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湖北省黄冈市名校2010年高三年级数学模拟试题(6)


湖北省黄冈市名校 2010 年高三年级数学模拟试题(6)
蕲春一中特级教师命制
一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.设集合 A ? {x | y ? lg(1 ? x)} ,集合 B ? { y | y ? x2 } ,则 A A. ( ??,1 ) B. (??,1] C.[ 0,1 ] B=( ) D. [0,1)

2.在 ? ABC 中已知 2 sin A cos B ? sin C ,那么 ? ABC 一定是( ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.正三角形 D.等腰直角三角形 3.某校在高二年级开设选修课,其中数学选修课开三个班,选课结束后,有四位同学要求改修 数学,但每班至多可再接收 2 位同学,那么不同的分配方案有( ) A.72 种 B.54 种 C.36 种 D.18 种

x2 y2 4.方程 ? ? 1 所表示的曲线是( ) sin(192010 )0 cos(192010 )0
A.双曲线 C.焦点在 y 轴上的椭圆 B.焦点在 x 轴上的椭圆 D.以上答案都不对

5.已知向量 a ? (1, n), b ? (m ? n, m)(m ? 0, n ? 0) ,若 a ? b ? 1,则 m ? n 的最小值为( ) A. 2 B. 2 ? 1
2 2

C. 3 ? 1

D. 3

6.设直线 x ? ky ? 1 ? 0 被圆 O: 则曲线 M 与直线 x-y-1=0 x ? y ? 2 所截弦的中点的轨迹为 M, 位置关系为( ) A.相离 B.相切 B. (?4, 0) C.相交 C. (?4, 4) D.不确定 D. (??, ?4)

7.若关于 x 的方程 x | x ? a |? a 有三个不相同的实根,则实数 a 的取值范围为( ) A. (0, 4)

(4, ??)

?x ? 3y ? 7 ? 0 ? 8.已知实数 x,y 满足约束条件 ? x ? 1 则|y-x|的最大值是( ) ?y ?1 ?
A.3 B.4 C.

3 2 2

D. 2 2

9.已知复数 z ?

2 ? 4i 1 的实部与虚部分别是等差数列 {an } 的第二项与第一项,若 bn ? 1? i an ? an ?1
n ??

数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn,则 lim Tn =(



A.

1 4

B.

1 2

C.

2 3

D.1

10.如图,在正四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中,AA1=2,AB=1,M、N 分别在 AD1,BC 上移动,并 始终保持 MN//DCC1D1,设 BN=x,MN=y,则函数 y=f(x)的图象大致是( ) D1 C1 y y y y A1 x D A 7 8 9 M D N B 10 C

B1

O A

x

O B

x

O C

x

O

题号 答案

1

2

3

4

5

6

二、填空题:本大题共 5 小题,每题 5 分,共 25 分。

( ? 6) ? 11. 已 知 随 机 变 量 ? 服 从 正 态 分 布 N ( (1, ? 2 ) , 且 P(? ? ? 2)? P ? P( ? 4 ? ? ? 4 ) ?


0. 2008 ,则

12.设 ? , ? 均为钝角, sin ? ?

5 3 10 ,则 ? ? ? = , cos ? ? ? 5 10


13.已知 (1 ? 2x)10 ? a0 ? a1 x ? a2 x2 ???? ? a9 x9 ? a10 x10 则 10a1 ? 9a2 ???? ? a10 ? 14.已知 O 为原点,从椭图

x2 y 2 ? ? 1 的左焦点 F1 引圆 x2 ? y 2 ? 4 的切线 FT 1 交椭圆于点 100 4


P 之间,M 为线段 F1 P 的中点,则 | MO | ? | MT | 的值为 P,切点 T 位于 F 1、
15.给出下列命题: ①函数 f ( x) ? sin x? | sin x | ( x ? R) 的最小正周期是 2? ; ②已知函数 f ( x) ? ?

?a cos x, x ? 0
2 ? x ? 1, x ? 0

在 x ? 0 处连接,则 a ? ?1 ;

?1 ③函数 y ? f ( x) 与 y ? 1 ? f (1 ? x) 的图象关于直线 x ? y ? 1 ? 0 对称;

④将函数 y ? tan(? x ?

)(? ? 0) 的图象按向量 a ? ( , 0) 平移后,与函数 y ? tan(? x ? ) 4 6 6 1 的图象重合,则 ? 的最小值为 ,你认为正确的命题有: 。 6
三、解答题(共 75 分)

?

?

?

