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湖北省荆门市2014-2015学年下学期期末考试高二文科数学试题 Word版含答案


荆门市 2014-2015 学年度期末质量检测

高二数学(文科)
注意事项:1. 答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填在答题卡上。 2. 选择题每小题选出答案后, 用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑, 如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,答在试题卷上无效。 3. 填空题和解答题答在答题卡上每题对应的答题区域内,答在试题卷上无效。

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.已知集合 M ? {x | ?3 ? x ? 1} , N ? {?3, ?2, ?1, 0,1} ,则 M I N ? A. {?2, ?1, 0,1} 2. B. {?3, ?2, ?1, 0} C. {?2, ?1, 0} D. {?3, ?2, ?1}

1? i (1 ? i )
2

?

1? i (1 ? i ) 2

?
B. 1 C. ? i D. i

A. ? 1

3.我国古代数学名著《数书九章》中有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米 1534 石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得 254 粒内夹谷 28 粒.则这批米内夹谷约为 A.134 石 B.169 石 C.338 石 D.1365 石

4.甲:函数 f ( x) 是 R 上的单调递增函数;乙:?x1 , x2 ? R, 当 x1 ? x2 时,有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) . 则甲是乙的 A.充分不必要条件 C.充要条件 5.在区域 ? A.0 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 内任意取一点 P ( x, y ) ,则事件“ x2 ? y 2 ? 1 ”的概率是

?0 ≤ x ≤ 1, ?0 ≤ y ≤ 1.

B.

π 1 ? 4 2

C.

π 4

D. 1 ?

π 4

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6.已知变量 x 和 y 满足关系 y ? 0.1x ? 10 ,变量 z 与 y 负相关,则下列结论中正确的是 A. x 与 y 负相关, x 与 z 负相关 C. x 与 y 正相关, x 与 z 负相关 B. x 与 y 正相关, x 与 z 正相关 D. x 与 y 负相关, x 与 z 正相关

7.在右面的程序框图表示的算法中,输入三个实数
a , b , c ,要求输出的 x 是这三个数中最大的数,

那么在空白的判断框中,应该填入 A. x ? c ? B. c ? x ? C. c ? b ? D. c ? a ? 8.某设备的使用年限 x (单位:年)与所支付的维修费用 y (单位:千元)的一组数据 如下表: 使用年限 x 维修费用 y 2 2 3 3.4 4 5 5 6.6

? ?a 从散点图分析可知 y 与 x 线性相关,根据上表中数据可得其线性回归方程 y ? ? bx ?
? ? 1.54 .由此预测该设备的使用年限为 6 年时需支付的维修费用是 中的 b
A. 7.2 千元 9.椭圆 C : B. 7.8 千元 C. 8.1 千元 D. 9.5 千元

x2 16

?

y2 9

P 是 C 上异于顶点的任一点,则直 ? 1 的左、右顶点分别为 A 1, A 2 ,点

线 PA2 与直线 PA1 的斜率之积是 A. ?

3 4

B. ?

9 16

C. ?

4 3

D. ?

16 9

10.袋内分别有红、白、黑球 3,2,1 个,从中任取 2 个,则互斥而不对立的两个事件是 A.至少有一个白球;都是白球 C.恰有一个白球;一个白球一个黑球 B.至少有一个白球;至少有一个红球 D.至少有一个白球;红、黑球各一个

高二数学(文科) ·第 2 页(共 8 页)

11.设 min{ p, q } 表示 p , q 两者中的较小者,若函数 f ( x) = min{3 - x, log2 x } ,则满 足 f ( x) ≤

1 2

的 x 的集合为

5 +? ) A. (0, 2] U [ , 2 5 C. (0, 2] U [ , + ) 2

5 B. [ 2, ] 2 5 +? ) D. (0,2) U ( , 2

12.已知函数 f ( x) ? ax3 ? 3x2 ? 1 ,若 f ( x) 存在唯一的零点 x 0 ,且 x0 ? 0 ,则 a 的取值范围是 A. (2, ??) B. (1, ??) C. (??, ?1) D. (??, ?2)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请将答案填在答题卡对应题号的位 置上,答错位置,书写不清,模棱两可均不得分)

1 2 ▲ x 的准线方程是 4 14. 直线 y ? k ( x ? 1) 与曲线 f ( x) ? ln x ? ax ? b 相切于点 P(1, 2) ,则 2a ? b ?
13.抛物线 y ? 15.已知数列 {an } 满足对 n ? N * ,有 an ?1 ? 16.已知圆 O : x ? y ? 8 ,点 A(2,0)
2 2

▲ ▲



1 1 ,若 a1 ? ,则 a2015 ? 2 1 ? an

,动点 M 在圆上,则 ?OMA 的最大值为





三、解答题(本大题 6 小题,第 17-21 题各 12 分,第 22 题 10 分,共 70 分.解答时应写 出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 12 分)已知函数 y ? (Ⅰ )求 M ; (Ⅱ)当 x ? M 时,求 f ( x) ? a ? 2
x ?1

1? x ? lg(3 ? 4 x ? x 2 ) 的定义域为 M . 1? x

? 4x (a ? 0) 的最小值.

