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2014年高一数学必修2考试题(15)


2014 年高一数学必修 2 考试题(15)
参考公式: (1)若圆锥的底面半径为 r ,母线长为 l ,则圆锥的侧面积为 S ? ? ? r ? l 2 (2)若球的半径为 R ,则球的表面积为 S ? 4? ? R (3)若柱体的底面积为 S ,高为 h ,则柱体的体积为 V ? Sh (4)若锥体的底面积为 S ,高为 h ,则锥体的体积为 V ?

1 Sh 3

一、选择题(每小题 5 分,共 60 分。四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 ) 1、下面三视图所表示的几何体是( A.三棱锥 B.四棱锥 ) C.五棱锥 y L3 L2 D.六棱锥

正视图

侧视图 O L1

x

俯视图 (第 1 题) (第 2 题) )

2、若图中的直线 L1、L2、L3 的斜率分别为 K1、K2、K3 则( A、K1﹤K2﹤K3 B、K2﹤K1﹤K3 C、K3﹤K2﹤K1 D、K1﹤K3﹤K2

3、直线 5x ? 2 y ? 10 ? 0 在 x 轴上的截距为 a ,在 y 轴上的截距为 b,则( A、 a =2,b=5 B、 a =2,b= ? 5 C、 a = ? 2 ,b=5

)

D、 a = ? 2 ,b= ? 5

4、 经过直线 l1 : 2 x ? y ? 3 ? 0, l 2 : x ? y ? 0 的交点且平行于直线 3x ? y ? 1 ? 0 的直线方程 为( ) B、 3x ? y ? 4 ? 0 D、 x ? 3 y ? 4 ? 0 )

A、 3x ? y ? 2 ? 0 C、 3x ? y ? 4 ? 0
2 2

5、圆 x ? y ? 4 x ? 0 在点 P (1, 3 ) 处的切线方程为( A、 x ? 3 y ? 2 ? 0 B、 x ? 3 y ? 4 ? 0

1

C、 x ? 3 y ? 4 ? 0
2 2 2 2

D、 x ? 3 y ? 2 ? 0 )

6、两圆 x ? y ? 9 和 x ? y ? 8 x ? 6 y ? 9 ? 0 的位置关系是( A.相离
2 2

B.相交

C.内切

D.外切 )

7、圆 x ? y ? 4 x ? 2 y ? 0 关于直线 x ? y ? 0 对称的圆的方程是( A. x ? y ? 2 x ? 4 y ? 0
2 2

B. x ? y ? 4 x ? 2 y ? 0
2 2

C. x ? y ? 2 x ? 4 y ? 0
2 2

D. x ? y ? 4 x ? 2 y ? 0
2 2

8、已知等边三角形 ABC 的边长为 a ,那么三角形 ABC 的斜二测直观图的面积为( A.

)

3 2 a 4

B.

3 2 a 8

C.

6 2 a 8

D.

6 2 a 16
)

9、已知 a 、 b 是异面直线,直线 c 平行于直线 a ,那么 c 与 b ( A.一定是异面直线 B. 一定是相交直线 C. 不可能是平行直线 D. 不可能是相交直线 10、关于直线 m,n 与平面??,?,有下列四个命题: ①m∥?,n∥?且??∥?,则 m∥n; ? ③m⊥?,n∥?且??∥?,则 m⊥n; ? 其中真命题的序号是( A.①② ) B.③④ C.①④

②m⊥?,n⊥?且??⊥?,则 m⊥n; ? ④m∥?,n⊥?且??⊥?,则 m∥n. ?

D.②③

11、点 P 为 ΔABC 所在平面外一点,PO⊥平面 ABC,垂足为 O,若 PA=PB=PC,则点 O 是 ΔABC 的( ) A、内心 B、外心 C、重心 D、垂心 12、 已知 ΔABC 是等腰直角三角形, ∠A= 90 , AD⊥BC, 为垂足, AD 为折痕, ΔABD D 以 将 和 ΔACD 折成互相垂直的两个平面后,如图所示,有下列结论: ①BD⊥CD;②BD⊥AC;③AD⊥面 BCD;④ΔABC 是等边三角形; 其中正确的结论的个数为( ) A、1 B、2 C、3 D、4
A A
?