?PBA ? ? . ?APB ? 90 , ?BPC ? 45 , 16.如图, B 为 ?APC 的边 AC 上的一点, 且 AB=BC=a,
(1)求 tan ? 的值; (2)求 PA ? PC 的值. C B 17.口袋里装有大小相同的 4 个红球和 8 个白球,甲、乙两人依规则从袋中有放回地摸球,每 次摸出一个,规则如下:①若一方摸出一个红球,则此人继续进行下一次摸球;若一方摸出 一个白球,则改换为由对方进行下一次摸球;②每一个摸球彼此相互独立,并约定由甲开始 进行第一次摸球,求在前三次的摸球中: ①乙恰好摸到一个红球的概率; ②甲至少摸到一个红球的概率; ③甲摸到红球的次数 ? 的分布列及数学期望. 18.如图,在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中, ?BAC ? 90 , AB=a,AC=2,AA1=1,点 D 在棱 B1C1 上且 B1D:DC1=1:3 (1)证明:无论 a 为任何正数,均有 BD ? A1C; (2)当 a 为何值时,二面角 B—A1D—B1 为 60 B1 A C A1 D C1 A P

B 19.设函数 f ( x) ? ? x ? 2mx ? m x ? 1 ? m (其中 m ? ?2 )的图象在 x=2 处的切线与直线
3 2 2

y=-5x+12 平行. (1)求 m 的值; (2)求函数 f ( x ) 在区间[0,1]的最小值;

(3)若 a ? 0, b ? 0, c ? 0 且 a ? b ? c ? 1 ,试根据上述(1) (2)的结论证明

a b c 9 ? ? ? 2 2 2 1? a 1? b 1? c 10

20.在直角坐标平面中, ?ABC 的两个顶点的坐标分别为 A(?

7 7 a, 0), B( a, 0)(a ? 0) , 7 7

两动点 M、N 满足 MA ? MB ? MC ? 0,| NC |? 7 | NA |? 7 | NB | ,向量 MN 与 AB 共线. (1)求 ?ABC 的顶点 C 的轨迹方程; (2)若过点 P(0,a)的直线与(1)的轨迹相交于 E、F 两点,求 PE ? PF 的取值范围. (3)若 G(-a,0) ,H(2a,0) ,? 为 C 点的轨迹在第一象限内的任意一点,则是否存在常数 ? (? ? 0) ,使得 ?QHG ? ??QGH 恒成立?若存在,求出 ? 的值;若不存在,请说明理由.

21.已知数列 {an } 满足 a1 ? (1)求 a2 、 a3 、 a4 ;

1 (n ? 1)(2an ? n) , an ?1 ? (n ? N ? ) 2 an ? 4n

(2) 是否存在实数 t, 使得数列 ? 请说明理由; (3)记 bn ?

?an ? tn ? ? 是公差为 ?1 的等差数列,若存在求出 t 的值,否则, ?an ? n ?
2 3 ?1 . 12

1 3
n?2 2

(n ? N ? ) 数列 {bn } 的前 n 项和为 Sn,求证: Sn ? ?

? an? 2

2010 届高考数学试题参考答案(理)
1—10 DBBCC CDABC

11.0.7992 16.(1)

12.

7? 4

13. ?20

14. 10 ? 2 23

15.①②

?APB ? 90 , AB ? a, ?PBA ? ? ,

? PB ? a cos ? .
又在 ? BPC 中,BC=a, ?BPC ? 45 ,??BCP ? ? ? 45 ,

?

a PB a a cos ? , ? ,? ? sin 45 sin(? ? 45 ) sin 45 sin(? ? 45 )

?sin 45 cos? ? sin(? ? 45 ) .
? sin ? ? 2 cos ? . tan ? ? 2. ???????????????(6 分)
2 2 (2)由(1)知 sin ? ? 2 cos ? ,又 sin ? ? cos ? ? 1

? sin ? ?

2 5 5 , cos ? ? . 5 5 2 5a 5a , PB ? a cos ? ? . 5 5 5a , 5

? PA ? a sin ? ?

在 ?BPC 中, BC ? a, PB ?

? PC 2 ? a 2 ? (

5a 2 5a 8a 2 2 10a ) ? 2a ? cos(? ? ? ) ? ,? PC ? . 5 5 5 5 2 5a 2 10a 2 4a 2 ? ? (? )?? .?????? (10 分) 5 5 2 5

从而 PA ? PC ?| PA | ? | PC | cos135 ?

