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高中数学高考高三理科一轮复习资料第2章 2.3 导数的应用(2)


高中数学 2.3 导数的应用(二) 考纲点击 1.会求闭区间上函数的最大值、 最小值(其中多项式函数一 般不超过三次) 2.会利用导数解决某些简单的实际问题. 说基础 课前预习读教材 考点梳理 一、函数的最值与导数 1.函数 f(x)在[a,b]上有最值的条件: 一般地,如果在区间[a,b]上,函数 y=f(x)的图象是一条 ①______不断的曲线,那么它必有最大值和最小值. 2.求函数 y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤为: (1)求函数 y=f(x)在(a,b)内的②______. (2)将函数 y=f(x)的各极值与③______的函数值 f(a),f(b) 比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值. 二、利用导数研究生活中的优化问题 1.生活中常遇到求利润最大,用料最省、效率最高等一 些实际问题,这些问题通常称为优化问题. 2.利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤: 答案:①连续 ②极值 ③端点处 考点自测 1.下列命题中真命题是( ) A.函数的最大值一定是函数的极大值 B.函数的极大值可能会小于这个函数的极小值 C.函数在某一闭区间上的极小值就是函数在这一区间上 的最小值 D.函数在开区间内不存在最大值和最小值 解析:极值是局部问题,而最值是整体问题. 答案:B 2. 函数 f(x)=x3-3x2+2 在区间[-1,1]上的最大值是( ) A.-2 B.0 C .2 D.4 解析: f′(x)=3x2-6x, 令 f′(x)=0, 得 x=0, x=2(舍去). 比 较 f(-1),f(0),f(1)的大小知 f(x)max=f(0)=2,选 C. 答案:C 3.函数 f(x)=x+2cosx π π π A.0 B. C. D. 6 3 2 ? π? 在?0,2?上的最大值点为( ? ? ) 又 ? π? π 解析: f ′(x)=1-2sinx, f ′(x)=0 在?0,2?上仅有一解 , 6 ? ? ?π ? π ?π? π ?π ? f(0)=2,f?6?= + 3,f?2?= ,比较可知 f?6?为最大值. ? ? 6 ? ? 2 ? ? 答案:B 4. 已知函数 f(x)=x3-12x+8 在区间[-3,3]上的最大值与 最小值分别为 M,m,则 M-m=__________. 解析:f′(x)=3x2-12,令 f′(x)=0,得 x=± 2. ∴f(3)=-1,f(-3)=17,f(2)=-8,f(-2)=24, 则 M=24,m=-8,∴M-m=32. 答案:32 5.面积为 S 的一矩形中,其周长最小时的边长是 __________. S 解析:设矩形的一边边长为 x,则另一边边长为x , 2S 2S 其周长为 l=2x+ x ,x>0,l′=2- x2 ,令 l′=0,解得 x= S,易知,当 x= S时,其周长最小. 答案: S 说考点 拓展延伸串知识 疑点清源 1.函数的最大值与最小值的理解 最值是一个整体性概念, 是指函数在给定区间(或定义域)内所有 函数值中最大的值与最小的值,在求函数的最值时,要注意以下几 点: (1)最值与极值的区别 极值是指某一点附近函数值的比较.因此,同一函数在某一点 的极大(小)值,可以比另一点的极小(大)值小(大);而最大、最小值 是指闭区间[a,b]上所有函数值的比较,因而在一般情况下,两者是 有区别的,极大(小)值不一定是最大(小)值,最大(小)值也不一定是 极大(小)值,但如果连续

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