B

D

C B

D C

(第 12 题) 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分)

2

13、点(2,3,4)关于 xOy 平面的对称点为 14、长方体的同一个顶点上三条棱的边长分别为 2、 3 、1,且它的八个顶点都在同一个球 面上,这个球的表面积是 15、若圆锥的表面积为 3? ,且它的侧面展开图是一个半圆,则这个圆锥的底面的直径为 ..

16、若 P 为圆 x ? y ? 1 上的动点,则点 P 到直线 3x ? 4 y ? 10 ? 0 的距离的最小值为
2 2

_______ 三、解答题(本大题共 5 小题,每题 14 分,共 70 分。解答应写出文字说明,证明过程或 演算步骤。 ) 17、已知三角形 ABC 的顶点坐标为 A(-1,5) 、B(-2,-1) 、C(4,3) ,M 是 BC 边上的 中点。 (1)求 AB 边所在的直线方程; (2)求中线 AM 的长(3)求 AB 边的高所在直 线方程。 18、已知圆 C 和 y 轴相切,圆心在直线 x ? 3 y ? 0 上,且被直线 y ? x 截得的弦长为 2 7 , 求圆 C 的方程。

19、 在如图所示的多面体中, 已知正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的所有棱长均为 2, 四边形 ABCD 是菱形。 (1) 求证:AD⊥平面 BCC1B1 (2)求该多面体的体积。
C1 A1

B1 C

A

D

B

20、如图,已知 AB ? 平面 ACD , DE ? 平面 ACD ,△ ACD 为等边
3

三角形, AD ? DE ? 2 AB , F 为 CD 的中点. (1)求证: AF // 平面 BCE ; (2)求证:平面 BCE ? 平面 CDE ;

B

E

A

C
2 2 2

F

D

21、已知圆 x ? y ? 6mx ? 2(m ? 1) y ? 10 m ? 2m ? 24 ? 0 ,直线 l1 : x ? 3 y ? 3 ? 0 (1)求证:不论 m 取何值,圆心必在直线 l1 上; (2)与 l1 平行的直线中,哪些与圆相交、相切、相离;

4

参考答案
一.选择题(本大题共 12 小题. 每小题 5 分,共 60 分. 在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 ) 题号 答案 1 D 2 A 3 B 4 A 5 D 6 B 7 A 8 D 9 C 10 D 11 B 12 D

二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 ) 13. (2,3,-4) 14. 8? 15. 2 16. 1

三.解答题(本大题共 5 小题,每题 14 分,共 70 分。解答应写出文字说明,证明过程或演 算步骤。) 17、解: (1)法一: (1)由两点式写方程得 即

y ?5 x ?1 ,……………………3 分 ? ?1? 5 ? 2 ?1

6x-y+11=0……………………………………………………4 分

法二:直线 AB 的斜率为

k?

?1? 5 ?6 ? ? 6 ………………………1 分 ? 2 ? (?1) ? 1

直线 AB 的方程为

y ? 5 ? 6( x ? 1) ………………………………………3 分

即 6x-y+11=0…………………………………………………………………4 分 (2)设 M 的坐标为( x0 , y 0 ) ,则由中点坐标公式得

x0 ?

?2?4 ?1? 3 ? 1, y0 ? ?1 2 2

故 M(1,1)………………………6 分

| AM |? (1 ? 1) 2 ? (1 ? 5) 2 ? 2 5 …………………………………………8 分
(3)因为直线 AB 的斜率为 k ?

?1? 5 ?6 ? ?6 ? 2 ? (?1) ? 1

设 AB 边的高所在直线的斜率为 k,则 k ? ? 所以 AB 边高所在直线方程为 y ? 3 ? ?

