单位 B.向右平移 个单位 D.向右平移

的图象,只需把函数 y=sin2x 的图象( 个单位 个单位



4.已知平面向量 , 满足| |=| |=2, ( +2 ) ?( ﹣ )=﹣2,则 与 的夹角为( A. B. C. D.



5.已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且满足 f(x+2)=f(x) .若当 x∈(﹣1,0) 时,f(x)=2 ,则 A.0 B.1 C. D.
﹣x

的值为(



6.下列说法正确的是( ) A.命题“p∨q”为真命题,则命题“p”和命题“q”均为真命题 B.已知 x∈R,则“x>1”是“x>2”的充分不必要条件 C.命题“若 am <bm ,则 a<b”的逆命题是真命题 2 2 D.命题“? x∈R,x ﹣x>0”的否定是: “? x∈R,x ﹣x≤0” 7.同时具有性质“①最小正周期是π,②图象关于 x= 函数”的一个函数是( A. C. D. ) B. 对称,③在 上是增
2 2

8.某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的 k 值是(



A.5

B.6

C.7

D.8
*

9.已知等差数列{an}的前 n 项的和为 Sn(n∈N ) ,且 an=2n+λ,当且仅当 n≥7 时数列{Sn} 递增,则实数λ的取值范围是( ) A. (﹣16,﹣14] B. (﹣16,﹣14) C.[﹣16,﹣14) D.[﹣16,﹣14] 10. (5 分) (2015? 银川校级二模)在下面四个图中,有一个是函数 f(x) = ( ) (a∈R,a≠0)的导函数 f′(x)的图象,则 f(﹣1)等于

A.

B.

C.

D.



二、填空题:本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共计 25 分. 11.函数 f(x)=x(3lnx+1)的图象在点(1,f(1) )处的切线方程为



12.在△ABC 中,已知 D 是 AB 边上一点,若 = .



,则λ﹣μ

13. △ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 若 c=
3 2

, b=

, B=120°, 则 a=



14.已知函数 f(x)=x ﹣ax ﹣3x,若 f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,实数 a 的取值 范围是 .

15.设数列{an}的首项 a1= ,前 n 项和为 Sn,且满足 2an+1+Sn=3( n∈N ) .则满足

*



< 的所有 n 的和为



三、解答题:本大题共 6 个小题,满分 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤. 16.已知函数 f(x)=ax +bx ,当 x=1 时,f(x)有极大值 1. (Ⅰ)求 a,b 的值; (Ⅱ)求函数 f(x)在区间 上的最大值和最小值.
3 2

17.已知向量 =(sinx+cosx,2cosx) , =(sinx+cosx,cosx) ,记 f(x)= ? (Ⅰ)求函数 f(x)的单调递增区间; (Ⅱ)若方程 f(x)﹣1=0 在区间(0,π)内有两个零点 x1,x2,求 x1+x2 的值. 18.已知等比数列{an}的各项均为正数,且 2a1+a2=15,a4 =9a1a5. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式. (Ⅱ)设 bn=log3a1+log3a2+…+log3an,数列 小值. 19.已知△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若 3b=5ccosA,tanA=2. (Ⅰ)求 tan C 的值; (Ⅱ)求角 B 的大小. 20.已知数列{an}满足 a1=1,且 an=2an﹣1+2 (n≥2 且 n∈N ) . (Ⅰ)求证: 是等差数列;
n * 2



的前 n 项和为 Sn,若 Sn>

,试求 n 的最

(Ⅱ)求数列{an}的通项公式; (Ⅲ)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,求 Sn. 21.已知 f(x)=xlnx,g(x)=﹣x +ax﹣6. (Ⅰ)求函数 f(x)的最小值; (Ⅱ)对一切 x∈(0,+∞) ,f(x)≥g(x)恒成立,求实数 a 的取值范围; (Ⅲ)证明:对一切 x∈(0,+∞) ,都有 f(x)> 成立.
2

2014-2015 学年山东省莱芜市高三 (上) 期中数学试卷 (文 科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是正确的. 1.在复平面内,复数 对应的点位于( )

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 考点: 复数的代数表示法及其几何意义. 专题: 计算题. 分析: 根据所给的复数的代数形式,先进行复数的除法运算,分子和分母同乘以分母的共 轭复数,整理出复数的代数形式的标准形式,写出点的坐标,看出点的位置. 解答: 解:∵复数 z= = = =﹣1+i,