18. (本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知圆 P 在 x 轴上截得线段长为 2 2 , 在 y 轴上截得线段长为 2 3 . (Ⅰ )求圆心 P 的轨迹方程; (Ⅱ)若 P 点到直线 y ? x 的距离为

2 2

,求圆 P 的方程.

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19.(本小题满分 12 分)某篮球队甲、乙两名队员在本赛季已结束的 8 场比赛中得分统计的 茎叶图如下: 甲 9 6 3 3 8 7 1 3 0 1 2 乙 7 0 1 8 5 3 7 9

(Ⅰ )比较这两名队员在比赛中得分的均值和方差的大小; (Ⅱ ) 从乙比赛得分在 20 分以下的 6 场比赛中随机抽取 2 场进行失误分析, 求抽到恰好 有 1 场得分不足 10 分的概率.

20.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x ) ? (Ⅰ) 求函数 f ( x) 的极大值;

1 ? ln x x k x ?1



(Ⅱ) 如果当 x ≥ 1 时,不等式 f ( x ) ≥

恒成立,求实数 k 的取值范围.

21.(本小题满分 12 分) 已知点 A 为圆 C : x2 ? y 2 ? 9 上一动点, AM ? x 轴,垂足为 M . 动点 N 满足 ON ?

uuu r

3 uur 3

OA ? (1 ?

3 uuur )OM ,设动点 N 轨迹为曲线 C1 . 3

(Ⅰ)求曲线 C1 的方程; (Ⅱ)斜率为 ?2 的直线 l 与曲线 C1 交于 B 、 D 两点,求△ OBD 面积的最大值.

22.(本小题满分 10 分) 设 f ( x) ?| x ? 3 | ? | x ? 4 | . (Ⅰ )解不等式 f ( x) ≤ 2 ; (Ⅱ )若存在实数 x 满足 f ( x) ≤ ax ? 1 ,试求实数 a 的取值范围.

高二数学(文科) ·第 4 页(共 8 页)

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高二数学(文)参考答案及评分说明
命题:龙泉中学 郑胜 市教研室 方延伟 审题: 龙泉中学 刘灵力 吴金玉 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) CABAC CBCBD CD 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. y ? ?1

4 三、解答题(本大题 6 小题,第 17-21 题各 12 分,第 22 题 10 分,共 70 分)

14.2

15.2

16.

π

? 1? x ≥ 0, ? 17. (Ⅰ)依题意, ? 1 ? x ,????????????????????????2 分 2 ? ?3 ? 4 x ? x ? 0
??1 ≤ x ? 1, 解得 ? ? x ? 1或x ? 3 ∴ M ? [?1,1) .
(Ⅱ)? f ( x) ? a ? 2
x ?1

??????????????????????????????4 分 ??????????????????????????????6 分

? 4x ? (2x ? a)2 ? a2

???????????????????8 分

1 又 ≤ 2x ? 2 , a ? 0 ,? ? a ? 0 . 2
2 2 令 t ? 2 ? [ , 2) ,则 f ( x) ? g (t ) ? (t ? a) ? a 在 [ , 2) 上单调递增,????10 分
x

1 2

1 2

故当 t ?

1 2

,即 x ? ?1 时, f ( x) min ? a ?

1 4

.?????????????????12 分
?????????????4 分

18. (Ⅰ)设 P ( x, y ) ,其半径为 r ,由已知得 ? 消去 r 得 y ? x ? 1
2 2

2 2 ? ?x ? 3 ? r 2 2 ? ?y ? 2 ? r

???????????????????????????6 分

?b 2 ? a 2 ? 1 ? (Ⅱ)设此时 P ( a, b) ,则有 ? | a ? b | 2 ????????????????????8 分 ? ? 2 ? 2 ?a ? 0 解得 ? ,则圆 P 的半径 r ? 3 ??????????????????????10 分 ?b ? ?1 2 2 故圆 P 的方程为 x ? ( y ? 1) ? 3 . ??????????????????????12分
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1 19. (Ⅰ ) x 甲 = (7 ? 9 ? 11 ? 13 ? 13 ? 16 ? 23 ? 28) ? 15 , 8 1 ??????????????2 分 x 乙 = (7 ? 8 ? 10 ? 15 ? 17 ? 19 ? 21 ? 23) ? 15 8 1 s 2 甲 = [(?8) 2 ? (?6) 2 ? (?4) 2 ? (?2) 2 ? (?2) 2 ? 12 ? 82 ? 132 ] ? 44.75 8 1 s 2 乙 = [(?8) 2 ? ( ?7) 2 ? ( ?5) 2 ? 0 2 ? 2 2 ? 4 2 ? 6 2 ? 82 ] ? 32.25 ??????4 分 8 甲、乙两名队员的得分均值相等;甲的方差较大(乙的方差较小) .??????6 分
(Ⅱ )题设所述的 6 个场次乙得分为:7,8,10,15,17,19. ?????????7 分 从中随机抽取 2 场,这 2 场比赛的得分如下: (7,8),(7,10),(7,15),(7,17),(7,19), (8,10),(8,15),(8,17),(8,19), (10,15),(10,17),(10,19), (15,17),(15,19), (17,19), 共 15 种可能, ?????????????????????????????9 分 其中恰好有 1 场得分在 10 分以下的情形是: (7,10),(7,15),(7,17),(7,19), (8,10),(8,15),(8,17),(8,19), 共 8 种可能,所求概率 P= 8 . ???????????????????????12 分 15