1 ···(11 分) ··· ··· 6

1 ··(14 分) ·· ( x ? 4) ,即 x ? 6 y ? 22 ? 0 ··· 6
……………………2 分 ……………………4 分 ……………………6 分

18、解:法一:设圆心为 (a, b) ,半径为 r ∵圆 C 和 y 轴相切,∴ | a |? r ……①

∵圆心在直线 x ? 3 y ? 0 上,∴ a ? 3b ? 0 ……②
5

∵圆被直线 y ? x 截得的弦长为 2 7 , 且圆心 (a, b) 到直线 x ? y ? 0 的距离为 d ?

| a ?b| 2



( a ? b) 2 ? 7 ? r 2 ……③ ……………………10 分 2

?a ? 3 ? a ? ?3 ? ? 由①②③,解得 ?b ? 1 或 ?b ? ?1 ?r ? 3 ?r ? 3 ? ?
2 2

……………………12 分

∴所求圆方程为 ( x ? 3) ? ( y ? 1) ? 9 ,或 ( x ? 3) ? ( y ? 1) ? 9 ……………………14 分
2 2

法二:设圆心为 (3t , t ), 半径为 r ? 3t 圆心到直线 x ? y ? 0 的距离为 d ?

……………………6 分

3t ? t 2

?

2t

……………………8 分

而 ( 7) ? r ? d ,9t ? 2t ? 7, t ? ?1
2 2 2 2 2

……………………12 分
2 2

∴所求圆方程为 ( x ? 3) ? ( y ? 1) ? 9 ,或 ( x ? 3) ? ( y ? 1) ? 9 ……………………14 分
2 2

19、 (1)证明:由正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 ,得 BB1 ? AD ………… 2 分 ∵四边形 ABDC 是菱形, ∴ AD ? BC ………… 4 分 又 BB1 , BC ? 平面 BB1C1C , 且 BC ? BB1 ? B ∴ AD ? 平面 BCC1 B1 …………………………6 分 (2)正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的体积为 V1 ? S?ABC ? AA1 ? 2 3 ………………9 分 ∵ AD ? 平面 BCC1 B1 ,∴四棱锥 D ? B1C1CB 的高为

1 AD ………………10 分 2 4 1 1 2 3 ∴四棱锥 D ? B1C1CB 的体积为 V2 ? S BCC1B1 ? ( AD) ? 3 ……………13 分 3 2 33 10 ∴该多面体的体积为 3 ………………………………………………14 分 3

20、证明:(1) 证:取 CE 的中点 G ,连结 FG、BG . ∵ F 为 CD 的中点,

1 DE . 2 ∵ AB ? 平面 ACD , DE ? 平面 ACD , ∴ AB // DE ,∴ GF // AB . 1 又 AB ? DE ,∴ GF ? AB ………… 4 分 2 ∴四边形 GFAB 为平行四边形,则 AF // BG ………… 6 分 ∵ AF ? 平面 BCE , BG ? 平面 BCE , ∴ AF // 平面 BCE ………… 7 分
∴ GF // DE 且 GF ?
6

(2)证:∵ ?ACD 为等边三角形, F 为 CD 的中点 ∴ AF ? CD …………… 9 分 ∵ DE ? 平面 ACD , AF ? 平面 ACD ,∴ DE ? AF ………… 11 分 又 CD ? DE ? D ,故 AF ? 平面 CDE ∵ BG // AF ,∴ BG ? 平面 CDE ………… 13 分 ∵ BG ? 平面 BCE , ∴平面 BCE ? 平面 CDE …………14 分 21、 (1)圆 x ? y ? 6mx ? 2(m ? 1) y ? 10 m ? 2m ? 24 ? 0
2 2 2

配方得 ( x ? 3m) ? ? y ? (m ? 1)? ? 25
2 2

…………2 分

∴圆心 (3m, m ? 1)

…………3 分

∵ 3m ? 3(m ? 1) ? 3 ? 0 ,∴不论 m 取何值,圆心必在直线 l1 上;…………5 分 (2)设与直线 l1 平行的直线 l 2 : x ? 3 y ? b ? 0(b ? ?3) ,…………6 分 则圆心到直线 l 2 的距离为 d ? ∵圆的半径 r =5 ∴当 d< r , 即

| 3m ? 3?m ? 1? ? b | 10

?

|3?b | 10

…………8 分

|3?b| 10

直线与圆相交; ? 5 ,? 5 10 ? 3 ? b ? 5 10 ? 3 且 b ? ?3 时,

当 d= r ,即

|3?b| 10

? 5 , b ? ?5 10 ? 3 或 b ? 5 10 ? 3 时,直线与圆相切;

当 d> r ,即

|3?b| 10

? 5 , b ? ?5 10 ? 3 或 b ? 5 10 ? 3 时,直线与圆相离;
…………14 分

7



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