∴复数对应的点的坐标是(﹣1,1) ∴复数对应的点的在第二象限, 故选 B 点评: 本题看出复数的代数形式的运算和复数的几何意义,本题解题的关键是正确运算复 数的除法运算,本题是一个基础题. 2.已知全集为 R,集合 A={x|x ﹣x﹣2≥0},则? RA=( ) A.{x|x<﹣1,或 x>2} B.{x|x<﹣1,或 x≥2} C.{x|﹣1<x<2} ≤2} 考点: 并集及其运算. 专题: 集合. 分析: 求解一元二次不等式化简集合 A,然后利用补集运算求解.
2 2

D. {x|﹣1≤x

解答: 解:∵A={x|x ﹣x﹣2≥0}={x|x≤﹣1 或 x≥2}, 则? RA={x|﹣1<x<2}. 故选:C. 点评: 本题考查了补集及其运算,考查了一元二次不等式的解法,是基础题.

3.为了得到函数 A.向左平移 C.向左平移 个单位 B.向右平移 个单位 D.向右平移

的图象,只需把函数 y=sin2x 的图象( 个单位 个单位



考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 直接利用函数的图象的平移原则求解即可.

解答: 解:

= 的图象,只需把函数 y=sin2x 的图象

,∴为了得到函数

向右平移

个单位.

故选:D. 点评: 本题考查函数的图象的平移变换,注意左加右减以及 x 的系数,基本知识的考查.

4.已知平面向量 , 满足| |=| |=2, ( +2 ) ?( ﹣ )=﹣2,则 与 的夹角为( A. B. C. D.



考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 设 与 的夹角为θ,由题意可得 4+2×2×cosθ﹣2×4=﹣2,解得 cosθ的值,再 结合θ∈[0,π],求得θ的值. 解答: 解:设 与 的夹角为θ,由题意可得 即 4+2×2×cosθ﹣2×4=﹣2,解得 cosθ= . 再结合θ∈[0,π],∴θ= , + ﹣2b =﹣2,
2

故选:B. 点评: 本题主要考查两个向量的数量积的定义,根据三角函数的值求角,属于中档题. 5.已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且满足 f(x+2)=f(x) .若当 x∈(﹣1,0) 时,f(x)=2 ,则 A.0 B.1 C. D. 考点: 抽象函数及其应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由题可先研究 log2(4 将 )的取值范围,利用函数的周期性与函数的奇函数的性质 的值用已知关系式表示出来,即可求出所求值.
﹣x ﹣x

的值为(



解答: 解:当 x∈(﹣1,0)时,f(x)=2 , 由题意函数 y=f(x)满足 f(x+2)=f(x) ,可得其周期是 2, 又 log2(4 )= ,

∴ 故选:D.

=f( )=f( +2)=f( )=﹣f(﹣ )=﹣

=﹣



点评: 本题考点是函数奇函数的性质,考查了奇函数的对称性,函数的周期性,对数的去 处性质,解题的关键是函数的性质,本题考察了转化的思想,本题是一个函数性质综合考查 题,此类题是每年高考必考题,规律较固定,题后要好好总结. 6.下列说法正确的是( ) A.命题“p∨q”为真命题,则命题“p”和命题“q”均为真命题 B.已知 x∈R,则“x>1”是“x>2”的充分不必要条件 C.命题“若 am <bm ,则 a<b”的逆命题是真命题 2 2 D.命题“? x∈R,x ﹣x>0”的否定是: “? x∈R,x ﹣x≤0” 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 简易逻辑. 分析: 利用复数命题的真假判断 A 的正误;充要条件判断 B 的正误;逆命题的真假判断 C 的正误;命题的否定判断 D 的正误; 解答: 解:对于 A,命题“p∨q”为真命题,则命题“p”和命题“q”均为真命题,显然 不正确,应该推出至少一个是真命题,所以 A 不正确. 对于 B,已知 x∈R,则“x>1”不能推出“x>2” ,反之成立,所以前者是后者的必要不充 分条件,不是充分不必要条件,所以 B 不正确. 对于 C,命题“若 am <bm ,则 a<b”的逆命题是:a<b 则 am <bm ,逆命题显然不正确, 因为 m=0 时不成立.判断为逆命题是真命题,是错误的,所以 C 不正确; 对于 D,命题“? x∈R,x ﹣x>0”的否定是: “? x∈R,x ﹣x≤0”符号特称命题与全称命 题的否定关系,是正确的,所以 D 正确. 故选:D. 点评: 本题考查命题的真假的判断与应用,考查充要条件,四种命题的逆否关系,复数命 题的真假,命题的否定,基本知识的考查.
2 2 2 2 2 2 2 2

