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内蒙古包头市第一中学2015-2016学年高二数学上学期期末考试试题 理


包头一中 2015-2016 学年度第一学期期末考试 高二年级理科数学试题
一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中只有一项是最符合题目 要求的,请将正确答案的序号填涂到答题卡上.) 1.已知复数 z ? i ?1 ? i ? ( i 为虚数单位),则复数 z 在复平面上对应的点位于( ) A.第一象限 C.第三象限 2. ,则“ A.充分而不必要条件 C.充要条件 A. ?x ? R, x2 ? 1 ? 1 ”是“ B.第二象限 D.第四象限. ”的( ) B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ) B.

3.命题“ ?x ? R, x2 ? 1 ? 1 ”的否定是(

C. D . 4.下面几种推理过程是演绎推理的是( ) A. 两条直线平行, 同旁内角互补, 如果 ?A 和 ?B 是两条平行直线的同旁内角, 则 ?A + ?B = 180 ? B.由平面三角形的性质,推测空间四面体的性质 C.某校高三共有 10 个班,1 班有 51 人,2 班有 53 人,三班有 52 人,由此推测各班都超过 50 人 D.在数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , a n ?

1 1 (an?1 ? ) (n ? 2) ,计算 a2 , a3 , a4 ,由此推测通项 an 2 an ? 1

5.用数学归纳法证明等式 1 ? 3 ? 5 ? ??? ? (2n ? 1) ? n2 (n∈N*) 的过程中,第二步假设 n=k 时等式 成立,则当 n=k+1 时应得到( ) A. 1 ? 3 ? 5 ? ??? ? (2k ? 1) ? k 2 B. 1 ? 3 ? 5 ? ??? ? (2k ? 1) ? (k ? 1) 2 C.1 ? 3 ? 5 ? ??? ? (2 k ?1) ?( k ?2)
2

D. 1 ? 3 ? 5 ? ??? ? (2k ? 1) ? (k ? 3) 2 ) )

6.已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , a3 ? a8 ? 13 且 S7 ? 35 ,则 a7 ? (

A.11 B.10 C.9 D.8 7.在各项为正数的等比数列 ?a n ?中, a1 ? 3 ,前三项的和 S3 ? 21 ,则 a3 ? a4 ? a5 的值为( A.33 B.72 C.84 D.189
0

8. ??? C 中,角 ? 、 ? 、 C 所对的边为 a 、 b 、 c ,且角 A ? 60 , a ? 2 ,则 ??? C 的周长的最 大值为( ) A.2 B.4 C.6 D .8 9.若椭圆

x2 y 2 ? 2 ? 1 过抛物线 y 2 ? 8x 的焦点, 且与双曲线 x2 ? y 2 ? 1有相同的焦点,则该椭圆 2 a b
B.

的方程是( ) A.

x2 y 2 ? ?1 4 2

x2 ? y2 ? 1 3

C.

y2 x2 y 2 ?1 ? ? 1 D. x 2 ? 2 4 3
的右焦点与抛物线 D.3 的焦点重合,A、

10.已知椭圆

的中心为坐标原点,离心率为 , )

B 是 C 的准线与 E 的两个交点,则 ( A.12 B.6 C.9
2 2

11 若双曲线 围是( )

x y 2 ? 2 ? 1, (a ? 0, b ? 0) 的渐近线与圆 ? x ? 2 ? ? y 2 ? 1 相离,则其离心率 e 的取值范 2 a b

1

A. e ? 1
12.双曲线

B. e ?

1? 5 2

C. e ?

2 3 3

D. e ?

5 2

x2 ? y 2 ? 1(n ? 1) 的两焦点为 F1 , F2 ,且点 P 在双曲线上,满足 PF1 ? PF2 ? 2 n ? 2 , n
) C.2 D.4 B.

