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陕西省西安铁一中2013届高三上学期期末考试文科数学试卷


陕西省西安铁一中 2013 届高三上学期期末考试 文科数学试题 第Ⅰ卷(选择题,共 50 分)
一、选择题:(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的。) 1. 若复数 z ?
1? i (i 为虚数单位 ) ,则 z =( 1? i

) D. ?i

A. 1 B. ?1 2.已知全集 U ? R ,

C. i

若函数 f ( x) ? x2 ? 3x ? 2 ,集合 M ? ?x | f ( x) ? 0? , N= ?x | f ?( x) ? 0? 则 M ? CU N =( A. ? 2 , 2? ? ?
3

) B. ? 2 , 2 ?
3

?

C.

? 3 , 2? 2 ?

D. 2 ,2

?3 ?
图如

3.某个容器的三视图中主视图与左视图相同,其主视图与俯视 图所示,则这个容器的容积(不计容器材料的厚度)为(
3 A. 7



?

B. 3

7

?

C.

6 7

?

D. 6 ?
7

4.已知 x, y 的值如表所示:

如果 y 与 x 呈线性相关且回归直线方程为 y ? bx ? ,则
2

7

b ?(

)

1 1 1 1 B. C. ? D. 2 2 10 10 5.欧阳修《卖油翁》中写到: (翁)乃取一葫芦置于地,以钱覆其口,徐以杓酌油沥之, 自钱孔入, 而钱不湿. 可见“行行出状元”, 卖油翁的技艺让人叹为观止. 若铜钱是 直径为3cm的圆,中间有边长为1cm的正方形孔,若随机向铜钱上滴一滴油(油滴的大 小忽略不计),则油滴正好落入孔中的概率是 ( )

A. ?

·1·

4 A. 9?

4 B. 3?

9? C. 4

3? D. 4

6.设 m, n 是两条不同的直线, ? , ? , ? 是三个不同的平面。有下列四个命题:( ①若 m ? ? , ? ? ? , 则m ? ? ; ③若 n ? ? , n ? ? , m ? ? , 则m ? ? ; ②若 ? / / ? , m ? ? , 则m / / ? ; ④若 ? ? ? , ? ? ? , 则? ? ? .



其中正确命题的序号是 A.①③ B.①② C.③④ D.②③ 2 2 7.在△ ABC 中, sin A ? sin C ? (sin A ? sin B)sin B ,则角 C 等于( ? ? 5? 2? A. B. C. D. 6 3 6 3 8. 如图, ?ABC 为等腰三角形, ?A ? ?B ? 30 °,设



AB ? a , AC ? b , AC 边上的高为 BD .若用 a, b 表示
??? ? BD ,则表达式为(

) C. b ? a

3 ?? ?? A. a ? b 2
9. 若双曲线

3? ? B. a ? b 2

3? 2

?

3? ? D. b ? a 2

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 、F2 , 线段 F1 F2 被抛物线 y 2 ? 2bx 2 a b 的焦点分成 7:5 的两段,则此双曲线的离心率为( ) 9 6 37 3 2 3 10 A. B. C. D. 8 37 4 10
1 10. 等差数列 ?an ? 中有两项 am 和 ak 满足 am ? 1 , ak ? m(其中 m, k ? N ? , m ? k ) 且 , k

则该数列前 mk 项之和是( A. m ? k



2

B.

mk ?1 2

C.

m?k 2

2 D. mk ?1

第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分)
二、填空题:把答案填在答题卡相应题号后的横线上(本大题共 5 小题,每小题 5 分, 共 25 分). 开始 11. 执行如右图所示的程序框图,若输出的 n ? 5 , 则输入整数 p 的最小值是 .
·2·

输入整数 p
n ? 1, S ? 0

S? p



x ?1 ? ? ? x? y ?0 ?x ? 2 y ? 9 ? 0 12.已知变量 x, y 满足条件 ? ,

若目标函数 z ? ax ? y 仅在点 (3,3) 处取得最小值, 则 a 的取值范围是 13.把函数 .
?

f ( x) ? sin( x ? 3 ) 图像上每一点的横坐
1 3

标缩小为原来的
?