7.同时具有性质“①最小正周期是π,②图象关于 x= 函数”的一个函数是( A. D. ) B. C.

对称,③在

上是增

考点: 正弦函数的对称性;正弦函数的单调性. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 利用正弦函数与余弦函数的周期性、对称性与单调性判断即可. 解答: 解:对于 y=f(x)=sin(2x﹣ f( 由﹣ )=sin ≤2x﹣ ) ,其周期 T= 对称, =π,

=1 为最大值,故其图象关于 x= ≤ 得,﹣ )在 ≤x≤ ,

∴y=f(x)=sin(2x﹣

上是增函数,

即 y=f(x)=sin(2x﹣

)具有性质①②③,

故选:A. 点评: 本题考查正弦函数与余弦函数的周期性、对称性与单调性的综合应用,考查转化思 想,属于中档题. 8.某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的 k 值是( )

A.5 B.6 C.7 D.8 考点: 程序框图. 专题: 算法和程序框图. 分析: 执行程序框图,写出每次循环得到的 S,k 的值,当 S=126,K=7 时不满足条件 S< 100,输出 K 的值为 7. 解答: 解:执行程序框图,有 k=1,S=0 满足条件 S<100,S=2,K=2; 满足条件 S<100,S=6,K=3; 满足条件 S<100,S=14,K=4; 满足条件 S<100,S=30,K=5; 满足条件 S<100,S=62,K=6; 满足条件 S<100,S=126,K=7; 不满足条件 S<100,输出 K 的值为 7. 故选:C. 点评: 本题主要考察了程序框图和算法,属于基础题. 9.已知等差数列{an}的前 n 项的和为 Sn(n∈N ) ,且 an=2n+λ,当且仅当 n≥7 时数列{Sn} 递增,则实数λ的取值范围是( ) A. (﹣16,﹣14] B. (﹣16,﹣14) C.[﹣16,﹣14) D.[﹣16,﹣14] 考点: 等差数列的前 n 项和;数列的函数特性. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由等差数列的求和公式可得 Sn=n +(λ+1)n,利用二次函数的单调性,列不等式组 即可求解. 解答: 解:∵an=2n+λ,∴a1=2+λ,
2 *

∴Sn= =n +(λ+1)n,
2

=

由二次函数的性质和 n∈N 可知:6.5<

<7.5 即可满足题意,

解不等式可得﹣16<λ<﹣14 故选:B 点评: 本题考查等差数列的性质,涉及二次函数的性质和不等式组的解法,属基础题. 10. (5 分) (2015? 银川校级二模)在下面四个图中,有一个是函数 f(x) = ( ) (a∈R,a≠0)的导函数 f′(x)的图象,则 f(﹣1)等于

A.

B.

C.

D.



考点: 函数的图象;导数的运算. 专题: 函数的性质及应用;导数的综合应用. 分析: 求出导函数,据导函数的二次项系数为正得到图象开口向上;利用函数解析式中有 2ax,故函数不是偶函数,得到函数的图象. 解答: 解:∵f′(x)=x +2ax+(a ﹣1) , ∴导函数 f′(x)的图象开口向上. 又∵a≠0, ∴f′(x)不是偶函数,其图象不关于 y 轴对称 其图象必为第四张图.由图象特征知 f′(0)=0,∴a ﹣1=0, 且对称轴﹣a>0, ∴a=﹣1. ∴函数 f(x)= x ﹣x +1, 故答案为 f(﹣1)=﹣ ﹣1+1=﹣ , 故选:B. 点评: 本题考查函数与其导函数的综合应用,三次函数与其导函数(二次函数)的关系, 综合考查二次函数的应用. 二、填空题:本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共计 25 分. 11.函数 f(x)=x(3lnx+1)的图象在点(1,f(1) )处的切线方程为 y=4x﹣3 . 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程.
3 2 2 2 2

