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江苏省盐城中学中校区2014-2015学年高一上学期期中数学试卷


2014-2015 学年江苏省盐城中学中校区高一(上)期中数学试卷
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分) 1. (5 分)设全集 U={1,2,3,4,5},集合 M={1,2,4},则集合?UM=. 2. (5 分)设 f(x)=kx+1,若 f(2)=0,则 f(3)=. 3. (5 分)化简 的结果是.

4. (5 分)已知幂函数的图象经过点(2,32)则它的解析式 f(x)=. 5. (5 分)函数 的定义域为: .

6. (5 分)已知 f(1﹣x)=x ﹣2x,则 f(2)=. 7. (5 分)三个数 a=0.3 ,b=log20.3,c=2
2 0.3

2

之间(用字母表示)从小到大的关系是.

8. (5 分)设 f(x)=

,则 f(f(﹣1) )的值为.

9. (5 分)已知定义在 R 上的奇函数 f(x) ,当 x>0 时,f(x)=x ,则 f(﹣1)=. 10. (5 分)设 2 =3 =6,则
a b

2

的值为.

11. (5 分)若 f(x)在 R 上是奇函数,当 x∈(0,+∞)时为增函数,且 f(1)=0,则不等式 f(x)<0 的解集是. 12. (5 分)若 x0 是函数 f(x)=2 +3x 的零点,且 x0∈(a,a+1) ,a∈Z,则 a=. 13. (5 分)函数 y=x ﹣2x+4 在闭区间[0,m]上有最大值 4,最小值 3,则 m 的取值范围是. 14. (5 分)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≤0 时,f(x)=x ,若对任意的 x∈[t,t+2], 不等式 f(x)≤9f(x+t)恒成立,则实数 t 的最大值是.
2 2 x

二、 解答题 (本大题共 6 小题, 计 90 分.请在答题纸指定区域内作答, 解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. ) 15. (15 分)已知集合 A={x|1<x<6},B={x|2<x<10},C={x|x<a}.

(1)求(?RA)∩B; (2)若 A?C,求 a 的取值范围. 16. (15 分)计算: (1) (2) . ;

17. (15 分)如图所示,动物园要建造一面靠墙的 2 间面积相同的矩形熊猫居室,如果可供建 造围墙的材料总长是 30m,所建造的每间熊猫居室宽为 x(单位:m) ,面积为 y; (1)将 y 表示为 x 的函数; (2)宽为 x 为多少时,每间熊猫居室最大?每间熊猫居室的最大面积是多少?

18. (15 分)已知函数 f(x)=



(1)判断函数 f(x)的奇偶性; (2)证明:f(x)在(﹣∞,+∞)上是增函数; (3)求函数 f(x)的值域. 19. (15 分)已知二次函数 f(x)的最小值为 1,f(0)=f(2)=3,g(x)=f(x)+ax(a∈R) . (1)求 f(x)的解析式; (2)若函数 g(x)在[﹣1,1]上为单调函数,求实数 a 的取值范围; (3)若在区间[﹣1,1]上,g(x)图象上每个点都在直线 y=2x+6 的下方,求实数 a 的取值范 围. 20. (15 分)函数 f(x)的定义域为(0,+∞)且对一切 x>0,y>0,都有 ,当 x>1 时,总有 f(x)>0. (1)求 f(1)的值; (2)判断 f(x)的单调性并证明; (3)若 f(4)=6,解不等式 f(x﹣1)+f(x﹣2)≤3.

2014-2015 学年江苏省盐城中学中校区高一(上)期中数 学试卷

参考答案与试题解析

一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分) 1. (5 分)设全集 U={1,2,3,4,5},集合 M={1,2,4},则集合?UM={3,5}. 考点: 补集及其运算. 专题: 集合. 分析: 根据补集的定义求出即可. 解答: 解:∵全集 U={1,2,3,4,5},集合 M={1,2,4}, ∴CUM={3,5}, 故答案为:{4,5}. 点评: 本题考查了集合的运算,是一道基础题.