(纵坐标不变),再把所得的图像向左 ;

平移 9 个单位,所得图像的解析式为:

14.已知偶函数 y ? f ( x)( x ? R) 在区间 [?1, 0] 上单调递增,且满足 f (1 ? x) ? f (1 ? x) ? 0 , 给出下列判断: (1) f (5) ? 0 ; (2) f ( x) 在 [1, 2] 上是减函数; (3)函数 y ? f ( x) 没有最小值; (4)函数 f ( x) 在 x ? 0 处取得最大值; (5) f ( x) 的图像关于直线 x ? 1 对称. 其中正确的序号是 . 15.(考生注意:请在下列三题中任选一题作答,若多做,按所做的第一题评分)
2a ? 1 ? x ? 1 x 对一切非零实数 x 恒成立,则实数 a 的取

A.(不等式选做题)若不等式 值范围是 .

B.(几何证明选做题)如图,圆O的直径AB=8,C为圆 周上一点,BC=4,过C作圆的切线 l ,过A作直线 l 的 垂线AD,D为垂足,AD与圆O交于点E,则线段 AE的长为 . C. (坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系 xOy 中,

? x ? 5cos ? ? 1 ? x ? 4t ? 6 C:? l:? 已知圆 ? y ? 5sin ? ? 2 ( ? 为参数)和直线 ? y ? ?3t ? 2 ( t 为参数),则直线 l 被
圆C所截得弦长为 . 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共 6 小题,共 75 分) 16.(本题 12 分)
·3·

?? 已知 ?ABC 的角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c ,设向量 m ? (a, b) , ? ? ? n ? (sin B,sin A) , p ? (b ? 2, a ? 2) . ?? ? (1)若 m // n ,求证: ?ABC 为等腰三角形; ?? ?? ? (2) 若 m ⊥ p ,边长 c ? 2 , ?C ? ,求 ?ABC 的面积 . 3
17. (本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 是等差数列, a2 ? 4, a5 ? 10 ;数列 ?bn ? 的前 n 项和是 Tn ,且
1 Tn ? bn ? 1 . 2

(1) 求证:数列 ?bn ? 是等比数列; (2) 记 cn ? an ? bn ,求 ?cn ? 的前 n 项和 Sn . 18.(本题满分 12 分) 从某学校高三年级 800 名学生 中随机抽取 50 名测量身高,据 测量被抽取的学生的身高全部 介于 155cm 和 195cm 之间,将 测量结果按如下方式分成八 组:第一组 ?155,160? .第二组

?160,165? ;?第八组 ?190,195? ,
右图是按上述分组得到的条形图。
(1)根据已知条件填写下表并估计这所学校高三年级 800 名学生中身高在 180cm 以上 (含 180cm)的人数; 组 别 1 2 3 4 5 6 7 8 样本数

(2)在样本中,若第二组有 1 人为男生,其余为女生,第七组有 1 人为女生,其余为男 生,在第二组和第七组中各选一名同学组成实验小组,问:实验小组中恰为一 男一女的概率是多少? 19.(本题 12 分) 长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, AA1 ? 2 , AB ? BC ? 2 , O 是底面对角线的交点. (1) 求证: AO ? 平面 BC1D ; 1 (2) 求三棱锥 A1 ? DBC1 的体积. 21.(本题满分 13 分) 设函数 f ( x) ? ? x( x ? a)2 ( x ? R ),其中 a ? R 。
·4·

(1) 当 a ? 1 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (2,f (2)) 处的切线方程; (2)当 a ? 0 时,求函数 f ( x) 的极大值和极小值; 21.(本小题满分14分) 已知动点 M 到点 F (1, 0) 的距离等于它到直线 x ? ?1 的距离. (1)求点 M 的轨迹 C 的方程; (2)过点 F 任意作互相垂直的两条直线 l1 , l2 ,分别交曲线 C 于点 A, B 和 M , N . 设线段 AB , MN 的中点分别为 P, Q ,求证:直线 PQ 恒过一个定点.

文科数学参考答案
一、选择题:DABBA 二、填空题:11.8
1 3 [? , ] 15.A. 2 2

DBDCB 12. a ? ?1 13. f ( x) ? sin 3x B.4 C. 4 6 14. 124

16、(本题 12 分) u v v 解:(1) Q m // n,?a sin A ? b sin B, a b ? b? 即a? ,其中 R 是三角形 ABC 外接圆半径, a ? b ????5 分 2R 2R ? ?ABC 为等腰三角形 ?????????????????6 分 (2)由题意可知 ,? a ? b ? ab ??8 分

