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2014高中数学三角函数公式大全

三角公式汇总
一、任意角的三角函数
在角 ? 的终边上任取 一点 P( x, y ) ,记: r ? .. 正弦: sin ? ?
x2 ? y2 ,

y x y 余弦: cos ? ? 正切: tan ? ? r r x 注:我们还可以用单位圆中的有向线段表示任意角的三角函数:如图,与单位圆有关的 有向 线段 MP 、 OM 、 AT 分别叫做角 ? 的正弦线、余弦线、正切线。 ..

二、同角三角函数的基本关系式
商数关系: tan ? ?
sin ? 。 cos ?

平方关系: sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 。

三、诱导公式
⑴ ? ? 2k? (k ? Z ) 、 ? ? 、 ? ?? 、 ? ?? 、 2? ? ? 的三角函数值,等于 ? 的同名函数值, 前面加上一个把 ? 看成 锐角时原函数值的符号。 (口诀:函数名不变,符号看象限) ..
3? 3? ? ? 、 ? ? 的三角函数值,等于 ? 的异名函数值,前面加上一个 2 2 2 2 把 ? 看成 锐角时原函数值的符号。 (口诀:函数名改变,符号看象限) ..



?

?? 、

?

?? 、

四、和角公式和差角公式
sin(? ? ? ) ? sin ? ? cos ? ? cos? ? sin ? ; sin(? ? ? ) ? sin ? ? cos ? ? cos? ? sin ? cos(? ? ? ) ? cos? ? cos? ? sin ? ? sin ? ; c o s ?(? ? ) ? c o ? s ?c o ? s ?s i n ? ?s i n ? tan? ? tan ? t a? n ?t a n ? ; tan( ? ? ?) ? t an ?(? ? ) ? 1 ? tan? ? tan ? 1? t a ? n ?t a n ?

五、二倍角公式
2t a n ? 2 1? t a n ? cos2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2 cos2 ? ? 1 ? 1 ? 2 sin 2 ? … (?) 二倍角的余弦公式 (?) 有以下常用变形: (规律:降幂扩角,升幂缩角)
sin 2? ? 2 sin ? cos ?

t an 2? ?

1 ? cos2? ? 2 cos2 ? 1 ? cos2? ? 2 sin 2 ? 1 ? sin 2? ? (sin? ? cos? )2 1 ? sin 2? ? (sin? ? cos? )2 1 ? cos 2? 1 ? cos 2? sin 2? 1 ? cos 2? cos 2 ? ? ? , sin 2 ? ? , tan ? ? 。 2 2 sin 2? 1 ? cos 2?

六、万能公式(可以理解为二倍角公式的另一种形式)
2 tan ? 2 tan ? 1 ? tan2 ? cos 2 ? ? , , tan 2? ? 。 2 2 1 ? tan ? 1 ? tan 2 ? 1 ? tan ? 万能公式告诉我们,单角的三角函数都可以用半角的正切 来表示。 .. sin 2? ?

七、和差化积公式
sin ? ? sin ? ? 2 sin

???

2 2 ??? ??? sin ? ? sin ? ? 2 cos sin 2 2 ??? ??? cos ? ? cos ? ? 2 cos cos 2 2

cos

???

…⑴ …⑵ …⑶
1

…⑷ 2 2 了解和差化积公式的推导,有助于我们理解并掌握好公式: ??? ??? ??? ??? ?? ? ? ? ? ? ? sin ? ? sin? ? cos ? cos sin ? ? sin 2 ? 2 2 2 2 ? 2 ??? ??? ??? ??? ?? ? ? ? ? ? ? sin ? ? sin? ? cos ? cos sin ? ? sin 2 ? 2 2 2 2 ? 2 两式相加可得公式⑴,两式相减可得公式⑵。 ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? cos? ? cos? ? cos ? sin sin ? ? cos 2 ? 2 2 2 2 ? 2 ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? cos? ? cos? ? cos ? sin sin ? ? cos 2 ? 2 2 2 2 ? 2 两式相加可得公式⑶,两式相减可得公式⑷。

cos ? ? cos ? ? ?2 sin

???

sin

???

八、积化和差公式
1 ?sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? )?; cos ? ? sin ? ? 1 ?sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? )? 2 2 1 1 cos ? ? cos ? ? ?cos( ? ? ? ) ? cos(? ? ? )? ; sin ? ? sin ? ? ? ?cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? )? 2 2 我们可以把积化和差公式看成是和差化积公式的逆应用。 sin ? ? cos ? ?

九、辅助角公式: a sin x ? b cos x ? a 2 ? b 2 sin(x ? ? )
其中:角 ? 的终边所在的象限与点 ( a, b) 所在的象限相同, b b a , cos? ? , tan ? ? 。 sin ? ? a a2 ? b2 a2 ? b2 a b c ? ? ? 2 R ( R 为 ?ABC 外接圆半径) 十、正弦定理: sin A sin B sin C

十一、余弦定理
a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc ? cos A ; b2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac ? cos B ; c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab ? cosC

十二、三角形的面积公式
S ?ABC ?
S ?ABC S ?ABC

S?ABC

1 1 1 1 ? 底 ? 高 ; S ?ABC ? ab sin C ? bc sin A ? ca sin B (两边一夹角) 2 2 2 2 abc ? ( R 为 ?ABC 外接圆半径) ; 4R a?b?c ? ? r ( r 为 ?ABC 内切圆半径) 2 a?b?c ) ? p( p ? a)( p ? b)( p ? c) …海仑公式(其中 p ? 2

2


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