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专题14 函数单调性的判断与证明-高中数学精品小课件(必修1)_图文


1. 函数单调性的定义 如果对于定义域 I 内的某个区间 D 上的任意两个自变量的值x1, x2, 当x1<x2时,都有f (x1)<f (x2),那么就说f (x)在区间 D 上是增函数. 如果对于定义域 I 内的某个区间 D 上的任意两个自变量的值x1, x2, 当x1<x2时,都有f (x1)>f (x2),那么就说f (x)在区间 D 上是减函数. 2.单调区间的概念 如果函数y=f (x)在区间 D上是增函数或减函数, 那么就说函数f (x) 在这一区间具有(严格的)单调性,区间 D叫做y=f (x)的单调区间. 3.函数单调性的证明 (1)取值:在给定区间上任取两个值x1, x2,且x1<x2; (2)作差变形:计算f (x1)-f (x2),通过因式分解、配方、 通分等方法变形; (3)定号:判断上式的符号,若不能确定,则可分区间 讨论; (4)结论:根据差的符号得出单调性的结论. 1 例1.证明函数f ( x) ? x ? 在(0,1 )上为减函数. x 证明:设x1 , x2是区间( 0,1 )上的任意两个实数,且x1 ? x2 , 则f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ( x1 ? ? ( x1 ? x2 ) ? ? 1 1 ) ? ( x2 ? ) x1 x2 x2 ? x1 1 ? ( x1 ? x2 )(1 ? ) x1 x2 x1 x2 ( x1 ? x2 )( x1 x2 ? 1) x1 x2 由0 ? x1 ? x2 ? 1, 得0 ? x1 x2 ? 1 ,x1 ? x2 ? 0, 即f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0, f ( x1 ) ? f ( x2 ). 所以函数f ( x) ? x ? 1 在(0,1 )上为减函数. x 例2.判断函数f ( x)= ax ( ?1 ? x ? 1)的单调性. 2 x ?1 解:设 ?1 ? x1 ? x2 ? 1, ax1 ax2 a( x1 x2 ? 1)( x2 ? x1 ) 则f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2 ? ? . x1 ? 1 x2 2 ? 1 (x12 ? 1 )(x12 ? 1 ) ∵ x1x2 ? 1 ? 0, x2 ? x1 ? 0, x12 ?1 ? 0, x22 ?1 ? 0, ∴ f ( x)在定义域区间(?1,1 )上, 当a ? 0时,f ( x)为减函数; 当a ? 0时,f ( x)为增函数; 当a=0时,f ( x)为常数函数. 例3.已知函数f ( x) ? ? x 2 ? 2(a ? 1) x ? 3. (1)函数f ( x)在区间(-?,上是增函数,则实数 3] a的取值范围是 ?4 (2)函数f ( x)的单调递增区间是(-?, 3], 则实数a的值是 . ( ? ?, ?4] ; 解:y ? ? x 2 ? 2(a ? 1) x ? 3的对称轴为x ? ?a ? 1, 则该函数的单调递增区间为(? ?,? a ? 1]. ()由于 1 f ( x)在区间(-?,3]上是增函数,所以3 ? ?a ?1,即a ? ?4. (2)由题意得 ? a ?1 ? 3, a ? ?4. 注意:这类题目中所给的单调区间是该函数对 应单调区间的一个子集,所以利用子集关系求解. 例4.已知函数是定义在[ ?1,1]上的增函数,且f ( x ? 2) ? f (1 ? x ), 求实数x的取值范围. 解:因为f ( x)是定义在[?1,1]上的增函数

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