则 ?PF 1 F2 的面积为( A.1

1 2

二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 请将正确的答案填写到答题卷的相应位置上)

?x ? y ? 2 1 ? 13.若 x , y 满足不等式组 ? x ? 1 ,则 z ? x ? y 的最小值是__________. 2 ?y ? 2 ? 1 1 14.已知实数 m, n 满足 m ? n ? 0, m ? n ? ?1, 则 ? 的最大值为 . m n x2 ? y 2 ? 1 的右焦点重合,则该抛物线的准线方程为 15 .若抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点与双曲线 3
__________. 16 .已知 M (x 0 , y0 ) 是双曲线 钝角,则 的取值范围是 :

x2 ? y 2 ? 1上的一点, F1 , F2 是 上的两个焦点,若 ?F1MF2 为 2


三、解答题(本大题共 6 小题,共 7 0 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. ( 本 小 题 10 分 ) 在 ?ABC 中 , 角 A, B, C, 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 a, b, c, 且 满 足

b c o sA? ( 2 c? a ) c? o s? ( B) (1)求角 B 的大小; (2)若 b ? 4, ?ABC 的面积为 3 ,求 a ? c 的值.

18.(本小题 12 分) 如 图 , 多 面 体 ABC DEF中 , BA, BC, BE 两 两 垂 直 , 且 AB // EF, CD // BE, AB ? BE ? 2 ,

BC ? CD ? EF ? 1 .

2

(1)若点 G 在线段 AB 上,且 BG ? 3GA ,求证: CG // 平面ADF ; (2)求直线 DE 与平面 ADF 所成的角的正弦值.

19.(本小题 12 分)

(普通班)已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? n2 ? 2n ( n ? ? ? ). (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)求数列 ?

?

1 ? ? 的前 n 项和. ? an ? an ?1 ?

(实验班)已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 Sn ? 2an ? n ,且 bn ? n(1 ? an ) . (1)求证: {an ?1} 为等比数列; (2)求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn .

20.(本小题 12 分) ? (普通班)如图,四边形 ABCD 为菱形, ?ABC ? 60 , PA ? 平面 ABCD , E 为 PC 中点.

P

E
A B

D

C

(Ⅰ)求证:平面 BED ? 平面 ABCD ; (Ⅱ)求平面 PBA 与平面 EBD 所成二面角(锐角)的余弦值. (实验班)如图,已知长方形 ABCD 中, AB ? 2 2 , AD ? 2 , M 为 DC 的中点.将 ?ADM 沿 AM 折起,使得平面 ADM ? 平面 ABCM .

3

(1)求证: AD ? BM ; (2)若点 E 是线段 DB 上的一动点,问点 E 在何位置时,二面角 E ? AM ? D 的余弦值为

5 . 5

21.(本小题 12 分)

8x 2 y 2 ? ? 1 上一点 M 的纵坐标为 2. (普通班)已知椭圆 81 36
(1)求 M 的横坐标; (2)求过点 M 且与

x2 y2 ? ? 1 共焦点的椭圆方程。 9 4

(实验班) 已知抛物线 C1 : y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F , 抛物线上的点 G (1, c) 到焦点的距离为 3,

x2 y 2 1 ? 2 ? 1(m ? n ? 0) 的一 个焦点与抛物线 C1 的焦点重合,且离心率为 . 2 2 m n (1)求抛物线 C1 和椭圆 C2 的方程; (2)已知直线 l : y ? kx ? 4 交椭圆 C2 于 A 、 B 两个不同的点,若原点 O 在以线段 AB 为直径的 圆的外部,求 k 的取值范围.
椭圆 C2 :

22.(本小题 12 分)

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 右焦点的直线 x ? y ? 3 ? 0 a 2 b2 1 交 M 于 A, B 两点, P 为 AB 的中点,且 OP 的斜率为 . 2
(普通班) 平面直角坐标系 xOy 中, 过椭圆 M : (Ⅰ)求椭圆 M 的方程; (Ⅱ) C , D 为 M 上的两点,若四边形 ACBD 的对角线 CD ? AB ,求四边形 ACBD 面积的最大值.

x2 y 2 2 C (实验班) 已知点 A(1, 2 ) 是离心率为 的椭圆 : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上的一点. 斜率为 2 b a 2 的直线 BD 交椭圆 C 于 B 、 D 两点,且 A 、 B 、 D 三点不重合. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;
(Ⅱ) ?ABD 的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由?
4

(Ⅲ)求证:直线 AB 、 AD 的斜率之和为定值.

5

包头一中 2015-2016 学年度第一学期期末考试 高二年级理科数学试题答案 一、A AC AB 二、13. DCCAB C A 15.x= -2;16. (?