2. (5 分)设 f(x)=kx+1,若 f(2)=0,则 f(3)=﹣ .

考点: 专题: 分析: 解答:

函数的值. 函数的性质及应用. 利用函数的性质求解. 解:∵f(x)=kx+1,f(2)=0,

∴2k+1=0,解得 k=﹣ , ∴f(x)=﹣ ∴f(3)=﹣ 故答案为:﹣ . 点评: 本题考查函值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意函数性质的合理运用. , =﹣ .

3. (5 分)化简

的结果是 π﹣3.

考点: 根式与分数指数幂的互化及其化简运算. 专题: 计算题. 分析: 利用 解答: 解:∵π>3,∴ =|π﹣3|和 π>3 即可得出. =|π﹣3|=π﹣3.

故答案为 π﹣3. 点评: 本题考查了根式的运算法则,属于基础题. 4. (5 分)已知幂函数的图象经过点(2,32)则它的解析式 f(x)=x .
5

考点: 幂函数的概念、解析式、定义域、值域. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 设出幂函数,通过幂函数经过的点,即可求解幂函数的解析式. a 解答: 解:设幂函数为 y=x ,因为幂函数图象过点(2,32) , a 所以 32=2 ,解得 a=5, 5 所以幂函数的解析式为 y=x . 5 故答案为:x 点评: 本题考查幂函数的函数解析式的求法,幂函数的基本知识的应用. 5. (5 分)函数 的定义域为:[1,+∞) .

考点: 对数函数的定义域. 专题: 计算题. 分析: 要使函数 数的定义域. 解答: 解:要使函数 log2x≥0 解得 x≥1 所以函数 的定义域为:[1,+∞) . 有意义,需 有意义,需 log2x≥0 解得 x≥1,写出区间或集合的形式,即为函

故答案为:[1,+∞) 点评: 本题主要考查函数的定义域的求法,这是给定解析式的类型,定义域涉及到对数函 数要求真数大于零且底数大于零不等于 1;开偶次方根的被开方数大于等于 0;分母不等于 0. 6. (5 分)已知 f(1﹣x)=x ﹣2x,则 f(2)=3. 考点: 函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 2 分析: 由已知条件得 f(2)=f[1﹣(﹣1)]=(﹣1) ﹣2(﹣1)=3. 2 解答: 解:∵f(1﹣x)=x ﹣2x, 2 ∴f(2)=f[1﹣(﹣1)]=(﹣1) ﹣2(﹣1)=3. 故答案为:3. 点评: 本题考查函数性质的合理运用,是基础题,解题时要认真审题,注意函数性质的合 理运用. 7. (5 分)三个数 a=0.3 ,b=log20.3,c=2 考点: 专题: 分析: 解答:
2 0.3 2

之间(用字母表示)从小到大的关系是 b<a<c.

不等式比较大小;对数值大小的比较. 函数的性质及应用. 判断 a,b,c 与 0 和 1 的大小关系,即可判断三个数值的大小关系. 2 解:∵0<a=0.3 <1,

b=log20.3<log21=0, 0.3 0 c=2 >2 =1, ∴b<a<c. 故答案为:b<a<c. 点评: 本题考查 a,b,c 的大小关系的判断,解题时要认真审题,注意对数函数、指数函数 的性质的灵活运用.

8. (5 分)设 f(x)=

,则 f(f(﹣1) )的值为 5.

