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人教版高中数学必修一 第一章 1.2.1 函数的概念

人教版高中数学必修一 第一章 1.2.1 函数的概念 1.2.1 [学习目标] 函数的概念 1.理解函数的概念, 了解构成函数的三要素.2.能正确使用区间表示数集.3.会求一些 简单函数的定义域、函数值. 知识点一 函数的概念 (1)函数的定义: 设A,B是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合 B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作y= f(x),x∈A. (2)函数的定义域与值域: 函数y=f(x)中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域,与x的值相对应的y值叫做函数 值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.显然,值域是集合B的子集. 知识点二 函数的三要素 函数的三个要素:定义域,对应关系,值域. (1)定义域 定义域是自变量x的取值集合.有时函数的定义域可以省略,如果未加特殊说明,函数的定义域 就是指能使这个式子有意义的所有实数x的集合. (2)对应关系 对应关系f是核心,它是对自变量x进行“操作”的“程序”或者“方法”,是连接x与y的纽带,按照这 一“程序”,从定义域集合A中任取一个x,可得到值域{y|y=f(x)且x∈A}中唯一确定的y与之对应. (3)值域 第 1 页 共 11 页 函数的值域是函数值的集合,通常一个函数的定义域和对应关系确定了,那么它的值域也会随 之确定. 思考 (1)符号“y=f(x)”中“f”的意义是什么? (2)有人认为“y=f(x)”表示的是“y等于f与x的乘积”,这种看法对吗? (3)f(x)与f(a)有何区别与联系? 答 (1)符号“y=f(x)”中“f”表示对应关系,在不同的具体函数中,“f”的含义不一样.例如y=f(x)= x2中,“f”表示的对应关系为因变量y等于自变量x的平方,从而f(a)=a2,f(x+1)=(x+1)2,而函 数y=f(x)=2x中,“f”表示的对应关系为因变量y等于自变量x的二倍,从而f(a)=2a,f(x+1)=2(x +1). (2)这种看法不对. 符号y=f(x)是“y是x的函数”的数学表示,应理解为x是自变量,它是关系所施加的对象;f是对应 关系,它可以是一个或几个解析式,可以是图象、表格,也可以是文字描述;y是自变量的函数, 当x允许取某一具体值时,相应的y值为与该自变量值对应的函数值.y=f(x)仅仅是函数符号,不 表示“y等于f与x的乘积”.在研究函数时,除用符号f(x)外,还常用g(x),F(x),G(x)等来表示函数. (3)f(x)与f(a)的区别与联系:f(a)表示当x=a时,函数f(x)的值,是一个常量,而f(x)是自变量x的函 数,一般情况下,它是一个变量,f(a)是f(x)的一个特殊值,如一次函数f(x)=3x+4,当x=8时, f(8)=3×8+4=28是一个常数. 知识点三 函数相等 如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,我们就称这两个函数相等. 思考 函数y=x2+x与函数y=t2+t相等吗? 答 相等,这两个函数定义域相同,都是实数集R,而且这两个函数的对应关系也相同,因此 这两个函数相等.函数相等与否与自变量用什么字母没有关系,只是习惯上自变量用x表示. 知识点四 区间概念 区间的定义、名称、符号及数轴表示如下表: 定义 {x|a≤x≤b} {x|a<x<b} {x|a≤x<b} {x|a<x≤b} 名称 闭区间 开区间 半闭半开区间 半开半闭区间 符号 [a,b] (a,b) [a,b) (a,b] 数轴表示 第 2 页 共 11 页 {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x<a} R [a,+∞) (a,+∞) (-∞,a] (-∞,a) (-∞,+∞) 取遍数轴上所有的值 思考 (1)对于区间[a,b]而言,区间端点a,b应满足什么关系? (2)区间是数集的另一种表示方法,那么任何数集都能用区间表示吗? (3)“∞”是数吗?如何正确使用“∞”? 答 (1)若a,b为区间的左右端点,则a<b. (2)不是任何数集都能用区间表示,如集合{0}就不能用区间表示. (3)“∞”读作“无穷大”,是一个符号,不是数.以“-∞”或“+∞”作为区间一端时,这一端必须是 小括号. 题型一 函数概念的应用 例1 设M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2},给出下列四个图形,其中能表示从集合 M到集合N ) 的函数关系的有( A.0个 B.1个C.2个 D.3个 答案 B 解析 ①错,x=2时,在N中无元素与之对应,不满足任意性.②对,同时满足任意性与唯一性. ③错,x=2时,对应元素y=3?N,不满足任意性.④错,x=1时,在N中有两个元素与之对应, 不满足唯一性. 反思与感悟 1.判断一个对应关系是不是函数关系的方法:(1)A,B必须都是非空数集;(2)A中 任意一个数在B中必须有并且是唯一的实数和它对应. 注意:A中元素无剩余,B中元素允许有剩余. 第 3 页 共 11 页 2.函数的定义中“任意一个x”与“有唯一确定的y”说明函数中两变量x,y的对应关系是“一对一”或 者是“多对一”而不能是“一对多”. 跟踪训练1 下列对应关系式中是A到B的函数的是( A.A?R,B?R,x2+y2=1 B.A={-1,0,1},B={1,2},f:x→y=|x|+1 C.A=R,B=R,f:x→y= D.A=Z,B=Z,f:x→y= 答案 B 解析 对于A,x2+y2=1可化为y=±,显然对任意x∈A,y值不唯一,故不符合.对于B,符合函 数的定义.对于C,2∈A,但在集合B中找不到与之相对应的数,故不符合.对于D,-1∈A,但在 集合B中找不到与之相对应的数,故不符合. 题型二 判断是否为同一函数 例2 判断下列函数是否为同一函数: (1)f(x)=与g(x)= (2)f(x)=与g(x)=; (3)f(x)=x2-2x-1与g(t

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