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(4.3.1空间直角坐标系)课件新人教版必修2


4.3 空间直角坐标系

4.3.1 空间直角坐标系

问题提出

t

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对于直线上的点,我们可以通 过数轴来确定点的位置;对于平面 上的点,我们可以通过平面直角坐 标系来确定点的位置;对于空间中 的点,我们也希望建立适当的坐标 系来确定点的位置. 因此,如何在 空间中建立坐标系,就成为我们需 要研究的课题.

知识探究(一):空间直角坐标系

思考1:数轴上的点M的坐标用一个实 数x表示,它是一维坐标;平面上的 点M的坐标用一对有序实数(x,y) 表示,它是二维坐标.设想:对于空 间中的点的坐标,需要几个实数表 示? (x,y) y
O x x O x

思考2:平面直角坐标系由两条互相 垂直的数轴组成,设想:空间直角 坐标系由几条数轴组成?其相对位 置关系如何? 三条交于一点且两 两互相垂直的数轴

思考3:在空间中,取三条交于一点 且两两互相垂直的数轴:x轴、y轴、 z轴,组成空间直角坐标系Oxyz,在 平面上如何画空间直角坐标系?
z

∠xOy=135° ∠yOz=90°
x

O

y

思考4:在空间直角坐标系中,对三条数 轴的方向作如下约定:伸出右手,拇指 指向为x轴正方向,食指指向为y轴正方 向,中指指向为z轴正方向,并称这样 的坐标系为右手直角坐标系.那么下列 空间直角坐标系中哪些是右手直角坐标 z 系?
O

y

x

z y O x x

z y O

(1)
z x y O y

(2)
O
z

x

(3)

(4)

思考5:在空间直角坐标系Oxyz中, 其中点O叫做坐标原点,x轴、y轴、 z轴叫做坐标轴,通过每两个坐标轴 的平面叫做坐标平面,并分别称为 xOy平面、yOz平面、xOz平面.这三 个坐标平面的位置关系如何?
z

O

y

x

思考6:如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1 中,以点D为坐标原点建立空间右手 直角坐标系,那么x轴、y轴、z轴 应如何选取? z
D1 A1 D A B B1

C1
C

y

x

思考7:在空间直角坐标系Oxyz中, 三个坐标平面将空间分成几个部分?
z

y x

知识探究(二)空间直角坐标系中点的坐标

思考1:在平面直角坐标系中,点M的 横坐标、纵坐标的含义如何?
y (x,y) |x| |y| O x

思考2:在空间直角坐标系中,设点M为空 间的一个定点,过点M分别作垂直于x轴、 y轴、z轴的平面,垂足为A、B、C. 设点 A、B、C在x轴、y轴、z轴上的坐标分别 为x、y、z,那么点M的位置与有序实数 组(x,y,z)是一个什么对应关系?
z z M x x A O y x O M z C z

y

B

y x

O

M y

思考3:上述有序实数组(x,y,z) 称为点M的空间坐标,其中x、y、z 分别叫做点M的横坐标、纵坐标、 竖坐标,这三个坐标的值一定是正 数吗? z
C

M
O A

z y

x

B

y

x

思考4:x轴、y轴、z轴上的点的坐标 有何特点?xOy平面、yOz平面、xOz 平面上的点的坐标有何特点?
z

x轴上的点:(x,0,0)
O

y

x

xOy平面上的点:(x,y,0)

思考5:设点M的坐标为(a,b,c) 过点M分别作xOy平面、yOz平面、 xOz平面的垂线,那么三个垂足的坐 标分别如何?
z

B(0,b,c)
B M y A

C(a,0,c)
C O

x

A(a,b,0)

思考6:设点A(x1,y1,z1),点 B(x2,y2,z2),则线段AB的中点 M的坐标如何?
x1 + x2 y1 + y2 z1 + z2 M ( , , ) 2 2 2

理论迁移

例1 如图,在长方体OABCD′A′B′C′中,|OA|=3,|OC|=4, |OD′|=2,写出长方体各顶点的坐标.
z D′ A′ O A B′ C B y C′

x

例2 结晶体的基本单位称为晶胞,下 图是食盐晶胞的示意图(可看成是八个棱长 为0.5的小正方体堆积成的正方体),其中 色点代表钠原子,白点代表氯原子.如图建 立直角坐标系Oxyz,试写出全部钠原子所在 z 位置的坐标.

O y x

4.3.2 空间两点间的距离公式

知识探究(一):与坐标原点的距离公式

思考1:在空间直角坐标系中,坐标 轴上的点A(x,0,0),B(0,y, 0),C(0,0,z),与坐标原点O 的距离分别是什么?
z

|OA|=|x|

B

|OB|=|y|
|OC|=|z|

O
A

y

C

x

思考2:在空间直角坐标系中,设点 P(x,y,z)在xOy平面上的射影为 M,则点M的坐标是什么?|PM|,|OM| 的值分别是什么?
M(x,y,0)
z O P y x M

|PM|=|z|
| O M |= x
2

+ y

2

思考3:基于上述分析,你能得到点 P(x,y,z)与坐标原点O的距离公 式吗?
z O x

P
y M

| O P |=

x

2

+ y

2

+ z

2

思考4:在空间直角坐标系中,方程 x2+y2+z2=r2(r>0为常数)表示什么 图形是什么?
z

P
O y

x

知识探究(二):空间两点间的距离公式

在空间中,设点P1(x1,y1,z1), P2(x2,y2,z2)在xOy平面上的射影 P 分别为M、N. z
2

O x

P1 N M y

思考1:点M、N之间的距离如何?
| M N |= (x 1 - x 2 ) + (y 1 - y 2 )
2 2

思考2:若直线P1P2垂直于xOy平面, 则点P1、P2之间的距离如何?
z O x P2 P1 y

|P1P2|=|z1-z2|

思考3:若直线P1P2 是xOy平面的一条 斜线,则点P1、P2的距离如何计算?
z
P1 O y x P2

A
N

M

由图可得点P1(x1,y1,z1)与P2(x2, y2,z2)之间的距离是
| P 1 P 2 |= (x 1 - x 2 ) + (y 1 - y 2 ) + (z 1 - z 2 )
2 2 2

理论迁移

例1 在空间中,已知点A(1, 0, -1),B (4, 3, -1),求A、B两点之 间的距离. 例2 已知两点 A(-4, 1, 7)和 B(3, 5, -2),点P在z轴上,若 |PA|=|PB|,求点P的坐标.


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