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专题13 三角函数的图像和性质问题-备战2016高考技巧大全之高中数学黄金解题模板(解析版)

【高考地位】 近几年高考降低了对三角变换的考查要求,而加强了对三角函数的图象与性质的考查,因为函数的性 质是研究函数的一个重要内容,是学习高等数学和应用技术学科的基础,又是解决生产实际问题的工具, 因此三角函数的性质是高考的重点和难点。要充分运用数形结合的思想,把图象与性质结合起来,同时也 要能利用函数的性质来描绘函数的图象,这样既有利于掌握函数的图象与性质,又能熟练地运用数形结合 的思想方法。在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题,其试题难度属中档题. 【方法点评】 类型一 使用情景:一般三角函数类型 解题模板:第一步 第二步 第三步 例 1 函数 y ? cos( A.[kπ + 先将函数式化为基本三角函数的标准式,要特别注意参数 A, ? 的正负; 利用三角函数的辅助角公式一般将其化为同名函数,且在同一单调区间; 运用三角函数的图像与性质确定其单调区间. 求三角函数的单调区间 ? 4 ? 2 x) 的单调递增区间是( ) 5 π] 8 8 ? 5 C.[2kπ + ,2kπ + π ] 8 8 ,kπ + 【答案】B. ? 3 ? π ,kπ + ] 8 8 3 ? D.[2kπ - π ,2kπ + ](以上 k∈Z) 8 8 B.[kπ - 考点:三角函数单调性. 【点评】 本题解题的关键是将 增区间转化为 ? ? ? ? 4 利用余弦函数的图像将函数 y ? cos( ? 2 x) 的单调递 ? 2 x 作为一个整体, 4 4 ? ? 2 x 在区间 ? ?? ? 2k? , 2k? ? 上递减的. 【变式演练 1】已知函数 f ( x) ? sin( 2?x ? 轴,且 x1 ? x2 的最小值为 【答案】 [? 【解析】 ? 6 )(? ? 0), 直线 x ? x1 , x ? x2 是 y ? f ( x) 图像的任意两条对称 ? 2 .求函数 f ( x) 的单调增区间; ? 3 ? k? , ? 6 ? k? ], k ? Z . 试题分析:根据两条对称轴之间的最小距离求周期,根据周期求 ? ,根据公式求此函数的单调递增区间. 试 题 解 析 : 由 题 意 得 T ? ? , 则 ? ? 1,? f ( x) ? sin(2 x ? ? 6 ). 由 ? ? 2 ? 2 k? ? 2 x ? ? 6 ? ? 2 ? 2 k? , 解 得 ? ? 3 ? k? ? x ? ? 6 ? k? , k ? Z . 故 f ( x) 的单调增区间是 [? ? 3 ? k? , ? 6 ? k? ], k ? Z . 考点:1. y ? A sin ??x ? ? ? 的单调性; 【变式演练 2】已知函数 f ? x ? ? A sin(? x ? ? )+B ( A ? 0,? ? 0,? ? ? 2 ) 的一系列对应值如下表: x y ? 6 ?2 ? ? 3 5? 6 4 4? 3 11? 6 ?2 7? 3 17? 6 4 (1)根据表格提供的数据求函数 f ? x ? 的解析式; (2)求函数 f ? x ? 的单调递增区间和对称中心; 【答案】 (1) f ? x ? ? 3sin ? ?x? ?? ? (k? + ,) 1 (k ? Z) . 2 k? ? ? ( k ? Z ) ? ? 1 (2) ? 2k? ? 6 , 3 6 ? 3? ? ? ? 5? ? ? (2)当 2k? ? 增.令 x ? ? 2 ? x? ? 3 ? 2k ? ? ? ? 5? ? ? (k ? Z) ,即 x ? ? 2k? ? , 2 k? ? (k ? Z) 时,函数 f ? x ? 单调递 2 6 6 ? ? ? ? 3 =k? (k ? Z) ,得 x =k? + ? (k ? Z) ,所以函数 f ? x ? 的对称中心为 (k? + ,) 1 (k ? Z) . 3 3 ? 考点:1.三角函数解析式及基本性质;2.数形结合法 类型二 由 y ? A sin(? x ? ? ) 的图象求其函数式 使用情景:一般函数 y ? A sin(? x ? ? ) 求其函数式 解题模板:第一步 第二步 第三步 第四步 观察所给的图像及其图像特征如振幅、周期、与 x 轴交点坐标等; 利用特殊点代入函数解析式计算得出参数 A, ? , ? 中一个或两个或三个; 要从图象的升降情况找准第一个零点的位置,并进一步地确定参数; 得出结论. 例 2 已知函数 y ? A sin(? x ? ? ) y ? A sin(?x ? ?)(? ? 0, ? ? 解析式是( ) ? , x ? R) 的图象如图所示,则该函数的 2 ? ? x? ) 8 4 ? ? (C) y ? 4 sin( x ? ) 8 4 (A) y ? ?4 sin( 【答案】D ? ? x? ) 8 4 ? ? (D) y ? ?4 sin( x ? ) 8 4 (B) y ? 4 sin( 考点: y ? A sin ??x ? ? ? 的图像 【点评】本题的解题步骤是:首先根据已知图像与 x 轴的交点坐标可得其周期为 T ,进而可得 ? 的大小; 然后观察图像知其振幅 A 的大小;最后将图像与 x 轴的交点坐标代入函数的解析式即可得到 ? 的大小. 【变式演练 3】已知函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图象如图所示,则该函数的解析式可能是( y 1 ) O -1 ? 2? x 4 4 1 sin( x ? ) 5 5 5 4 4 1 (C) y ? sin( x ? ) 5 5 5 (A) y ? 【答案】A 3 1 sin(2 x ? ) 2 5 4 1 (D) y ? sin(2 x ? ) 5 5 (B) y ? 考点:由

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