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4.椭圆的简单几何性质(第一课时)


一、复习回顾:
1.椭圆的定义:
平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于 椭圆 |F1F2|)的点的轨迹叫做_____.这两个定点叫做椭圆的 焦点 焦距 ____,两焦点间的距离叫做椭圆的____.

2.椭圆的标准方程: 2

x y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 当焦点在X轴上时 2 a b 2 2 y x ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 当焦点在Y轴上时 2 a b 3.椭圆中a,b,c的关系: a2=b2+c2 ,a ? b ? 0) (

二、新课讲解:
x2 y2 1、椭圆 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) 的范围: a b 2 2
x ? 1, 由 2 a

y ? 1得: 2 b

-a≤x≤a, -b≤y≤b ∴椭圆落在直线x=±a,y= ± b所围成的矩形中, 如图所示: y
B2

A1

b F1

a F2

A2

o c
B1

x

练习1. 口答下列椭圆的范围。 x y ? ?1 25 16
? 5 ≤ x ≤ 5, ? 4 ≤ y ≤ 4
2 2

x2 y2 2、椭圆 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0)的对称性: a b Y
M O

F1 (-c,0)

F2 (c,0)

X

从图形上看, 椭圆关于x轴、y轴、原点对称。

(1)把x换成-x方程不变,图象关于 y 轴对称; (2)把y换成-y方程不变,图象关于 x 轴对称; Y (3)把x换成-x,同时把y换成-y方程不变, P1(-x,y) 图象关于原点 成中心对称。
P(x,y)

x2 y2 从方程上看: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) a b

坐标轴是椭圆的对称轴, 原点是椭圆的对称中心。

O
P2(-x,-y)

X

中心:椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。

x2 y2 3、椭圆 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0)的顶点: a b

±b ), 令 y=0,得 x=?说明椭圆与 x轴的交点为( ±a, 0 )。
令 x=0,得 y=?说明椭圆与 y轴的交点为( 0,

y
*顶点:椭圆与它的对称轴的四个
交点,叫做椭圆的顶点。
A1 B2 (0,b)

*长轴、短轴:
线段A1A2、B1B2分别 叫做椭圆的长轴和短轴。 它们的长分别等于2 a和2 b 。

b

a F2

A2(a,0)

(-a,0) F1

o c
B1

(0,-b)

a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

练习
口答下列椭圆的顶点坐 标及长轴和短轴长。 x y ? ?1 9 4
顶点是: 3,0)、 3,0)、 0,?2)、 0,2) (? ( ( ( 长轴长是6,短轴长是4.
2 2

根据前面所学有关知识画出下列椭圆草图
x y ? ?1 (1) 25 16
y
4 B2 3 2 1 A2 A1 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 x -1 -2 -3 -4
2 2

x2 y2 ? ?1 (2) 25 4
y
4 3 B 2 2 1 A2 A1 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 x -1 -2 -3 B1 -4

B1

4、椭圆的离心率

y
x

a ?b ?c
2 2

2

O

如图,a不变, b越小,椭圆越扁。

也即,a不变, c越大,椭圆越扁。 c 把椭圆的焦距与长轴长的比 a 称为椭圆 c 的离心率,用e表示,即

e?

a

4、椭圆的离心率 e用来刻画椭圆扁平程度的量) ( c 离心率:椭圆的焦距与长轴长的比 叫做椭圆的离心率。 c a 用e表示,即 e ? a
[1]离心率的取值范围:0<e<1 [2]离心率对椭圆形状的影响: ①e 越接近 1,椭圆就越扁; ②e 越接近 0,椭圆就越圆。
思考:当e=0时,曲线是什么?当e=1时曲线又是什么?

[3]e与a,b的关系:

c e? ? a

a 2 ? b2 b2 ? 1? 2 2 a a

知识归纳
标准方程 范围 对称性 顶点坐标 焦点坐标

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

-a ≤ x≤ a, - b≤ y≤ b
关于x轴、y轴成轴对称; 关于原点成中心对称 (a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b) (c,0)、(-c,0) 长半轴长为a,短半轴长为b. (a>b)

半轴长
离心率 a、b、c的关系

c e ? a

a2=b2+c2 ,a ? b ? 0) (

标准方程 范围

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 b a
-a ≤ y ≤ a, - b≤ x ≤ b
关于x轴、y轴成轴对称; 关于原点成中心对称