考点: 函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据 x=﹣1<1,代入 f(x)进行求解,得到 f(﹣1) ,再根据 f(﹣2)的值,从而 求出 f(f(﹣1) ) . 解答: 解:∵f(x)= ,

∴f(f(﹣1) )=f(4)=5, 故答案为:5 点评: 本题考擦了分段函数的求值,对于分段函数一般选择分段处理,这是研究分段函数 图象和性质最核心的理念,属于基础题. 9. (5 分)已知定义在 R 上的奇函数 f(x) ,当 x>0 时,f(x)=x ,则 f(﹣1)=﹣1. 考点: 函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 将 x>0 的解析式中的 x 用 1 代替,求出 f(1) ,利用奇函数的定义得到 f(﹣1)与 f (1)的关系,即可求出 f(﹣1) . 2 解答: 解:∵当 x>0 时,f(x)=x , ∴f(1)=1, ∵f(x)是定义在 R 上的奇函数, ∴f(﹣1)=﹣f(1) , ∴f(1)=﹣1. 故答案为:﹣1. 点评: 本题考查的知识点是函数奇偶性的性质,熟练掌握函数的奇偶性的性质是解答本题 的关键.属于基础题.
a b 2

10. (5 分)设 2 =3 =6,则

的值为 1.

考点: 基本不等式. 专题: 计算题.

分析: 利用对数的定义可求得 a,b 从而可得 与 ,于是 解答: 解:∵2 =3 =6, ∴ =log62, =log63 ∴ =log62+log63=1.
a b

的值可求.

故答案为:1. 点评: 本题考查对数的定义,关键在于由条件 2 =3 =6 表示出 与 ,属于中档题.
a b

11. (5 分)若 f(x)在 R 上是奇函数,当 x∈(0,+∞)时为增函数,且 f(1)=0,则不等式 f(x)<0 的解集是(﹣∞,﹣1)∪(0,1) . 考点: 奇偶性与单调性的综合. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由已知可得当 x∈(﹣∞,0)时为增函数,且 f(0)=0,f(﹣1)=0,进而得到不等 式 f(x)<0 的解集 解答: 解:∵f(x)在 R 上是奇函数,当 x∈(0,+∞)时为增函数, ∴当 x∈(﹣∞,0)时为增函数,且 f(0)=0 又∵f(1)=0, ∴f(﹣1)=0, 若 f(x)<0,则 x<﹣1,或 0<x<1 ∴不等式 f(x)<0 的解集是(﹣∞,﹣1)∪(0,1) 故答案为: (﹣∞,﹣1)∪(0,1) 点评: 本题考查的知识点是奇偶性与单调性,分析出函数在定义域的单调性是解答的关键. 12. (5 分)若 x0 是函数 f(x)=2 +3x 的零点,且 x0∈(a,a+1) ,a∈Z,则 a=﹣1. 考点: 函数零点的判定定理. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 函数零点左右两边函数值的符号相反,根据函数在一个区间上两个端点的函数值的 符号确定是否存在零点. 解答: 解:由 f(﹣1)= ﹣3<0,f(0)=1>0,及零点定理知 f(x)的零点在区间(﹣1, 0)上, ∴零点所在的一个区间是(a,a+1)=(﹣1,0) ∴a=﹣1, 故答案为:﹣1 点评: 本题主要考查函数零点的概念与零点定理的应用,本题的解题的关键是检验函数值 的符号. 13. (5 分)函数 y=x ﹣2x+4 在闭区间[0,m]上有最大值 4,最小值 3,则 m 的取值范围是[1, 2].
2 x

考点: 二次函数的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 先求出函数的对称轴,结合二次函数的性质从而得到答案. 解答: 解:∵对称轴 x=1,∴m≥1, 2 令 x ﹣2x+4=0,解得:x=0,或 x=2, ∴m≤2, 故 m 的范围是[1,2] 点评: 本题考查了二次函数的性质,是一道基础题. 14. (5 分)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≤0 时,f(x)=x ,若对任意的 x∈[t,t+2], 不等式 f(x)≤9f(x+t)恒成立,则实数 t 的最大值是﹣ .
2