专题: 导数的综合应用. 分析: 先 x=1 代入解析式求出切点的坐标,再求出函数的导数后代入求出 f′(1) ,即为 所求的切线斜率,再代入点斜式进行整理即可. 解答: 解:把 x=1 代入 f(x)=x(3lnx+1)得,f(1)=1, ∴切点的坐标为: (1,1) , 由 f′(x)=[x(3lnx+1)]′=3lnx+4,得在点 x=1 处的切线斜率 k=f′(1)=4, ∴在点 x=1 处的切线方程为:y﹣1=4x﹣4, 故答案为:y=4x﹣3. 点评: 本题考查了导数的几何意义和直线点斜式方程,关键求出某点处切线的斜率即该点 处的导数值,还有切点的坐标,利用切点在曲线上和切线上.基本知识的考查.

12. 在△ABC 中, 已知 D 是 AB 边上一点, 若



, 则λ﹣μ=



考点: 平面向量的基本定理及其意义. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由于 ,可得 比较即可得出. 解答: 解:如图所示, ∵ ∴ 化为 ∵ ∴λ= ,μ= , ∴λ﹣μ=﹣ . 故答案为:﹣ . . , , , ,化为 .与

点评: 本题考查了向量的三角形法则、向量相等,属于基础题. 13.△ABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c,若 c= ,b= ,B=120°,则 a= .

考点: 正弦定理. 专题: 计算题. 分析: 由正弦定理求得 sinC 的值,进而求得 C,进而求得 A 推断 a=c,答案可得. 解答: 解:由正弦定理 ,

∴ 故答案为 点评: 本题主要考查了正弦定理得应用.属基础题. 14.已知函数 f(x)=x ﹣ax ﹣3x,若 f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,实数 a 的取值 范围是 (﹣∞,0] . 考点: 导数的运算. 分析: 先对函数 f(x)=x ﹣ax ﹣3x 进行求导,转化成 f′(x)在[1,+∞)上恒有 f′ (x)≥0 问题,进而求出参数 a 的取值范围. 解答: 解:y=3x ﹣2ax﹣3, ∵f(x)在[1,+∞)上是增函数,? ∴f′(x)在[1,+∞)上恒有 f′(x)≥0,? 即 3x ﹣2ax﹣3≥0 在[1,+∞)上恒成立. 则必有 ≤1 且 f′(1)=﹣2a≥0, ∴a≤0. 实数 a 的取值范围是(﹣∞,0]. 故填: (﹣∞,0]. 点评: 主要考查函数单调性的综合运用,函数的单调性特征与导数之间的综合应用能力, 把两个知识加以有机会组合.
2 2 3 2 3 2

15.设数列{an}的首项 a1= ,前 n 项和为 Sn,且满足 2an+1+Sn=3( n∈N ) .则满足

*



< 的所有 n 的和为 7 .

考点: 数列递推式;数列的函数特性. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 根据递推数列,得到数列{an}是公比 q= ,首项 a1= 的等比数列,解不等式即可得 到结论. 解答: 解:∵2an+1+Sn=3, ∴2an+2+Sn+1=3, 两式相减得 2an+2+Sn+1﹣2an+1﹣Sn=0, 即 2an+2+an+1﹣2an+1=0, 则 2an+2=an+1, 当 n=1 时,2a2+a1=3,

则 a2= ,满足 2a2=a1,

即 2an+1=an,则

即数列{an}是公比 q= ,首项 a1= 的等比数列,

则前 n 项和为 Sn=

=3﹣3?( ) ,

n

=

=1+( ) ,

n





< ,
n n



<1+( ) < ,即
n

<( ) < ,

则 7<2 <17, 则 n=3 或 4, 则 3+4=7, 故答案为:7 点评: 本题主要考查递推数列的应用, 根据递推数列得到数列{an}是公比 q= , 首项 a1= 的 等比数列是解决本题的关键. 三、解答题:本大题共 6 个小题,满分 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤. 16.已知函数 f(x)=ax +bx ,当 x=1 时,f(x)有极大值 1. (Ⅰ)求 a,b 的值; (Ⅱ)求函数 f(x)在区间 上的最大值和最小值.
3 2