20.(Ⅰ)函数的定义域为 (0, ??) , f ?( x) ?

1 ? 1 ? ln x ln x ?? 2 . 2 x x

??????????2 分

令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 1 ;当 x ? (0,1) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 单调递增; 当 x ? (1, ??) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 单调递减. ????????????????4 分 所以, x ? 1 为极大值点, 其极大值为 f (1) ? 1 .????????????????6 分 (Ⅱ)当 x ≥ 1 时, k ≤ 令 g ( x) ?

( x ? 1)(1 ? ln x) x




????????????????7 分

( x ? 1)(1 ? ln x) x

1 [1 ? ln x ? 1 ? ]x ? ( x ? 1)(1 ? ln x) x ? ln x x 则 g ?( x) ? ? 2 x x2
高二数学(文科) ·第 6 页(共 8 页)

???????????8 分

再令 h( x) ? x ? ln x ,则 h?( x ) ? 1 ?

1 x

≥ 0 ,所以 h( x) ≥ h(1) ? 1 ,
????????????????10 分 ????????????????12 分

所以 g ?( x) ? 0 ,所以 g ( x) 为单调增函数, 所以 g ( x) ≥ g (1) ? 2 ,故 k ≤ 2 . 21.(Ⅰ )设动点 N ( x, y ) , A( x0 , y0 ) , ∵AM ? x 轴

∴M ( x0 , 0)

∴ON ? ( x, y) , OA ? ( x0 , y0 ) , OM ? ( x0 , 0) ?????????????????2 分 ∵ON =

3 3 ) OM OA +(1 ? 3 3
? ? x0 ? x ? ? y0 ? 3 y
2 2

? x ? x0 ? ∴? 3 y0 ?y ? 3 ?
∵x02 ? y02 ? 9

∴?

??????????????????????4 分

∴x ? 3 y ? 9 ∴N 点的轨迹方程为

x2 y 2 ? ? 1 ;?????6 分 9 3

(Ⅱ )由题意可设直线 l 的方程 2 x ? y ? m ? 0(m ? 0)

?2 x ? y ? m ? 0 ? 2 2 2 得 13x ? 12mx ? 3m ? 9 ? 0 ?x y2 ?1 ? ? 3 ?9
∵ 直线和曲线 C1 交于相异两点,∴? ? 144m2 ? 4 ?13 ? (3m2 ? 9) ? 0 ? m2 ? 39 ?8 分 ∴| BD |? 1 ? k | x1 ? x2 |? 5 ?
2

468 ? 12m2 13

?

2 5 ? 117 ? 3m2 13

又∵O 点到直线 l 的距离为

|m| 5

∴S?OBD

1 | m | 2 5 ? 117 ? 3m2 ? ? ? ? 2 5 13

m2 (117 ? 3m2 ) 13
2

?

3m2 (39 ? m2 ) 13
2

??10 分

3 2 3 ? 39 2 2 2 2 ∵3m (39 ? m ) ≤ [ m ? (39 ? m )] ? 4 4

(当且仅当 m ?

39 2

时取等号)

高二数学(文科) ·第 7 页(共 8 页)

∴S?OBD ≤

39 3 2 ? 13

?

3 3 2

∴ △ OBD 面积的最大值为

3 3 .?????????12 分 2

?7 ? 2 x, x ? 3, ? 3 ≤ x ≤ 4, 22. (Ⅰ ) f ( x ) ?| x ? 3 | ? | x ? 4 |? ?1, ?2 x ? 7, x ? 4. ?

?????????????? 2 分

作函数 y ? f ( x ) 的图象,它与直线 y ? 2 交点的横坐标为

5 2



9 2

,由图象知

5 9 不等式 f ( x) ≤ 2 的解集为 [ , ] . 2 2

??????????????????????5 分

(Ⅱ )函数 y ? ax ? 1 的图象是过点 (0, ?1) 的直线. 当且仅当函数 y ? f ( x ) 与直线 y ? ax ? 1 有公共点时,存在题设的 x .????7 分

1 由图象知, a 取值范围为 ( ??, ?2) U [ , ??) . ?????????????? 10 分 2

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