考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由已知表达式及奇函数的性质求出函数 f(x)在 R 上的解析式,易判断其单调性, 再把不等式 f(x)≤9f(x+t)进行等价变形,转化为两个自变量的值间的不等关系,进而可转 化为函数的最值问题解决. 2 解答: 解:当 x≤0 时,f(x)=x , ∵函数 f(x)是奇函数, 2 ∴当 x>0 时,f(x)=﹣x , ∴f(x)= ,

则函数 f(x)的图象如图: 则函数 f(x)在 R 上单调递减, ∵9f(x+t)=3 f(x+t)=f(3x+3t) , ∴对任意的 x∈[t,t+2],不等式 f(x)≤9f(x+t)恒成立, 等价为对任意的 x∈[t,t+2],不等式 f(x)≤f(3x+3t)恒成立, 即 x≥3x+3t,即 x≤﹣ t 恒成立, ∵x∈[t,t+2], ∴t+2≤﹣ t 恒成立, 即 t≤﹣2,解 t≤ ,
2

则实数 t 的最大值为﹣ . 故答案为:﹣ . 点评: 本题考查了函数恒成立问题及函数的奇偶性,考查学生灵活运用所学知识分析问题 解决问题的能力.

二、 解答题 (本大题共 6 小题, 计 90 分.请在答题纸指定区域内作答, 解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. ) 15. (15 分)已知集合 A={x|1<x<6},B={x|2<x<10},C={x|x<a}. (1)求(?RA)∩B; (2)若 A?C,求 a 的取值范围. 考点: 交、并、补集的混合运算;集合的包含关系判断及应用. 专题: 集合. 分析: (1)由全集 R 及 A,求出 A 的补集,找出 A 补集与 B 的交集即可; (2)由 A 为 C 的子集,确定出 a 的范围即可. 解答: 解: (1)∵A={x|1<x<6},B={x|2<x<10}, ∴?RA={x|x≤1 或 x≥6}, ∴(?RA)∩B={x|6≤x<10}; (2)∵A={x|1<x<6},C={x|x<a},且 A?C, ∴a≥6. 点评: 此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键. 16. (15 分)计算: (1) (2) . ;

考点: 对数的运算性质;根式与分数指数幂的互化及其化简运算. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)利用分数指数幂的性质和运算法则求解. (2)利用对数的性质和运算法则求解. 解答: 解: (1) = (2) =2+4lg2+3lg5+lg5 =2+4lg2+4lg5=2+4=6. 点评: 本题考查分数指数幂和对数式的化简求值,是基础题,解题时要注意指数和对数的 性质及运算法则的合理运用. 17. (15 分)如图所示,动物园要建造一面靠墙的 2 间面积相同的矩形熊猫居室,如果可供建 造围墙的材料总长是 30m,所建造的每间熊猫居室宽为 x(单位:m) ,面积为 y; (1)将 y 表示为 x 的函数; (2)宽为 x 为多少时,每间熊猫居室最大?每间熊猫居室的最大面积是多少?

考点: 函数模型的选择与应用. 专题: 应用题. 分析: (1)设出熊猫居室的宽,把长用宽表示,直接利用矩形面积得函数解析式; (2)直接利用二次函数的性质求最值. 解答: 解: (1)每间熊猫居室的宽为 xm,则长为 则每间熊猫居室的面积 ∴ (2)由(1)得 , (0<x<10) ; , (0<x<10) . , = . m,

二次函数开口向下,对称轴方程为

∴当 x=5 时,y 有最大值 37.5. 2 答:宽为 5m 时才能使每间熊猫居室最大,每间熊猫居室的最大面积是 37.5m . 点评: 本题考查了函数模型的选择及应用,考查了利用二次函数求最值,是中档题.