考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的极值. 专题: 计算题;导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)求导,由题意可知 ,从而求 a,b 的值;

(Ⅱ)代入 a,b 的值,求极值处的极值及端点值,从而求函数 f(x)在区间 的最大值和最小值. 解答: 解: (Ⅰ)∵f(x)=ax +bx ,∴f′(x)=3ax +2bx,
3 2 2



由题意可知 解得 a=﹣2,b=3;



(Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)=﹣2x +3x ,∴f′(x)=﹣6ax +6x=﹣6x(x﹣1) , 2 令 f′(x)=﹣6ax +6x=﹣6x(x﹣1)=0 可解得, x=0 或 x=1; ∵f(﹣ )=1, f(0)=0, f(1)=1, f(2)=﹣4; 故函数 f(x)在区间 上的最大值是 1,最小值为﹣4.

3

2

2

点评: 本题考查了导数的综合应用及闭区间上的最值,属于中档题.

17.已知向量 =(sinx+cosx,2cosx) , =(sinx+cosx,cosx) ,记 f(x)= ? (Ⅰ)求函数 f(x)的单调递增区间; (Ⅱ)若方程 f(x)﹣1=0 在区间(0,π)内有两个零点 x1,x2,求 x1+x2 的值.



考点: 正弦函数的单调性;函数的零点与方程根的关系;两角和与差的正弦函数. 专题: 函数的性质及应用;三角函数的求值;三角函数的图像与性质. 分析: (Ⅰ)首先根据向量的坐标运算求出 f(x)=(sinx+cosx) +2cos x 再通过恒等变 换求出 f(x)= ,进一步利用整体思想求出单调区间.
2 2

(Ⅱ)利用上一步的结论求出零点,最后进一步求出结果. 解答: 解: (Ⅰ)已知向量 =(sinx+cosx,2cosx) , =(sinx+cosx,cosx) , 所以:f(x)= ? 令: 解得: , ](k∈Z) ; =(sinx+cosx) +2cos x= (k∈Z) ,
2 2



所以函数 f(x)的单调递增区间为:[

(Ⅱ)方程 f(x)﹣1=0 在区间(0,π)内有两个零点 x1,x2 所以: 即: 因为:x∈(0,π) , , ,

所以: 解得: . ,



点评: 本题考查的知识要点:向量的坐标运算,三角函数关系式的恒等变换,正弦型函数 单调性的应用,函数零点的应用,属于基础题型. 18.已知等比数列{an}的各项均为正数,且 2a1+a2=15,a4 =9a1a5. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式. (Ⅱ)设 bn=log3a1+log3a2+…+log3an,数列 小值. 考点: 数列的求和;等比数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)设等比数列{an}的公比为 q,由等比数列的性质、通项公式化简条件,求出 q、 a1 的值,再求出 an; (Ⅱ)根据对数的运算律化简 bn,再求出 的前 n 项和为 Sn,代入不等式化简后求出 n 的最小值. 解答: 解: (Ⅰ)设等比数列{an}的公比为 q, 2 2 2 2 由 a4 =9a1a5 得,a4 =9a3 ,即 q =9, 因为各项均为正数,所以解得 q=3, 由 2a1+a2=15 得,2a1+3a1=15,解得 a1=3, n 所以 an=3 ; n (Ⅱ)因为 an=3 , 所以 bn=log3a1+log3a2+…+log3an=1+2+3+…+n= 则 =2( ) , )+( )+…+( )] , ,利用裂项相消法求出数列 的前 n 项和为 Sn,若 Sn> ,试求 n 的最
2

所以 Sn=2[(1﹣ )+( =2(1﹣ 由 )= ,

解得,n>39,

所以 n 的最小值为 40. 点评: 本题考查等比数列的性质、通项公式,对数的运算律,以及裂项相消法求出数列的 前 n 项和,属于中档题. 19.已知△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若 3b=5ccosA,tanA=2. (Ⅰ)求 tan C 的值;

