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数列综合应用(一)数列求和教案


授课人: 课题

史宏刚

班级

11104 班

数列综合应用(一)数列求和
1.知识与能力: 培养学生观察 分析应用能力。 2.过程与方法: 通过课堂分析 演练,总结解题技巧。 3.情感态度价值观: 提高学生 刻苦专研学习态度。

教 学 目 标

重 点 、 难 点 、 关 键

公式法、 裂项相消、 错位相减. 、 倒序相加法 求 和 裂项相消、错位相减法 认清问题实质选择解题方法
设 计 意 图

程序与内容 一、组织教学 师生问好,检查出席 二、目标展示 1、情境创设 复习提问:回顾重要知识点,为本节应用做准备
数列前 n 项和的定义:Sn=a1+a2+a3+…+an

引入课堂 2、明确目标 公式法、裂项相消、错位相减. 、倒序相加法求数列前 n 项和
1.公式法: (1)直接法:直接由等差、等比数列的求和公式求和,等比数列求和时注意对公比

充分发挥学生学 习的能动性,以学生为 主体,展开课堂教学

q=1,q≠1 的讨论;

Sn ?

n(a1 ? an ) n(n ? 1) ? na1 ? d 2 2

? na1 (q ? 1) ? S n ? ? a1 (1 ? q n ) a1 ? a n q ? (q ? 0且q ? 1) ? 1? q ? 1? q

(2)特殊公式:所给数列的通项是关于 n 的多项式,此时求和可采用公式法求和, 常用的公式有:

? k ? n( n 2 ? 1)(2n ? 1) ?k ? 6
n
k ?1 2

n

n(n ? 1)

k ?1

(3)拆项求和法:把数列的每一项分成几项,使其转化为几个等差、等比数列,再 求和. 2.错位相减法:主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘得的新数列求和, 即为等比数列求和公式的推导方法. 3.裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差,正负相消剩下首尾若干项再求和. 4.倒序相加法:如果一个数列{an},与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和, 可采用把正着写和与倒着写和的两个和式相加,就得到一个常数列的 和,这一求和的方法称为倒序相加法. 即等差数列求和公式的推导.

通过学生对几种常见 的求和方法的归纳、 总 结,结合具体的实例、 简单回忆各方法的应 用背景.把遗忘的知识 点形成了一个完整的 知识体系。

三、目标教学、练习

例 1.求下列数列前 n 项的和 Sn: 1×4,2×5,3×6,…n(n+3)… 解: ∵an=n(n+3)=n2+3n ∴Sn=(12+22+32+…+n2)+3(1+2+3+…+n) 1 3 ? n(n ? 1)(2n ? 1) ? n(n ? 1) 6 2 1 ? n(n ? 1)(2n ? 1 ? 9) 6 1 ? n(n ? 1)(n ? 5) 3

例 题 反 馈 的 训 练充 分发挥学生的主体地 位,营造生动活泼的课 堂教学气氛

(公式求和法)
例 2.求数列

1, 3+

1 1 1 2 n )+(3 + 2 )+…… +(3 + n ) 3 3 3 1 1 1 n =(1+ 3+……+ 3 ) +( ? 2 +……+ n )
Sn=1+(3+ 解:Sn+1
3 3 3

1 2 1 1 , 3+ 2 , ……, 3n + n 3 3 3

的和.

3n?1 ?1 1?3?n ? 1 (3n?1 ? 3?n ) ? ? 2 2 2
(拆项求和法)
让学生从具体实例中 发现结论。 符合学生认 识规律,并在结论的发 现过程中培养学生的 思维能力

} 前n项和. 例3.求数列 { n ? 2 n 1 1 1 1 ? ? ?? n ? n 解:Sn ? 1? ? 2? ? 3? ?? 2 4 8 2 1 1 1 1 1 1 S n ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? ? ? (n ? 1) ? n ? n ? n ?1 2 4 8 16 2 2

1

1 1 ( 1? n ) 1 1 1 1 1 1 2 ? n 两式相减: S ? ? ( ? ?? ?? n ) ? n? n?1 ? 2 n 1 2 2 4 8 2 2 2n?1 1? 1 n 1 2 n

? S n ? 2 (1 ?

2n

?

2 n ?1

) ? 2?

2 n ?1

?