18. (15 分)已知函数 f(x)=



(1)判断函数 f(x)的奇偶性; (2)证明:f(x)在(﹣∞,+∞)上是增函数; (3)求函数 f(x)的值域. 考点: 函数单调性的判断与证明;函数的值域;函数奇偶性的判断. 专题: 函数的性质及应用;导数的综合应用. 分析: (1)先求 f(x)的定义域为 R,然后求 f(﹣x)和 f(x)比较即可; (2)求 f′(x) ,根据 f′(x)的符号即可证明 f(x)在(﹣∞,+∞)上是增函数; (3)将原函数变成:f(x)= ,让 x 分别趋向于正无穷和负无穷,判断 f(x)趋向

的值即可得到 f(x)的值域. 解答: 解: (1)函数 f(x)的定义域为 R; f(﹣x)= 所以函数 f(x)为奇函数; ;

(2)f′(x)= ∴f(x)在(﹣∞,+∞)上是增函数; (3)f(x)= 当 x 趋向正无穷时,
x

=



; 趋向 0 且大于 0,所以 f(x)趋向 1,即 f(x)<1; 趋向 2 且小于 2,所以 f(x)>﹣1;

当 x 趋向负无穷时,2 趋向 0,

所以 f(x)的值域是(﹣1,1) . 点评: 考查奇函数的定义及判断过程,通过判断函数导数符号来证明函数单调性的方法, 让 x 趋向区间的两端来判断 f(x)趋向的值从而求 f(x)值域的方法. 19. (15 分)已知二次函数 f(x)的最小值为 1,f(0)=f(2)=3,g(x)=f(x)+ax(a∈R) . (1)求 f(x)的解析式; (2)若函数 g(x)在[﹣1,1]上为单调函数,求实数 a 的取值范围; (3)若在区间[﹣1,1]上,g(x)图象上每个点都在直线 y=2x+6 的下方,求实数 a 的取值范 围. 考点: 二次函数的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)先求出函数的顶点坐标,设出函数的表达式,代入 f(0)=3,从而求出函数的 表达式; (2)先求出 g(x)的表达式,从而求出函数的对称轴,顶点不等式,解出 a 的范围即可; (3)由题意得不等式组,解出即可. 解答: 解: (1)∵f(0)=f(2)=3,最小值是 1, ∴对称轴 x=1,函数的顶点是: (1,1) , 2 ∴设函数的表达式是 f(x)=a(x﹣1) +1, 将 f(0)=3 代入,解得:a=2, 2 ∴f(x)=2x ﹣4x+3; 2 (2)由题意得 g(x)=2x +(a﹣4)x+3, 对称轴 可得 a≤0 或 a≥8; (3) , 或 ,

解得 5<a<7. 点评: 本题考查了二次函数的性质,考查了函数的单调性,考查了求参数的范围,是一道 中档题.

20. (15 分)函数 f(x)的定义域为(0,+∞)且对一切 x>0,y>0,都有 ,当 x>1 时,总有 f(x)>0. (1)求 f(1)的值; (2)判断 f(x)的单调性并证明; (3)若 f(4)=6,解不等式 f(x﹣1)+f(x﹣2)≤3. 考点: 抽象函数及其应用. 专题: 计算题;证明题;函数的性质及应用. 分析: (1)令 x=y=1,代入可解得. (2)先判断,后证明,利用单调性的定义证明; (3)令 x=4,y=2,可得 f(2)=f(4)﹣f(2) ,从而求出 f(2)=3,则原不不等式等价于 f (x ﹣3x+2)≤f(2) ,从而解得. 解答: 解: (1)令 x=y=1, 代入可得,f( )=f(1)﹣f(1)=0, 即 f(1)=0; (2)f(x)是(0,+∞)上的增函数;证明如下: 任取 ,
2



,∴

>0,

即 f(x2)>f(x1) , ∴f(x)是(0,+∞)上的增函数; (3)令 x=4,y=2,可得, f(2)=f(4)﹣f(2) , 则 f(2)=3, 2 则原不等式等价于 f(x ﹣3x+2)≤f(2) ,





解得 2<x≤3. 点评: 本题考查了抽象函数函数值的求法,单调性的证明与应用,属于中档题.


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