(Ⅱ)求角 B 的大小. 考点: 正弦定理;两角和与差的正切函数. 专题: 三角函数的求值;解三角形. 分析: (Ⅰ)首先利用正弦的展开式求出 3sinAcosC=2sinCcosA,进一步求出结论. (Ⅱ)利用上部结论,进一步利用关系式的变换求得 B 的大小. 解答: 解: (Ⅰ)已知△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若 3b=5ccosA, 利用正弦定理得:3sinB=5sinCcosA 所以:3sin(A+C)=5sinCcosA 展开解得:3sinAcosC=2sinCcosA 即:3tanA=2tanC 由 tanA=2. 解得:tanC=3 (Ⅱ)在△ABC 中,A+B+C=π tanB=﹣tan(A+C)= 0<B<π 所以:B= 点评: 本题考查的知识要点: 三角函数关系的应用, 正弦定理的应用, 及相关的运算问题. 属 于基础题型. 20.已知数列{an}满足 a1=1,且 an=2an﹣1+2 (n≥2 且 n∈N ) . (Ⅰ)求证: 是等差数列;
n *

(Ⅱ)求数列{an}的通项公式; (Ⅲ)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,求 Sn. 考点: 数列递推式;等差关系的确定;数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列;点列、递归数列与数学归纳法. 分析:本题(Ⅰ)利用递推关系条件,根据等差数列定义,证明 是等差数列,得到本

题结论; (Ⅱ)根据(Ⅰ)得到数列

的通项公式,从而得到数列{an}的通项公式; (Ⅲ)

利用错位相减法,求出数列{an}的前 n 项和为 Sn,得到本题结论. n * 解答: 解: (Ⅰ)证明:∵数列{an}满足 an=2an﹣1+2 (n≥2 且 n∈N ) . ∴ ,







是等差数列.

(Ⅱ)解:∵数列{an}满足 a1=1, ∴ ,

由(Ⅰ)知:

是等差数列.





∴ (Ⅲ)解:由
0 1 2

. 得:
n﹣1

Sn=1? 2 +3? 2 +5? 2 +…+(2n﹣1)2 ,…① 1 2 3 n 2Sn=1? 2 +3? 2 +5? 2 +…+(2n﹣1)2 ,…② 1 2 3 n﹣1 n 将①﹣②得:﹣Sn=1+2? 2 +2? 2 +2? 2 +…+2? 2 ﹣(2n﹣1) ? 2, 1 2 3 n﹣1 n 即:﹣Sn=1+(2? 2 +2? 2 +2? 2 +…+2? 2 )﹣(2n﹣1) ? 2, =1+
n

﹣(2n﹣1) ? 2,

n

=﹣3+(3﹣2n) ? 2, n ∴Sn=(2n﹣3) ? 2 +3. 点评: 本题考查了构造数列法求数列通项、错位相减法求数列的和,本题有一定的计算量, 难度适中,属于中档题. 21.已知 f(x)=xlnx,g(x)=﹣x +ax﹣6. (Ⅰ)求函数 f(x)的最小值; (Ⅱ)对一切 x∈(0,+∞) ,f(x)≥g(x)恒成立,求实数 a 的取值范围; (Ⅲ)证明:对一切 x∈(0,+∞) ,都有 f(x)> 成立.
2

考点: 导数在最大值、最小值问题中的应用;函数恒成立问题. 专题: 导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)由 f(x)的定义域为(0,+∞) ,f′(x)=1+lnx,利用导数性质能求出函 数 f(x)的最小值.

(Ⅱ)由已知得 a≤lnx+x+ 对 x∈(0,+∞)恒成立,设 h(x)=lnx+x+ ,则

= 的取值范围.

, 由此利用导数性质结合已知条件能求出实数 a

(Ⅲ)由已知得当且仅当 x= 时,f(x)min=f( )=﹣ ,设 m(x)=

﹣ ,x∈(0,+

∞) , 则 m′ (x) =

, 由此利用导娄性质能证明对一切 x∈ (0, +∞) , 都有 f (x) >

成立. 解答: (Ⅰ)解:f(x)的定义域为(0,+∞) ,f′(x)=1+lnx, 当 x∈(0, )时,f′(x)<0,f(x)单调递减, 当 时,f′(x)>0,f(x)单调递增,

∴当 x= 时,f(x)min=f( )=﹣ . (Ⅱ)解:对一切 x∈(0,+∞) ,f(x)≥g(x)恒成立, 即 xlnx≥﹣x +ax﹣6 恒成立, 即 a≤lnx+x+ 对 x∈(0,+∞)恒成立, 设 h(x)=lnx+x+ ,
2