2n

(错位相减法)

例 4.求下列数列前 n 项的和 Sn:

1 1 1 1 , , , ?, , ? 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 n?n ? 1? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ?Sn ? (1? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ??? ( ? )?( ? ) 2 2 3 3 4 n ? 2 n ?1 n ?1 n

?(

1 n 1 1 1? ? ? ) ? n ?1 n ?1 n n ?1

(裂项相消法) 1 1 1 , ,??, ,?? 前 n 项和 变式题 : 1? 2 1? 2 ? 3 1 ? 2 ? ?? ? (n ? 1)
解:

1 2 1 1 ? a ? ?2 ( ? ) n ? 1?2? ? ? ?(n? 1 ) (n? 1 )( n?2 ) n? 1 n?2

1 1 1 1 1 1 1 1 n ? S [( ? )?( ? )?? ? ?( ? )] ?2 ( ? )? n ?2 2 3 3 4 n? 1 n?2 2 n?2 n?2

利用变式训练,让学生 感受高考题,激发学生 的学习热情

例 5.求 解:设

0 1 2 n? 1 n 的值 Cn ? 2Cn ?3Cn ??? nC ? (n ?1 )Cn n

0 1 2 n? 1 n Cn ?2Cn ?3Cn ???nC )Cn ?x n ?(n ?1

n n? 1 n?2 1 0 (n?1 )C 1 )C ?? ?2 C n ?nC n ?(n? n n ?C n ?x

两式相加得:

(倒序相加法) 三:练 习
通过学生的评析,激发

1 1 1 1 ?2n ? 1? 1n , 3 , 5 , 7 , ?, ? 的前 n 项之和为 Sn, 1. 数列 1 , 则 Sn 的值得等于 学生学习热情,发散学 2 4 8 16 2 生思维,培养学生的合 1 1 2 2 2n ? n ? 1 ? n (A) n ? 1 ? n (B) 作,探究意识。 2 2 1 1 2 n2 ? n ? 1 ? n (C) n ? 1 ? n -1 (D) 2 2 1 1 1 1 , , , ?, , ? 2. 求下列数列的前 n 项和 Sn: 1? 3 2 ? 4 3 ? 5 n?n ? 2? 1 1 1 1 解: ? ? ( ? ) n ? (n ? 2) 2 n n ? 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? Sn ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )?( ? )] 2 3 2 4 3 5 n ?1 n ? 1 n n?2 1 1 1 1 ? (1 ? ? ? ) 2 2 n ?1 n ? 2
3. 数列 {an } 中,满足 a (1)求
1

n {an } 的通项公式; (2)设b ? n

n ?3a2 ?32a3 ?? ?3n?1an ? , n?N? 3
an
,求

{bn } 的前 n 项的和 S 。
n

解:() 1 a1 ? 3a2 ? 32 a3 ??? 3n?1 an ?

a1 ? 3a2 ? 32 a3 ??? 3n?1an ? 3n an?1 ?
②? ① 得 : 3n an?1 ?

n ?1 n 1 ? ? , n? N? ? a1 ? 3 3 3 3

n ?1 , n ? N? ② 3 1

n , n ? N? 3



? an ?

1 3n

() 2 ?bn ?

n an

且 an ?

1 3n

?bn ? n?3n

Sn ? 1? 3 ? 2 ? 32 ? 3? 33 ? ?? n ? 3n ③ 3Sn ? 1? 32 ? 2 ? 33 ??? (n ?1) ? 3n ? n ? 3n?1 ④ ③-④得: ? 2Sn ? 3 ? 32 ? 33 ? ?? 3n ? n ? 3n?1

1 3(1? 3n ) Sn ? ? [ ? n ? 3n?1] 2 1? 3

?

3 2n ?1 n?1 ? ?3 4 4

四、课堂小结:学生来总结本节课学到了哪些知识?
1.求和方法 1).公式法 2). 错位相减 3).裂项相消法 4).倒序相加法 2.注意点 ①用公式时注意项数 ②用等比数列求和公式时有时需对 q 讨论 3)上述数列求和方法中突出一种思想:化归

发、引导学生归纳总 结,一方面了解学生对 本堂课的接受情况,另 一方面培养学生的归 纳总结能力。 使知识系 统化,条理化。

五、课后作业
⑴求数列:1,1+2,1+2+3,…(1+2+3+…+n)…的前 n 项的和。 ⑵求数列:1,1+2,1+2+22,…,(1+2+22+…+2n-1)…的前 n 项的和。 ⑶求数列:1,1+a, 1+a+a2, …(1+a+a2+…+an-1)…的前 n 项的和.

1 1 1 ? ??? a1 ? a2 a2 ? a3 an?1 ? an ⑸求数列:9,99,999,9999,……的前 n 项和。
⑷列[an]的前 n 项和为 Sn=n2, 求

课题
1 : 数 列 前 n 项 和 的 定 义 :

教学评价 自主性:注重发展学生的个性,分层式练习和 选择性作业,充分体现学生的主体地位. 实践性:通过学生评析中的变式训练,给学生 提供了一个很好的做数学的学习环境和学习 机会. 可行性: 所教的班级是高三年级的实验班, 学生具有较好的数学功底, 具备一定的独立 思考、合作探究能力. 有效性: 通过学生的练习与评析, 给学生提 供了一个发现问题,讨论问题,解决问题的平 台,为学生高效获取知识和提高综合素质创造 条件.

Sn=a1+a2+a3+…+an
板 书 设 计
2:求数列的前 n 项和 Sn 的基本方法 : 1).公式法 2).错位相减 3).裂项相消法 4).倒序相加法

课 后 反 思

数列求和课例教学设计

史 宏 刚

山西省平遥中学


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