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高二文科学年统考概率统计解答题专项训练


高二文科学年统考概率统计解答题专项训练
姓名 1. 某工厂有 25 周岁以上(含 25 周岁)工人 300 名,25 周岁以下工人 200 名.为研究工人的日平均生产量是否与年 龄有关.现采用分层抽样 的方法,从中抽取了 100 名工人,先统计了他们某月的日平均生产件数,然后按工人 年龄在“25 周岁以上(含 25 周岁)”和“25 周岁以下”分为两组,在将两组工人的日平均生产件数分成 5 组: [50, 60) , [60, 70) , [70,80) , [80,90) , [90,100) 分别加以统计,得到如图所示的频率分布直方图. (1)从样本中日平均生产件数不足 60 件的工人中随机抽取 2 人,求至少抽到一名“25 周岁以下组”工人的频 率. (2)规定日平均生产件数不少于 80 件者为“生产能手”,请你根据已知条件完成 2 ? 2 的列联表,并判断是否 有 90% 的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”?

n ? ad ? bc ? 附表: k ? ,其中 n ? a ? b ? c ? d ? a ? b ?? c ? d ?? a ? c ?? b ? d ?
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2. 经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出 1 t 该产品获利润 500 元,未售出的产品,每 1 t 亏损 300 元。根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如右图所示。经销商为下一个销售季度购 进了 130 t 该农产品。以 X (单位: t , 100 ? X ? 150 )表示下一个销售季度内的市场需求量, T (单位: 元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润。 (Ⅰ)将 T 表示为 X 的函数;
(Ⅱ)根据直方图估计利润 T 不少于 57000 的概率;

3. 一个盒子里装有三张卡片,分别标记有数字 1,2,3,这三张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回地 抽取 3 次,每次抽取 1 张,将抽取的卡片上的数字依次记为 a,b,c. (1)求“抽取的卡片上的数字满足 a+b=c”的概率; (2)求“抽取的卡片上的数字 a,b,c 不完全相同”的概率.

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4. 据世行 2013 年新标准,人均 GDP 低于 1035 美元为低收入国家;人均 GDP 为 1035~4085 美元为中等偏下
收入国家; 人均 GDP 为 4085~12 616 美元为中等偏上收入国家; 人均 GDP 不低于 12 616 美元为高收入国家. 某 城市有 5 个行政区,各区人口占该城市人口比例及人均 GDP 如下表: 行政区 A B C D E 区人口占城市人口比例 25% 30% 15% 10% 20% 区人均 GDP(单位:美元) 8000 4000 6000 3000 10 000

(1)判断该城市人均 GDP 是否达到中等偏上收入国家标准; (2)现从该城市 5 个行政区中随机抽取 2 个, 求抽到的 2 个行政区人均 GDP 都达到中等偏上收入国家标准的概率.

5. 某企业有甲、乙两个研发小组,为了比较他们的研发水平,现随机抽取这两个小组往年

b , b ?,? a, b ?, a, b , b ?, b ?, b? , 研发新产品的结果如下: a, ? a, ? a, ? a, ? a,

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? ? ? ? ? ? ? a, b , a, b ,? a, b ?, a, b ,? a, b ?, b ? 其中 a, a 分别表示甲组研发成功和失败; b, b 分别 ? a,

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表示乙组研发成功和失败.

(I)若某组成功研发一种新产品,则给改组记 1 分,否记 0 分,试计算甲、

乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差,并比较甲、乙两组的研发水平; (II)若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品,试估算恰有一组研发成功的概率.

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6. 海关对同时从 A,B,C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测,从各地区进口此种商品的数量 (单位:件)如表所示.工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取 6 件样品进行检测. (1)求这 6 件样品中来自 A,B,C 各地区商品的数量; A B 地区 (2)若在这 6 件样品中随机抽取 2 件送往甲机构进行进一步检测, 50 150 数量 求这 2 件商品来自相同地区的概率.

C 100

7. 20 名学生某次数学考试成绩(单位:分)的频率分布直方图如图所示. (1)求频率分布直方图中 a 的值; (2)分别求出成绩落在[50,60)与[60,70)中的学生人数; (3)从成绩在[50,70)的学生中任选 2 人, 求此 2 人的成绩都在[60,70)中的概率.

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高二文科学年统考概率统计解答题专项训练参考答案
姓名 1. 某工厂有 25 周岁以上(含 25 周岁)工人 300 名,25 周岁以下工人 200 名.为研究工人的日平均生产量是否与年 龄有关.现采用分层抽样 的方法,从中抽取了 100 名工人,先统计了他们某月的日平均生产件数,然后按工人 年龄在“25 周岁以上(含 25 周岁)”和“25 周岁以下”分为两组,在将两组工人的日平均生产件数分成 5 组: [50, 60) , [60, 70) , [70,80) , [80,90) , [90,100) 分别加以统计,得到如图所示的频率分布直方图. (1)从样本中日平均生产件数不足 60 件的工人中随机抽取 2 人,求至少抽到一名“25 周岁以下组”工人的频 率. (2)规定日平均生产件数不少于 80 件者为“生产能手”,请你根据已知条件完成 2 ? 2 的列联表,并判断是否 有 90% 的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”?

