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人教A版数学选修2-1《2.2.1椭圆及其标准方程》教案


2.2.1 椭圆及其标准方程
◆ 知识与技能目标 理解椭圆的概念,掌握椭圆的定义、会用椭圆的定义解决实际问题;理解椭圆标准方程 的推导过程及化简无理方程的常用的方法; 了解求椭圆的动点的伴随点的轨迹方程的一般方 法. ◆ 过程与方法目标 (1)预习与引入过程 当变化的平面与圆锥轴所成的角在变化时, 观察平面截圆锥的截口曲线 (截面与圆锥侧 面的交线) 是什么图形?又是怎么样变化的?特别是当截面不与圆锥的轴线或圆锥的母线平 行时,截口曲线是椭圆,再观察或操作了课件后,提出两个问题:第一、你能理解为什么把 圆、椭圆、双曲线和抛物线叫做圆锥曲线;第二、你能举出现实生活中圆锥曲线的例子.当 学生把上述两个问题回答清楚后,要引导学生一起探究 P41 页上的问题(同桌的两位同学准 备无弹性的细绳子一条(约 10cm 长,两端各结一个套) ,教师准备无弹性细绳子一条(约 60cm,一端结个套,另一端是活动的) ,图钉两个) .当套上铅笔,拉紧绳子,移动笔尖,画 出的图形是椭圆.启发性提问:在这一过程中,你能说出移动的笔小(动点)满足的几何条 件是什么?〖板书〗2.1.1 椭圆及其标准方程. (2)新课讲授过程 (i)由上述探究过程容易得到椭圆的定义. 〖板书〗把平面内与两个定点 F 1 , F2 的距离之和等于常数(大于 F 1 F2 )的点的轨迹 叫做椭圆 (ellipse) . 其中这两个定点叫做椭圆的焦点, 两定点间的距离叫做椭圆的焦距. 即 当动点设为 M 时,椭圆即为点集 P ? M | MF1 ? MF2 ? 2a . (ii)椭圆标准方程的推导过程 提问: 已知图形, 建立直角坐标系的一般性要求是什么?第一、 充分利用图形的对称性; 第二、注意图形的特殊性和一般性关系. 无理方程的化简过程是教学的难点,注意无理方程的两次移项、平方整理. 设参量 b 的意义:第一、便于写出椭圆的标准方程;第二、 a, b, c 的关系有明显的几何 意义.

?

?

y 2 x2 类比:写出焦点在 y 轴上,中心在原点的椭圆的标准方程 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? . a b
(iii)例题讲解与引申 例 1 已知椭圆两个焦点的坐标分别是 ? ?2,0 ? , ? 2, 0 ? ,并且经过点 ? 标准方程. 分析:由椭圆的标准方程的定义及给出的条件,容易求出 a, b, c .引导学生用其他方 法来解.

?5 3? , ? ? ,求它的 ?2 2?

另解:设椭圆的标准方程为

x2 y 2 ?5 3? ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? ,因点 ? , ? ? 在椭圆上, 2 a b ?2 2?

9 ? 25 ? 2 ? 2 ?1 ? ?a ? 10 则 ? 4a . ?? 4b b ? 6 ? ?a 2 ? b 2 ? 4 ? ?
例 2 如图,在圆 x2 ? y 2 ? 4 上任取一点 P ,过点 P 作 x 轴的垂线段 PD , D 为垂足.当点 P 在圆上运动时,线段 PD 的中点 M 的轨迹是什么? 分析: 点 P 在圆 x2 ? y 2 ? 4 上运动, 由点 P 移动引起点 M 的运动, 则称点 M 是点 P 的伴随点,因点 M 为线段 PD 的中点,则点 M 的坐标可由点 P 来表示,从而能求点 M 的 轨迹方程. 引申:设定点 A? 6,2? , P 是椭圆 程. 解法剖析:①(代入法求伴随轨迹)设 M ? x, y ? , P ? x1 , y1 ? ;②(点与伴随点的关 系)∵ M 为线段 AP 的中点,∴ ?

x2 y 2 ? ? 1 上动点,求线段 AP 中点 M 的轨迹方 25 9

? x1 ? 2 x ? 6 ;③(代入已知轨迹求出伴随轨迹) ,∵ ? y1 ? 2 y ? 2
2 2

x12 y12 ? x ? 3? ? y ? 1? 1 ? ? 1 ,∴点 M 的轨迹方程为 ? ? ;④伴随轨迹表示的范围. 25 9 25 9 4
例 3 如图,设 A , B 的坐标分别为 ? ?5,0? , ? 5, 0 ? .直线 AM , BM 相交于点 M , 且它们的斜率之积为 ?

4 ,求点 M 的轨迹方程. 9

分析:若设点 M ? x, y ? ,则直线 AM , BM 的斜率就可以用含 x, y 的式 子表示,由于直线 AM , BM 的斜率之积是 ? 的关系式,即得到点 M 的轨迹方程. 解 法 剖 析 : 设 点 M ? x, y ? , 则 k AM ?

4 ,因此,可以求出 x, y 之间 9 y ? x ? ?5 ? , x?5

y ? x ? 5? ; x?5 y y 4 ? ? ? ,化简即可得点 M 的轨迹方程. 代入点 M 的集合有 x?5 x?5 9 k BM ?

引 申 : 如 图 , 设 △ ABC 的 两 个 顶 点 A ? ?a,0 ? , B ? a,0? , 顶 点 C 在 移 动 , 且

k AC ? kBC ? k ,且 k ? 0 ,试求动点 C 的轨迹方程.

引申目的有两点: ①让学生明白题目涉及问题的一般情形; ②当 k 值在变化时, 线段 AB 的角色也是从椭圆的长轴→圆的直径→椭圆的短轴. ◆ 情感、态度与价值观目标 通过作图展示与操作,必须让学生认同:圆、椭圆、双曲线和抛物线都是圆锥曲线,是 因它们都是平面与圆锥曲面相截而得其名; 必须让学生认同与体会: 椭圆的定义及特殊情形 当常数等于两定点间距离时,轨迹是线段;必须让学生认同与理解:已知几何图形建立直角 坐标系的两个原则,及引入参量 b ?

a2 ? c2 的意义,培养学生用对称的美学思维来体现

数学的和谐美; 让学生认同与领悟: 例 1 使用定义解题是首选的, 但也可以用其他方法来解, 培养学生从定义的角度思考问题的好习惯;例 2 是典型的用代入法求动点的伴随点的轨迹, 培养学生的辩证思维方法,会用分析、联系的观点解决问题;通过例 3 培养学生的对问题引 申、分段讨论的思维品质. ◆能力目标 (1) 想象与归纳能力:能根据课程的内容能想象日常生活中哪些是椭圆、双曲线和 抛物线的实际例子,能用数学符号或自然语言的描述椭圆的定义,能正确且直 观地绘作图形,反过来根据图形能用数学术语和数学符号表示. (2) 思维能力:会把几何问题化归成代数问题来分析,反过来会把代数问题转化为 几何问题来思考,培养学生的数形结合的思想方法;培养学生的会从特殊性问 题引申到一般性来研究,培养学生的辩证思维能力. (3) 实践能力:培养学生实际动手能力,综合利用已有的知识能力. (4) 数学活动能力:培养学生观察、实验、探究、验证与交流等数学活动能力. (5) 创新意识能力:培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力,探究解决 问题的一般的思想、方法和途径. 练习:第 45 页 1、2、3、4、 作业:第 53 页 2、3、


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