-a ≤ x≤ a, - b≤ y≤ b
关于x轴、y轴成轴对称; 关于原点成中心对称

对称性
顶点坐标 焦点坐标 半轴长 离心率 a、b、c的关 系

(a,0)、(-a,0)、 (0,b)、(0,-b) (c,0)、(-c,0) 长半轴长为a,短半轴 长为b. (a>b)

(b,0)、(-b,0)、 (0,a)、(0,-a) (0 , c)、(0, -c) 长半轴长为a,短半轴 长为b.(a>b)

c e ? a

c e ? a

a2=b2+c2 (a ? b ? 0)

a2=b2+c2 (a ? b ? 0)

三、例题讲解:
例题1: 求椭圆 9 x2 + 4y2 =36的长轴和短轴的长、离心 2 2 率、焦点和顶点坐标。 x y ? ?1 解:把已知方程化成标准方程

?a ? 3, b ? 2, c ?
椭圆的长轴长是: 2a=6

4

9?4 ?

9

5

椭圆的短轴长是: 2b=4

焦点坐标是: c 5 ? 离心率: e ? F (0,? 5 ), F2 (0, 5 ) a 3 1 四个顶点坐标是: A (?2,0), A2 (2,0), B1 (0,?3), B2 (0,3) 1 解题步骤:

1、将椭圆方程转化为标准方程求a、b: 2、确定焦点的位置和长轴的位置.

练习:求椭圆 16 x2 + 25y2 =400的长轴和短轴的长、离 心率、焦点和顶点坐标。 解:把已知方程化成标准方程

x2 y2 ? 2 ?1 2 5 4

a ? 5, b ? 4, c ?
椭圆的长轴长是: 离心率: 2a=10

25 ?16 ? 3
椭圆的短轴长是: 2b=8 焦点坐标是:

c 3 e ? ? ? 0.6 a 5

F (?3,0), F2 (3,0) 1

四个顶点坐标是:

A1 (?5,0), A2 (5,0), B1 (0,?4), B2 (0,4)

例2: 求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1) 经过点P(-3,0)、Q(0,-2); 解: ⑴方法一:设椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n >0,m≠n),将点的坐标代入方程,求出m=1/9,n= x2 y2 1/4。所以椭圆的标准方程为 ? ?1 9 4 方法二:利用椭圆的几何性质,以坐标轴为对称轴的椭 圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点,于是焦点在x轴上, 且点P、Q分别是椭圆长轴与短轴的一个端点,故a=3, 2 2 y b=2,所以椭圆的标准方程为 x

9

?

4

?1

例2: 求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)经过点 P(-3,0)、Q(0,-2);(2)长轴的长等于20, 离心率等于3/5 。 解:(2) 由已知得, 2a ? 20, e ? c ? 3 ,

? a ? 10, c ? 6, ?b2 ? 102 ? 62 ? 64.

a

5

由于椭圆的焦点可能在x轴上,也可能在y轴上, 所以所求椭圆的标准方程为 :

x2 y2 y2 x2 ? ? 1或 ? ? 1. 100 64 100 64

标准方程 范围

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 b a
-a ≤ y ≤ a, - b≤ x ≤ b

-a ≤ x≤ a, - b≤ y≤ b

小 顶点坐标 结
焦点坐标 半轴长 离心率 a、b、c 的关系

对称性

关于x轴、y轴成轴对称;关于原点成中心对称 (a,0)、(-a,0)、 (0,b)、(0,-b) (c,0)、(-c,0) (b,0)、(-b,0)、 (0,a)、(0,-a) (0 , c)、(0, -c)

长半轴长为a,短半轴长为b. (a>b)

c e ? a

a2=b2+c2 ,a ? b ? 0) (

思考题: 已知椭圆的中心在原点,焦点在坐 标轴上,长轴是短轴的三倍,且椭圆 经过点P(3,0),求椭圆的方程。

小结:
本节课我们学习了椭圆的几个简单几何性质:范围、 对称性、顶点坐标、离心率等概念及其几何意义。 了解了研究椭圆的几个基本量a,b,c,e及顶点、 焦点、对称中心及其相互之间的关系,这对我们解 决椭圆中的相关问题有很大的帮助,给我们以后学 习圆锥曲线其他的两种曲线扎实了基础。在解析几 何的学习中,我们更多的是从方程的形式这个角度 来挖掘题目中的隐含条件,需要我们认识并熟练掌 握数与形的联系。在本节课中,我们运用了几何性 质,待定系数法来求解椭圆方程,在解题过程中, 准确体现了函数与方程以及分类讨论的数学思想。


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