n ? ad ? bc ? 附表: k ? ,其中 n ? a ? b ? c ? d ? a ? b ?? c ? d ?? a ? c ?? b ? d ?
2 2

解:(Ⅰ)由已知得,样本中有 25 周岁以上组工人 60 名, 25 周岁以下组工人 40 名 ∴样本中日平均生产件数不足 60 件的工人中, 25 周岁以上组工人有 60 ? 0.05 ? 3 (人), 记为 A1 , A2 , A3 ; 25 周岁以下组工人有 40 ? 0.05 ? 2 (人),记为 B1 , B2 从中随机抽取 2 名工人,所有可能的结果共有 10 种,他们是:

( A1 , A2 ) , ( A1 , A3 ) , ( A2 , A3 ) , ( A1 , B1 ) , ( A1 , B2 ) , ( A2 , B1 ) , ( A2 , B2 ) , ( A3 , B1 ) , ( A3 , B2 ) , ( B1 , B2 )
其中,至少有名“ 25 周岁以下组”工人的可能结果共有 7 种,它们是:

7 10 (Ⅱ) 由 频 率 分 布 直 方 图 可 知 , 在 抽 取 的 100 名 工 人 中 ,“ 25 周 岁 以 上 组 ” 中 的 生 产 能 手 60 ? 0.25 ? 15 (人),“ 25 周岁以下组”中的生产能手 40 ? 0.375 ? 15 (人),据此可得 2 ? 2 列联表如下: 生产能手 非生产能手 合计 15 45 60 25 周岁以上组 15 25 40 25 周岁以下组 30 70 100 合计
( A1 , B1 ) , ( A1 , B2 ) , ( A2 , B1 ) , ( A2 , B2 ) , ( A3 , B1 ) , ( A3 , B2 ) , ( B1 , B2 ) .∴所求的概率: P ?
∴得: K 2 ?

n(ad ? bc) 2 100 ? (15 ? 25 ? 15 ? 45) 2 25 ? ? ? 1.79 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d ) 60 ? 40 ? 30 ? 70 14

∵ 1.79 ? 2.706 ,∴没有 90% 的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”

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2. 经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出 1 t 该产品获利润 500 元,未售出的产品,每1 t 亏损 300 元。根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如右图所示。经销商为下一个销售季度购 进了 130 t 该农产品。以 X (单位: t , 100 ? X ? 150 )表示下一个销售季度内的市场需求量, T (单位: 元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润。 (Ⅰ)将 T 表示为 X 的函数;
(Ⅱ)根据直方图估计利润 T 不少于 57000 的概率;

3. 一个盒子里装有三张卡片,分别标记有数字 1,2,3,这三张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回地 抽取 3 次,每次抽取 1 张,将抽取的卡片上的数字依次记为 a,b,c. (1)求“抽取的卡片上的数字满足 a+b=c”的概率; (2)求“抽取的卡片上的数字 a,b,c 不完全相同”的概率. 解:(1)由题意,(a,b,c)所有的可能为: (1,1,1),(1,1,2),(1,1,3),(1,2,1),(1,2,2),(1,2,3),(1,3,1),(1,3,2),(1,3,3), (2,1,1),(2,1,2),(2,1,3),(2,2,1),(2,2,2),(2,2,3),(2,3,1),(2,3,2),(2,3,3), (3,1,1),(3,1,2),(3,1,3),(3,2,1),(3,2,2),(3,2,3),(3,3,1),(3,3,2),(3,3,3), 共 27 种. 解:设“抽取的卡片上的数字满足 a+b=c”为事件 A, 则事件 A 包括(1,1,2),(1,2,3),(2,1,3),共 3 种, 3 1 ∴P(A)= = . 27 9 1 因此,“抽取的卡片上的数字满足 a+b=c”的概率为 P= . 9 (2)设“抽取的卡片上的数字 a,b,c 不完全相同”为事件 B, 则事件 B 包括(1,1,1),(2,2,2),(3,3,3),共 3 种. 3 8 ∴P(B)=1-P( B )=1- = . 27 9 8 ∴“抽取的卡片上的数字 a,b,c 不完全相同”的概率为 P= . 9

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4. 据世行 2013 年新标准,人均 GDP 低于 1035 美元为低收入国家;人均 GDP 为 1035~4085 美元为中等偏下
收入国家; 人均 GDP 为 4085~12 616 美元为中等偏上收入国家; 人均 GDP 不低于 12 616 美元为高收入国家. 某 城市有 5 个行政区,各区人口占该城市人口比例及人均 GDP 如下表: 行政区 A B C D E 区人口占城市人口比例 25% 30% 15% 10% 20% 区人均 GDP(单位:美元) 8000 4000 6000 3000 10 000

