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2006 —2007学年 试卷


中国石油大学(北京)2006 ——2007 学年第一学期

《线性代数》期末考试试卷 A(闭卷考试)
班级:
题号 得分 一 二

姓名:
三 四 五

学号:
六 七 总分

一、填空题(本题 18 分,每小题 3 分)

?1? ?4? ? ? ? ? 1. 已知 ? ? ? 2 ? , ? ? ? ?1? ,求 (?? T )n = ?5? ?0? ? ? ? ?
2. 设 n 阶方阵 A 满足 A2 ? A ? 2E ? 0 ,则 ( A ? 5E)?1 ?





0 0 3. 已知 n 阶行列式 | A |? ? 0 n

1 0 ? 0 0

0 2 ? 0 0

? 0 ? 0 ? ? ,则 | A | 的第一行元素的代数余子式的和 ? n ?1 ? 0


A ? A ??? A ? 11 12 1n
?1 ? A ? ?2 ?2 ?

4. 设

a?

2 2? ? 1 2? 2 b? ? ,b ?



似 。









? ?1 ? ? ? ?

?1

? ? ? a? ?





5. 已知 ?1 ,? 2 ,?3 线性无关, ?1 ? ? 2 ,? 2 ? ?3 ,?3 ? ?1 线性 性 。

, ?1 ? ? 2 ,? 2 ? ?3 ,?1 ? ?3 线

6. 3 阶不可逆矩阵 A 有特征值 1,2, B ? 3 A2 ? 2 A ? 3E , | B | ?



二、选择题(本题 18 分,每小题 3 分)

? 2 2 2? ? ? 1. 二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) ? X ? 0 2 0 ? X 的秩为( ? 0 4 2? ? ?
T

)

A卷 第 1 页 共 6 页

( A) 0
2. 设齐次线性方程组 ( )

(B )

1

(C ) 2
T

( D) 3
T

Ax ? 0 的基础解系为 ?1 ? ?1, ?1,1,0,2? , ?2 ? ?1,1,0,1,1? , 则必有
( B)
( D)
?

( A)

A 是 3? 5 矩阵

R( A) ? 2

(C )

A 是 2? 4 矩阵

A 的列向量组线性相关
)

3. 设 A 为 n 阶可逆矩阵(其中 n ? 2 ) ,则 ? A?1 ? = (

(A )

?1 |A |A

( B) | A | A

(C ) | A?1 | A?1

( D) | A?1 | A

4. 3 阶方阵 A 可逆,将 A 的第一行乘以常数 a 加到第二行上去,得到方阵 B,则 BA?1 = ( )

?1 a 0? ? ? ( A) ? 0 1 0 ? ?0 0 1? ? ? ? 1 0 0? ? ? ( D) ? ?a 1 0 ? ? 0 0 1? ? ?

? 1 0 0? ? ? ( B) ? a 1 0 ? ? 0 0 1? ? ?

? 1 ?a 0 ? ? ? (C ) ? 0 1 0 ? ?0 0 1? ? ?

5.下面有四个命题,全部为正确命题的组合是(

)

①如果 ?1 , ? 2 ,?, ? n 线性无关,那么其中每一个向量都不是其余向量的线性组合;

②如果 ?1 , ? 2 ,?, ? n 线性相关,那么其中每一个向量都是其余向量的线性组合;

③ 若

?1 ,? 2 ,?,? n 线 性 无 关 , ?1 , ? 2 ,?, ? r 线 性 无 关 , 那 么

?1 ,? 2 ,?,? n , ?1 , ? 2 ,?, ? r 也线性无关;
④ 若

?1 ,? 2 ,?,? n 线 性 相 关 , ?1 , ? 2 ,?, ? r 线 性 相 关 , 那 么
A卷 第 2 页 共 6 页

?1 ,? 2 ,?,? n , ?1 , ? 2 ,?, ? r 也线性相关。
① ② ② ③ ③

( A)


(B )

(C )

(D) ①④
)

6. 设 Ax=0 是非齐次线性方程组 Ax=b 所对应的齐次线性方程组,则有(

( A) 若 Ax=b 有无穷多解,则 Ax=0 有非零解;
有零解;

( B ) 若 Ax=b 有无穷多解,则 Ax=0 仅

(C ) 若 Ax=0 仅有零解,则 Ax=b 有唯一解;
穷多解。

( D) 若 Ax=0 有非零解,则 Ax=b 有无

1 ? a1 1 1 1 ? a2 三、 (本题 10 分) 计算行列式 ? ? 1 1

? 1 ? 1 ,其中 a1 , a2 , ? , an 都不等于零 。 ? ? ? 1 ? an

?1 ?1 0 ? ? 2 1 3? ? ? ? ? T 四、 (本题 12 分)设 B ? ? 0 1 ? 1?, C ? ? 0 2 1 ? ,求满足 ? E ? C ?1B C T ? X ? B 的 ? ? ? ? ?0 0 1 ? ? 0 0 2? ? ? ? ?

?

?

矩阵 X 。

A卷 第 3 页 共 6 页

?1? ? ? 五、 (本题 15 分)已知向量组 A : ?1 ? ? 2 ? ,? 2 ?0? ? ?

? 1 ? ? ? a ? 2 ? ,? 3 ? ? ? ?3a ? ? ?

? ?1 ? ? ? ?2 ? , ? ? ? ? a ? 2b ? ? ?

? 1 ? ?? 3 ? ? ? ? ?3 ? ? ?

问当 a , b 为何值时,(1)向量 ? 不能由向量组 A 线性表示; (2)向量 ? 能由向量组 A 线性表示,且表示式唯一; (3)向量 ? 能由向量组 A 线性表示,且表示式不唯一,并求一般表 示式。

A卷 第 4 页 共 6 页

六、 (本题 15 分)
2 2 2 求正交矩阵 P,将二次型 f ( x1, x2 , x3 ) ? 2x1 ? 5x2 ? 5x3 ? 4x1x2 ? 4x1x3 ? 8x2 x3 化为标

准 形,并判断该二次型是否为正定二次型。

A卷 第 5 页 共 6 页

七、 (本题 12 分) (1)已知 Am?n ? (?1,? 2 ,?,? n ) ,且线性方程组 Am?n x ? 0 有形如 x ? (0, x2 ,?, xn )T 的非零解。证明:向量组 ? 2 ,?,? n 线性相关。 ( 2 ) A 为 三 阶 方 阵 , ? 为 三 维 列 向 量 , 已 知 向 量 组 ? , A? , A2? 线 性 无 关 , 且

A3? ? 3 A? ? 2 A2? ,证明:矩阵 B ? (? , A? , A4? ) 可逆。

A卷 第 6 页 共 6 页


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