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专题14 函数单调性的判断与证明-高中数学精品小课件(必修1)_图文

1. 函数单调性的定义 如果对于定义域 I 内的某个区间 D 上的任意两个自变量的值x1, x2, 当x1<x2时,都有f (x1)<f (x2),那么就说f (x)在区间 D 上是增函数. 如果对于定义域 I 内的某个区间 D 上的任意两个自变量的值x1, x2, 当x1<x2时,都有f (x1)>f (x2),那么就说f (x)在区间 D 上是减函数. 2.单调区间的概念 如果函数y=f (x)在区间 D上是增函数或减函数, 那么就说函数f (x) 在这一区间具有(严格的)单调性,区间 D叫做y=f (x)的单调区间. 3.函数单调性的证明 (1)取值:在给定区间上任取两个值x1, x2,且x1<x2; (2)作差变形:计算f (x1)-f (x2),通过因式分解、配方、 通分等方法变形; (3)定号:判断上式的符号,若不能确定,则可分区间 讨论; (4)结论:根据差的符号得出单调性的结论. 1 例1.证明函数f ( x) ? x ? 在(0,1 )上为减函数. x 证明:设x1 , x2是区间( 0,1 )上的任意两个实数,且x1 ? x2 , 则f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ( x1 ? ? ( x1 ? x2 ) ? ? 1 1 ) ? ( x2 ? ) x1 x2 x2 ? x1 1 ? ( x1 ? x2 )(1 ? ) x1 x2 x1 x2 ( x1 ? x2 )( x1 x2 ? 1) x1 x2 由0 ? x1 ? x2 ? 1, 得0 ? x1 x2 ? 1 ,x1 ? x2 ? 0, 即f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0, f ( x1 ) ? f ( x2 ). 所以函数f ( x) ? x ? 1 在(0,1 )上为减函数. x 例2.判断函数f ( x)= ax ( ?1 ? x ? 1)的单调性. 2 x ?1 解:设 ?1 ? x1 ? x2 ? 1, ax1 ax2 a( x1 x2 ? 1)( x2 ? x1 ) 则f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2 ? ? . x1 ? 1 x2 2 ? 1 (x12 ? 1 )(x12 ? 1 ) ∵ x1x2 ? 1 ? 0, x2 ? x1 ? 0, x12 ?1 ? 0, x22 ?1 ? 0, ∴ f ( x)在定义域区间(?1,1 )上, 当a ? 0时,f ( x)为减函数; 当a ? 0时,f ( x)为增函数; 当a=0时,f ( x)为常数函数. 例3.已知函数f ( x) ? ? x 2 ? 2(a ? 1) x ? 3. (1)函数f ( x)在区间(-?,上是增函数,则实数 3] a的取值范围是 ?4 (2)函数f ( x)的单调递增区间是(-?, 3], 则实数a的值是 . ( ? ?, ?4] ; 解:y ? ? x 2 ? 2(a ? 1) x ? 3的对称轴为x ? ?a ? 1, 则该函数的单调递增区间为(? ?,? a ? 1]. ()由于 1 f ( x)在区间(-?,3]上是增函数,所以3 ? ?a ?1,即a ? ?4. (2)由题意得 ? a ?1 ? 3, a ? ?4. 注意:这类题目中所给的单调区间是该函数对 应单调区间的一个子集,所以利用子集关系求解. 例4.已知函数是定义在[ ?1,1]上的增函数,且f ( x ? 2) ? f (1 ? x ), 求实数x的取值范围. 解:因为f ( x)是定义在[?1,1]上的增函数,且f ( x ? 2) ? f (1 ? x), ? ?1 ? x ? 3, ? ?1 ? x ? 2 ? 1, ? ? 所以有 ? ?1 ? 1 ? x ? 1, 解得 ?0 ? x ? 2, ? x ? 2 ? 1 ? x, ? 3 ? ?x ? , ? 2 3 即实数x的取值范围是[1, ). 2 总结:充分利用原函数的单调性及其定义域,建立关于x的不等式, 求解x的取值范围. 例5.函数f ( x)在(0, ? ?)上是减函数, 3 求f (a 2 ? a ? 1)与f ( )的大小. 4 解:f ( x)在(0, ??)上是减函数, 1 3 3 ∵a 2 ? a ? 1 ? (a ? ) 2 ? , ≥ ? 0, 2 4 4 3 ∴f ( a ? a ? 1) ? f ( ). 4 2 注意:利用函数的单调性比较两个数的大小时,必须首先考虑 定义域. (1)理解函数单调性的定义;理解单调区间的概念; (2)熟练掌握证明单调性的步骤; (3)证明单调性时常用的变形技巧有因式分解、通分、 配方、分子有理化. 仅做学习交流,谢谢! 语文:初一新生使用的是教育部编写 的教材 ,也称 “部编 ”教材 。“部 编本” 是指由 教育部 直接组 织编写 的教材 。“部 编本” 除了语 文,还 有德育 和历史 。现有 的语文 教材, 小学有 种版 本,初 中有 种 版本。 这些版 本现在 也都做 了修订 ,和“ 部编本 ”一同 投入使 用。“ 部编本 ”取 代原来 人教版 ,覆盖 面比较 广,小 学约占 0% ,初 中约占 60% 。 今秋, 小学一 年级新 生使用 的是语 文出版 社的修 订版教 材,还 是先学 拼音, 后学识 字。政 治:小 学一年 级学生 使用的 教材有 两个版 本,小 学一年 级和初 一的政 治教材 不再叫 《思想 品德》 ,改名 为《道 德与法 治》。 历史: 初一新 生使用 华师大 版教材 。历史 教材最 大的变 化是不 再按科 技、思 想、文 化等专 题进行 内容设 置,而 是以时 间为主 线,按 照历史 发展的 时间顺 序进行 设置。 关于部 编版, 你知道 多少? 为什么 要改版 ?跟小 编一起 来了解 下吧! 一新教 材的五 个变化 一、入 学以后 先学一 部分常 用字, 再开始 学拼音 。汉字 是生活 中经常

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