3 ;14. -4 ; 2

3 3 , 0) ? (0, ) . 3 3

三、17.解:(1)?b cos A ? ?2c ? a ?cos(? ? B)

?sin B cos A ? (?2 sin C ? sin A) cos B ?sin? A ? B? ? ?2 sin C cos B 2? 1 ? cos B ? ? 即 B ? 3 2 1 (2)由 S ?ABC ? ac sin B ? 3 得 ac ? 4 2 2 由余弦定理得 b2 ? a 2 ? c 2 ? ac ? ?a ? c? ? ac ? 16

?a ? c ? 2 5 .
18.解:(1)分别取 AB, AF 的中点 M , H ,连结 MF , GH , DH ,则有 AG ? GM , MF ? BE .∵

1 1 MF 又∵ CD ? BE , BE ? MF ∴ CD?GH ∴四边形 CDHG 是平行四边形 2 2 ∴ CG ? DH ,又∵ CG ? 平面ADF , DH ? 平面ADF ∴ CG ? 平面 ADF . (2)如图,以 B 为原点,分别以 BC, BE, BA 所在直线为 x 轴, y 轴, z 轴建立空间直角坐标系 O ? xyz .则 A(0,0, 2), C (1,0,0), D(1,1,0), E(0, 2,0), F (0, 2,1)
AH ? HF ∴ GH ?

??? ? ??? ? ??? ? ? DE ? (?1,1,0), DA ? (?1, ?1, 2), FA ? (0, ?2,1) 设平面 ADF 的一个法向量 n ? ( x, y, z) ,则有 ? ??? ? ? ? ?x ? 3y ?n ? DA ? ? x ? y ? 2 z ? 0 ,化简,得 ? ,令 y ? 1 ,得 n ? (3,1, 2) ? ? ? ??? ?z ? 2 y ? ?n ? FA ? ?2 y ? z ? 0 ? ???? n ? DE 7 设直线 DE 与平面 ADF 所成的角 为 ? , 则有 sin ? ? ? ???? ? . 所以直线 DE 与平面 ADF 所 7 n ? DE
成的角的正弦值为 19.解:(普通班) (Ⅰ)∵ an ? Sn ? Sn?1 = n2 ? 2n ? (n ?1)2 ? 2(n ?1) ? 2n ? 1 (n ? 2) , 又 a1 ? S1 ? 3 ,满足上式,∴ an ? 2n ? 1. (Ⅱ)∵

7 . 7

1 1 1 1 ? ( ? ), (2n ? 1)(2n ? 3) 2 2n ? 1 2n ? 3
6

数列 ?

?

1 ? n 1 1 1 1 1 1 1 ? )] = . ? 的前 n 项和为: [( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( 2 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 3 3 ? 2n ? 3 ? ? an ? an ?1 ?

(实验班)(1) Sn ? 2an ? n ,得: Sn?1 ? 2an?1 ? n ? 1 , ∴ an?1 ? Sn?1 ? Sn ? 2an?1 ? 2an ? 1 ,即 an?1 ? 2an ?1 , ∴ an?1 ? 1 ? 2(an ? 1) , ∴ {an ?1} 是以-2 为首项,2 为公比的等比数列. (2)由(1)得 an ?1 ? ?2 ? 2n?1 ? ?2n ,即 an ? ?2n ? 1 , ∴ bn ? n ? 2n ∴ Tn ? 1? 21 ? 2 ? 22 ? ? ? n ? 2n ①

2Tn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? ? ? n ? 2n ?1 ②
①- ②得: ?Tn ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? n ? 2
2 n n ?1

2(2n ? 1) ? ? n ? 2n ?1 ? (1 ? n)2n ?1 ? 2 2 ?1

∴ Tn ? (n ?1)2n?1 ? 2 . 20.(普通班) 解:(Ⅰ)证明:如图,连接 AC 交 BD 于 O 点,连接 EO ,

∴AO ? CO , ∴EO∥PA , ∴ EO ? ∵四边形 ABCD 是菱形, ∵ E 为 PC 中点, ∵PA ? 平面 ABCD , 平面 ABCD ,∵ EO ? 平面 BED,∴平面 BED ? 平面 ABCD . (Ⅱ)∵四边形 ABCD 是菱形,∴AC ? BD ,∵ EO ? 平面 ABCD ,∴EO ? AC , EO ? BD ,如图, 建立空间直角坐标系 O ? xyz ,