由余弦定理可知, 4 ? a2 ? b2 ? ab ? (a ? b)2 ? 3ab 即(ab)2 ? 3ab ? 4 ? 0 ? ab ? 4(舍去ab ? ?1) ??????????10 分 1 1 ? ? S ? ab sin C ? ? 4 ? sin ? 3 ???????????????12 分 2 2 3 17.(本小题满分 12 分)
1 2 解:(1)当 n ? 1 时, b1 ? T1 ,由 T1 ? b1 ? 1 ,得 b1 ? . ???????(1 分) 2 3 1 1 当 n ? 2 时,? Tn ? 1 ? bn , Tn ?1 ? 1 ? bn ?1 , 2 2 1 1 ∴ Tn ? Tn ?1 = (bn ?1 ? bn ) ,即 bn ? (bn ?1 ? bn ) . ??????????(3 分) 2 2
·5·

1 ∴ bn = bn ?1 . 3

∴ ?bn ? 是以

2 1 为首项, 为公比的等比数列.?????(4 分) 3 3

(2)设 ?an ? 的公差为 d ,则: a2 ? a1 ? d , a5 ? a1 ? 4d , ∴ an ? 2n .?????????(6 分)
2 1 1 由(1)可知: bn ? ? ( ) n ?1 ? 2 ? ( ) n .?????????(8 分) 3 3 3

1 1 c n ? a n ? bn ? 2n ? 2 ? ( ) n ? 4n ? ( ) n 3 3 1 1 1 1 ? s n ? c1 ? c 2 ? ... ? c n ?1 ? c n ? 4 ? ( ) ? 8 ? ( ) 2 ? ... ? 4(n ? 1) ? ( ) n ?1 ? 4n ? ( ) n . 3 3 3 3 1 1 1 1 1 ? s n ? 4 ? ( ) 2 ? 8 ? ( ) 3 ? ... ? 4(n ? 1)( ) n ? 4n ? ( ) n ?1 .......... 10分) ( . 18. 3 3 3 3 3 1 1 ? [1 ? ( ) n ] 1 2 1 1 1 1 3 ? 4n ? ( 1 ) n ?1 s n ? s n ? s n ? 4 ? [( ) ? ( ) 2 ? ... ? ( ) n ] ? 4n ? ( ) n ?1 ? 4 ? 3 1 3 3 3 3 3 3 3 1? 3 1 1 1 1 ? 2 ? 2 ? ( ) n ? 4n ? ( ) n ?1 ? s n ? 3 ? ( ) n ?1 ? 2n ? ( ) n .......... 12分 ..... 3 3 3 3

(本题满分 12 分) 解:(1)由条形图得第七组频率为 1 ? (0.04 ? 2 ? 0.08 ? 2 ? 0.2 ? 2 ? 0.3) ? 0.06 ,0.06 ? 50 ? 3 . ∴第七组的人数为 3 人. ??????????????3 分
组别 样本中人数 1 2 2 4 10 3 10 4 15 5 6 4 7 3 8 2

由条形图得前五组频率为(0.008+0.016+0.04+0.04+0.06)×5=0.82, 后三组频率为 1-0.82=0.18.估计这所学校高三年级身高在 180cm 以上(含 180cm)的人数 800×0.18=144(人). ??????????????7 分

(2)第二组四人记为 a 、 b 、 c 、 d ,其中 a 为男生,b、c、d 为女生,第七组三人记 为 1、2、3,其中 1、2 为男生,3 为女生,基本事件列表如下: a 1 2 3 1a 2a 3a b 1b 2b 3b
·6·