=

=



∵x∈(0,+∞) ,∴x∈(0,2)时,h′(x)<0,h(x)单调递减, 当 x∈(2,+∞) ,h′(x)>0,h(x)单调递增, ∴x∈(0,+∞)时,h(x)存在唯一极小值 h(2) ,即为最小值, ∴h(x)min=h(2)=5+ln2, ∵a≤lnx+x+ 对 x∈(0,+∞)恒成立,只需 a≤h(x)min 即可, ∴a≤5+ln2. (Ⅲ)证明:对一切 x∈(0,+∞) ,都有 f(x)> 由(Ⅰ)可知,f(x)=xlnx 在 x∈(0,+∞)时, 当且仅当 x= 时,f(x)min=f( )=﹣ , 恒成立,

设 m(x)=

﹣ ,x∈(0,+∞) ,则 m′(x)=



∴x∈(0,1)时,m′(x)>0,m(x)单调递增;

当 x∈(1,+∞)时,m′(x)<0,m(x)单调递减. ∴当且仅当 x=1 时,m(x)取得极大值也是最大值 m(1) , ∴m(x)max=m(1)=﹣ , ∴ , 成立.

∴对一切 x∈(0,+∞) ,都有 f(x)>

点评: 本题考查函数的最小值的求法,考查实数的取值范围的求法,考查不等式的证明, 解题时要认真审题,注意导数性质的合理运用.


推荐相关:

...2019学年高三上学期期中考试数学(文)试卷 Word...

山东省莱芜市2018-2019学年高三上学期期中考试数学(文)试卷 Word版含解析_数学_高中教育_教育专区。2018-2019 学年山东省莱芜市高三(上)期中数学试卷(文科) 最新...


山东省莱芜市2018届高三上学期期中考试数学(理)试...

山东省莱芜市2018届高三上学期期中考试数学(理)试题+Word版含答案 - 高三期中质量检测理科数学试题 第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小...


2015年山东省莱芜市中考数学试题及解析

2015年山东省莱芜市中考数学试题及解析_中考_初中教育_教育专区。课件园 http://www.kejianyuan.net 2015 年山东省莱芜市中考数学试卷一、选择题(本大题共 12 ...


山东省莱芜市2018届高三上学期期中考试生物试卷(含...

山东省莱芜市2018届高三上学期期中考试生物试卷(含答案) - 莱芜市 2018 届高三上学期期中考试 生物试题第Ⅰ卷(选择题 共 50 分) 一、选择题(每小题所列出的...


山东省莱芜市2015年中考数学试题(word版含解析)

如果存在,求点 F 的坐标;如果不存在,请说明理由. 2 2015 年山东省莱芜市中考数学试卷参考答案与试题解析 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 3 分) 1....


2015年山东省莱芜实验中学八年级上学期期中数学试...

2015年山东省莱芜实验中学八年级上学期期中数学试卷与解析答案 - 2014-2015 学年山东省莱芜实验中学八年级(上)期中数学试卷 (五四学制) 一、选择题(每题 3 分,...


【精品】2015年山东省莱芜实验中学八年级上学期期...

【精品】2015年山东省莱芜实验中学八年级上学期期中数学试卷带解析答案 - 2014-2015 学年山东省莱芜实验中学八年级(上)期中数学试卷 (五四学制) 一、选择题(每题...


山东省莱芜市2014届高三上学期期末考试数学文试题...

山东省莱芜市2014届高三上学期期末考试数学文试题(word版)_数学_高中教育_教育...莱芜市 2014 届高三上学期期末考试 文科数学 2014.1 本试卷分第 I 卷(选择...


2015年山东省莱芜实验中学七年级上学期数学期中试...

2015年山东省莱芜实验中学七年级上学期数学期中试卷带解析答案 - 2014-2015 学年山东省莱芜实验中学七年级(上)期中数学试卷 一、选择题(每小题 3 分,共 36 分...


2015年山东省莱芜实验中学七年级上学期数学期中试...

2015年山东省莱芜实验中学七年级上学期数学期中试卷和解析答案 - 2014-2015 学年山东省莱芜实验中学七年级(上)期中数学试卷 一、选择题(每小题 3 分,共 36 分...

网站首页 | 网站地图
3986 3986.net
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@qq.com