? 1 0) . ∵y 轴⊥平面 BED , ∴平面 BED 的法向量为 u ? (0,, 设 F 为 AB 中点, 连接 CF , 菱形 ABCD ??? ? ? 3 ? 3 a , ? a , 0 的边长为 2 a ,则 CF ? AB ,∴ CF ? 平面 PAB,∴平面 PBA 的法向量为 CF ? ? ? ? 2 ?, 2 ? ? ? ? ??? 3 u ?CF 3 ? ?? ∴cos ? ? ? ??? ,∴平面 PBA 与平面 BED 所成二面角(锐角)的余弦值为 . 2 2 | u | ?| CF |

(实验班)(1 )证明:∵长方形 ABCD 中,AB= 2 2 ,AD= 2 ,M 为 DC 的中点,
7

∴AM=BM=2,∴BM⊥AM. ∵平面 ADM⊥平面 ABCM,平面 ADM∩平面 ABCM=AM,BM? 平面 ABCM ∴BM⊥平面 ADM ∵AD? 平面 ADM,∴AD⊥BM;

(2)建立如图所示的直角坐标系,设 DE ? ? DB ,则平面 AMD 的一个法向量 n ? (0,1,0) ,

????

??? ?

?

???? ? ?? ???? ???? ? ??? ? ME ? MD ? ? DB ? (1 ? ?, 2?,1 ? ?), AM ? (?2,0,0) ,设平面 AME 的一个法向 量为 m ? ( x, y, z), ?2 x ? 0 2? ,取 y=1,得 x ? 0, y ? 1, z ? , ? 1? ? ?2? y ? (1 ? ? ) z ? 0 ?? 2? 所以 m ? (0,1, ), 1 ? ? ?? ?? ? 1 m?n 5 ? ? 因为 cos ? m, n ?? ?? ,求得 ? ? , 2 | m|?| n | 5
所以 E 为 BD 的中点.

21.(普通班)(1)把 M 的纵坐标 2 代入椭圆方程 (2) ∵ 即 2a ?

8x 2 y 2 ? ? 1 得 x=±3.∴M 的横坐标为 3 或-3. 81 36

x2 y2 ? ?1, ∴焦点坐标为 F1(- 5 , 0) ,F2 ( 5 , 0) . 由椭圆定义知 MF 1 ? MF 2 ? 2a 9 4

?3 ? 5 ?

2

? 22 ?

?3 ? 5 ?

2

? 2 2 ,? 4a2 ? 60 ? a2 ? 15?b2 ? a2 ? c2 ? 10 ,故所求椭

圆的方程为 (实验班)

x2 y2 ? ?1 15 10

p ? 3 ,解得 p ? 4 ,所以抛物线 C1 的方程为: y 2 ? 8x .∴抛物线 C1 的 2 焦点 F( 2, 0) , ∵ 椭 圆 C2 的 一 个 焦 点 与 抛 物 线 C1 的 焦 点 重 合 , ∴ 椭 圆 C2 半 焦 距 c ? 2 ,
解:(1)由题意可知 1 ?

m2 ? n 2 ? c 2 ? 4 .

x2 y 2 1 2 1 ? ? 1. ,∴ ? ,解得 m ? 4 , n ? 2 3 ,∴椭圆 C2 的方程为 2 m 2 16 12 ? y ? kx ? 4, ? 2 2 (2)设 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) ,由 ? x 2 y 2 得 (4k ? 3) x ? 32kx ? 16 ? 0 , ? 1, ? ? ?16 12 1 32k 16 2 2 ∴ x1 ? x2 ? , x1 x2 ? ,由 ? ? 0 ,即 (?32k ) ? 4 ?16(4k ? 3) ? 0 ,解得 k ? 或 2 2 2 4k ? 3 4k ? 3 ??? ? ??? ? 1 k ? ? .①∵原点 O 在以线段 AB 为直径的圆的外部,则 OA ? OB ? 0 , 2 ??? ? ??? ? ∴ OA ? OB ? ( x1, y1 ) ? ( x2 , y2 ) ? x1 x2 ? y1 y2 ? x1 x2 ? (kx1 ? 4)(kx2 ? 4)
∵椭圆 C2 的离心率为
8

? (k 2 ?1) x1x2 ? 4k ( x1 ? x2 ) ?16 ? (k 2 ? 1) ?
?