c 1c 2c 3c

d 1d 2d 3d

所以基本事件有 12 个, 恰为一男一女的事件有 1b,1c,1d,2b,2c,2d,3a 共 7 个, 7 因此实验小组中,恰为一男一女的概率是 . ???????12 分 12 19.(本题 12 分) (1) 证明:连结 OC1 ∵ BD ? AC A A1 ? B D ∴ BD ? 平面 ACC1 A1 ????4 分 又∵ O 在 AC 上,∴ AO 在平面 ACC1 A1 上∴ AO ? BD ??????????5 分 1 1 ∵ AB ? BC ? 2 ∴ AC ? AC1 ? 2 2 1 ∴ OA ? 2 ∴ Rt?AAO 中, A1O ? AA12 ? OA2 ? 2 ?????????????6 分 1 同理: OC1 ? 2 ∵ ?AOC1 中, AO2 ? OC12 ? AC12 1 1 1 ∴ AO ? OC1 ??????????????????????7 分 1 ∴ AO ? 平面 BC1D ?????????????????????8 分 1 (2)解:∵ AO ? 平面 BC1D 1 1 1 ∴所求体积 V ? ? A1O ? ? BD ? OC1 ??????????????10 分 3 2 1 1 4 2 ? ?2? ? 2 2 ? 2 ? ????????????12 分 3 2 3 20.(本题满分 13 分) 解:(I)当 a ? 1 时, f ( x) ? ? x( x ?1)2 ? ? x3 ? 2x2 ? x ,得 f (2) ? ?2 ,且 f ?( x) ? ?3x2 ? 4x ?1, f ?(2) ? ?5 . ? 所以,曲线 y ? ? x( x ? 1)2 在点 (2, 2) 处的切线方程是 y ? 2 ? ?5( x ? 2) , 整理得 5x ? y ? 8 ? 0 . ??????????????5 分 (Ⅱ)解: f ( x) ? ? x( x ? a)2 ? ? x3 ? 2ax2 ? a 2 x f ?( x) ? ?3x2 ? 4ax ? a2 ? ?(3x ? a)( x ? a) . a 令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? 或 x ? a . 由于 a ? 0 ,以下分两种情况讨论. 3 (1)若 a ? 0 ,当 x 变化时, f ?( x ) 的正负如下表:

x
f ?( x )

a? ? ? ?∞, ? 3? ?
?

a 3
0

?a ? ? ,a ? ?3 ?

a
0

(a,∞) ?

?

?

a 4 ?a? ?a? 处取得极小值 f ? ? ,且 f ? ? ? ? a 3 ; 3 27 ?3? ?3? 函数 f ( x) 在 x ? a 处取得极大值 f (a ) ,且 f (a) ? 0 . ??????10 分 (2)若 a ? 0 ,当 x 变化时, f ?( x ) 的正负如下表:

因此,函数 f ( x) 在 x ?

·7·

x
f ?( x )

? ?∞,a ?
?

a
0

? a? ? a, ? ? 3?

a 3
0

?a ? ? ? , ∞? ?3 ?

?

?

因此,函数 f ( x) 在 x ? a 处取得极小值 f (a ) ,且 f (a) ? 0 ; a 4 ?a? ?a? 函数 f ( x) 在 x ? 处取得极大值 f ? ? ,且 f ? ? ? ? a 3 . ??13 分 3 27 ?3? ?3? 21.(本小题满分14分) 解:(1)设动点 M 的坐标为 ( x, y ) ,由题意得,
( x ? 1) 2 ? y 2 ?| x ? 1|



---------------------------------------------3分
2 2 化简得 y ? 4x ,所以点 M 的轨迹 C 的方程为 y ? 4x .-------------------5分

x1 ? x2 y1 ? y2 , ) 2 2 (2)设 A, B 两点坐标分别为 ( x1, y1 ) , ( x2 , y2 ) ,则点 P 的坐标为 . (

由题意可设直线 l1 的方程为 y ? k ( x ? 1) (k ? 0) ,
? y 2 ? 4 x, ? y ? k ( x ? 1), 由?

k 2 x2 ? (2k 2 ? 4) x ? k 2 ? 0 .

---------------7分

D = (2k 2 + 4)2 - 4k 4 = 16k 2 + 16 > 0 .
因为直线 l1 与曲线 C 于 A, B 两点,所以
y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ? 2) ? x1 ? x2 ? 2 ? 4 k2 ,

4 2 2 (1 ? 2 , ) k .所以点 P 的坐标为 k k .

------------9分

1 ? l2 的斜率为 k ,同理可得点 Q 的坐标为 (1 ? 2k 2 , ?2k ) . --10分 由题知,直线

2 1 ? 2 ? 1 ? 2k 2 当 k ? ?1 时, 有 k , 此时直线 PQ 的斜率
y ? 2k ?

k PQ

2 ? 2k k k ? ? 2 2 1 ? 2 ? 1 ? 2k 2 1 ? k k .



以,直线 PQ 的方程为

k ( x ? 1 ? 2k 2 ) 2 1? k ,------------------11分

·8·

2 整理得 yk ? ( x ? 3)k ? y ? 0 . 于是,直线 PQ 恒过定点 E (3, 0) ;

-----12分

当 k ? ?1 时,直线 PQ 的方程为 x ? 3 ,也过点. 综上所述,直线恒过定点. -----------------------------------14分

·9·


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