(1)判断该城市人均 GDP 是否达到中等偏上收入国家标准; (2)现从该城市 5 个行政区中随机抽取 2 个, 求抽到的 2 个行政区人均 GDP 都达到中等偏上收入国家标准的概率. 解:(1)设该城市人口总数为 a,则该城市人均 GDP 为 8000×0.25a+4000×0.30a+6000×0.15a+3000×0.10a+10 000×0.20a =6400(美元). a ∵6400∈[4085,12 616), ∴该城市人均 GDP 达到了中等偏上收入国家标准. (2)“从 5 个行政区中随机抽取 2 个”的所有的基本事件是: {A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{B,C},{B,D},{B,E},{C,D},{C,E},{D,E},共 10 个. 设事件 M 为“抽到的 2 个行政区人均 GDP 都达到中等偏上收入国家标准”, 则事件 M 包含的基本事件是:{A,C},{A,E},{C,E},共 3 个. 3 ∴所求概率为 P(M)= . 10 5. 某企业有甲、乙两个研发小组,为了比较他们的研发水平,现随机抽取这两个小组往年 研发新产品的结果如下:

? ? ?a, b ?,?a, b ?,?a, b ?,?a, b ?,?a, b ?,?a, b ?,?a, b ?,?a, b ?, ? ? ? ? ? ? ?a, ?a ?a, , b ?, b ?,?a, b ?,?a, b ?,?a, b ?,?a, b ?, b? ? ?
a 分别表示甲组研发成功和失败; b, 其中 a, b 分别表示乙组研发成功和失败.
(I)若某组成功研发一种新产品,则给该组记 1 分,否记 0 分,试计算甲、乙两组研 发新产品的成绩的平均数和方差,并比较甲、乙两组的研发水平; (II)若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品,试估算恰有一组研发成功的概率. 解:(1)甲组研发新产品的成绩为 10 2 1,1,1,0,0,1,1,1,0,1,0,1,1,0,1,其平均数为 x甲 = = , 15 3 2 2 2 2 1 2 2 方差为 s甲 = ??1-3? ×10+?0-3? ×5?= . 15?? ? ? ? ? 9 乙组研发新产品的成绩为 9 3 1,0,1,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1,其平均数为 x 乙= = , 15 5 3 2 3 2 1 6 2 方差为 s乙 = ??1-5? ×9+?0-5? ×6?= . 15?? ? ? ? ? 25 2 ∵x 甲>x 乙,s2 甲<s乙,∴甲组的研发水平优于乙组.

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(2)记 E={恰有一组研发成功}. 在所抽得的 15 个结果中,恰有一组研发成功的结果是(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b), (a,b),(a,b),共 7 个, 7 7 ∴事件 E 发生的频率为 P= ,将频率视为概率,即得所求概率为 P(E)= . 15 15 6. 海关对同时从 A,B,C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测,从各地区进口此种商品的数量 (单位:件)如表所示.工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取 6 件样品进行检测. 地区 数量 A 50 B 150 C 100

(1)求这 6 件样品中来自 A,B,C 各地区商品的数量; (2)若在这 6 件样品中随机抽取 2 件送往甲机构进行进一步检测,求这 2 件商品来自相同地区的概率. 解:(1)∵样本容量与总体中的个体数的比是 6 1 1 1 1 = ,∴样本中包含三个地区的个体数量分别是:50× =1,150× =3,100× =2. 50 50 50 50+150+100 50 ∴A,B,C 三个地区的商品被选取的件数分别是 1,3,2. (2)设 6 件来自 A,B,C 三个地区的样品分别为:A;B1,B2,B3;C1,C2.则抽取的这 2 件商品构成的所有 基本事件为: {A,B1},{A,B2},{A,B3},{A,C1},{A,C2},{B1,B2},{B1,B3},{B1,C1},{B1,C2},{B2,B3} {B2,C1},{B2,C2},{B3,C1},{B3,C2},{C1,C2},共 15 个. 每个样品被抽到的机会均等,∴这些基本事件的出现是等可能的. 记事件 D 为“抽取的这 2 件商品来自相同地区”, 则事件 D 包含的基本事件有{B1,B2},{B1,B3},{B2,B3},{C1,C2},共 4 个. 4 4 ∴P(D)= ,即这 2 件商品来自相同地区的概率为 . 15 15 7. 20 名学生某次数学考试成绩(单位:分)的频率分布直方图如图所示. (1)求频率分布直方图中 a 的值; (2)分别求出成绩落在[50,60)与[60,70)中的学生人数; (3)从成绩在[50,70)的学生中任选 2 人, 求此 2 人的成绩都在[60,70)中的概率. 解:(1)据直方图知组距为 10,由 (2a+3a+7a+6a+2a)×10=1, 1 解得 a= =0.005. 200 (2)成绩落在[50,60)中的学生人数为 2×0.005×10×20=2. 成绩落在[60,70)中的学生人数为 3×0.005×10×20=3. (3)记成绩落在[50,60)中的 2 人为 A1,A2,成绩落在[60,70)中的 3 人为 B1,B2,B3, 则从成绩在[50,70)的学生中任选 2 人的基本事件共有 10 个,即 (A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3). 其中 2 人的成绩都在[60,70)中的基本事件有 3 个,即(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3). 3 ∴所求概率为 P= . 10

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