16 32k ? 4k ? 2 ? 16 2 4k ? 3 4k ? 3

16(4 ? 3k 2 ) 2 3 2 3 ? 0 ,解得 ? .② ?k? 2 4k ? 3 3 3 2 3 1 1 2 3 由①②解得实数 k 的范围是 ? . ?k ?? 或 ?k? 3 2 2 3
22.(普通班)

? x12 y12 ? ? 1 (1 ) ? ? a2 b2 (Ⅰ)设 A 将 A、B 代入得到 ? 2 , (, x yB ) ,( xy ,2 ) , P ( xy ,0 ) , 1 1 2 0 2 ? x 2 ? y 2 ? 1(2 ) ? b2 ? a2 y2 ? y1 b2 x0 则(1)-(2)得到 ? ? 2 ? ,由 直线 AB: x ? y ? 3 ? 0的斜率 k=-1, x1 ? x2 a y0
b 2 x0 x 1 2 2 2 2 2 所以 ? 2 ? 得到 a ? 6,b ?3,所 ? ? 1 ,OP 的斜率为 0 ? ,所以 a2 ? 2b2 ,由 a ?b ?c a y0 y0 2
x2 y2 以 M 得标准方程为 ? ? 1. 6 3
(Ⅱ)若四边形 ABCD 的对角线 CD ? AB ,由面积公式 S ?

1 CD ? AB 可知,当 CD 最长时四边形 2 ABCD 面积最大,由直线 AB: x ? y ? 3 ? 0 的斜率 k=-1,设 CD 直线方程为 y ? x ? m ,与椭圆方



x2 y 2 4m 2m 2 ? 6 ? ? 1 联立得: 3x 2 ? 4mx? 2m2 ? 6 ? 0 , x1 ? x2 ? ? , x1 ? x2 ? , 6 3 3 3

则 CD ? 1 ? k 2 ( x ? x ) 2 ? 4 x ? x ? CD 1 2 1 2 联立直线 AB: x ? y ? 3 ? 0 与椭圆方程 同理利用弦长公式 AB ? 1 ? k AB 2

2?

72 ? 8m2 ,当 m=0 时 CD 最大值为 4 , 9

x2 y 2 ? ? 1 得 3x 2 ? 4 3x ? 0 , 6 3 4 6 , ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 ? x2 ? 3

1 8 6 . CD max ? AB ? 2 3 1 2 2 c ? 2 ? 1 , a 2 ? b2 ? c 2 (实验班)(Ⅰ)? e ? ? , 2 b a 2 a ? a ? 2,b ? 2 ,c ? 2 x2 y 2 ?1 ? ? 2 4 S ACBDmax ?

9

D B O

Y A

X

(Ⅱ)设直线 BD 的方程为 y ?

2x ? b

? y ? 2x ? b ? 4 x2 ? 2 2bx ? b2 ? 4 ? 0 ?? 2 2 ?2 x ? y ? 4

? ? ? ?8b2 ? 64 ? 0 ? ?2 2 ? b ? 2 2 b2 ? 4 2 x1 x2 ? -----② x1 ? x2 ? ? b, ----① 4 2

? BD ? 1 ? ( 2 )2 x1 ? x2 ? 3

? 64 ? 8b2 6 ? 3 ? 8 ? b2 , 4 4 2 b 设 d 为点 A 到直线 BD: y ? 2 x ? b 的距离, ? d ? 3
1 2 BD d ? (8 ? b2 )b2 ? 2 ,当且仅当 b ? ?2 时取等号. 2 4 因为 ? 2 ? (?2 2,2 2 ) ,所以当 b ? ?2 时, ?ABD 的面积最大,最大值为 2 (Ⅲ)设 D( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,直线 AB 、 AD 的斜率分别为: k AB 、 k AD ,则

? S?ABD ?

y1 ? 2 y2 ? 2 2 x1 ? b ? 2 2 x2 ? b ? 2 ? ? ? x1 ? 1 x2 ? 1 x1 ? 1 x2 ? 1 x1 ? x2 ? 2 = 2 2 ? b[ 将(Ⅱ)中①、②式代入*式整理得 ] ------* x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 x1 ? x2 ? 2 2 2 ? b[ ] =0, x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 即 k AD ? k AB ? 0

k AD ? k AB ?

10


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