17. 解 : 记 “ 甲 摸 球 一 次 摸 出 红 球 ” 为 事 件 A “ 乙 摸 球 一 次 摸 出 红 球 ” 为 事 件 B , 则

P ( A) ? P( B) ?

4 1 2 ? , P ( A) ? P( B) ? 且 A,B 相互独立.????????(2 分) 4?8 3 3

(1)乙恰好摸到一个红球的概率为

1 2 1 2 1 2 2 P ? ? ? ? ? ? (4 分) 1 ? P( A ? A ? B) ? P( A ? B ? B) ? 3 3 3 3 3 3 9
(2)因为甲在前三次摸球中,没有摸到红球的概率为

2 1 2 14 P ? P( A ? B) ? P( A ? B ? A) ? ? ? ( )3 ? ,所以甲至少摸到一个红球的概率为 3 3 3 27 14 13 P2 ? 1 ? P ? 1 ? ? ??????????????????????????(6 分) 27 27
(3)根据题意, ? 的可能取值为 0,1,2,3,其中

2 1 2 14 P(? ? 0) ? P( A ? B) ? P( A ? B ? A) ? ? ? ( )3 ? , 3 3 3 27 1 2 2 1 10 P(? ? 1) ? P( A ? A) ? P( A ? B ? A) ? ? ? ( ) 2 ? ? , 3 3 3 3 27 1 2 2 1 3 1 P(? ? 2) ? P( A ? A ? A) ? ( ) 2 ? ? , P(? ? 3) ? P( A ? A ? A) ? ( ) ? 。 3 3 27 3 27
故 ? 的分布列为

?
P

0

1

2

3

14 27

10 27

2 27

1 27

?????????????????????????????????(9 分) 数学期望 E? ? 0 ? 分)

14 10 2 1 17 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? . ??????????????( 10 27 27 27 27 27

18. ( 1 ) 以 A 为 坐 标 原 点 , 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 A — xyz ( 如 图 ), 则

3 1 a 1 D( a, ,1), A1 (0, 0,1), B(a, 0, 0), C (0, 2, 0), BD ? ( ? , ,1), A1C ? (0, 2, ?1) , 4 2 4 2 a 1 BD ? A1C ? (? , ,1) ? (0, 2, ?1) ? 0 , 4 2
? A1C.?????????????????????(5 分) ? BD ? AC 1 ,即 BD
故无论 a 为任何正数,均有 BD ? A1C.????????????????(6 分) (2) A1 D ? ( a, , 0), A1 B ? (a, 0, ?1) ,

3 4

1 2

3 1 ? ?n ? A1D ? ax ? y ? 0 4 2 设平面 A1BD 的一个法向量为 n =(x,y,z),则 n ? A , 1D , n ? A 1B ,故 ? ?n ? A B ? ax ? z ? 0 ? 1
3 ? 1 3 ? y ? ? ax 即? 2 ,取 n ? ( , ? ,1) . a 2 ? ? z ? ax
又平面 A1B1D 的一个法向量为 m ? (0,0,1) ???????????????(8 分)

? cos m, n ?

m?n ? | m|?| n |

1 1 3 ( ) 2 ? (? ) 2 ? 1 a 2

?

1 1 13 ? a2 4



结合图形知 m, n 与二面角 B—A1D—B1 相等,即 m, n ? 60 ,?

1 1 13 ? a2 4

?

1 , 2

解得 a ?

2 3 , 3 2 3 时,二面角 B—A1D—B1 为 60 .???????????????(12 分) 3

故当 a ?

19.(1)因为 f ?( x) ? ?3x2 ? 4mx ? m2 ,所以 f ?(2) ? ?12 ? 8m ? m2 ? ?5 , 解得 m ? ?1 或 m ? ?7 (舍) ,即 m ? ?1 . (2)由 f ?( x) ? ?3x2 ? 4 x ?1 ? 0 ,解得 x1 ? 1, x2 ? 列表如下:

1 . 3


x
f ?( x )
f ( x)

0

(0, —

1 ) 3

1 3

1 ,1) 3
+

1

2

最小值

50 27

2

所以,函数 f ( x ) 在区间[0,1]的最小值为 f ( ) ?

1 3

50 . 27

(3)因为 f ( x) ? ? x3 ? 2 x2 ? x ? 2 ? (1 ? x2 )(2 ? x) ,由(2)知,当 x ? [0,1] 时,有不等式

(1 ? x 2 )(2 ? x) ?

50 1 27 x 27 ? (2 ? x), 即 ? (2 x ? x 2 ). ,所以 2 2 27 1? x 50 1? x 50

当 a ? 0, b ? 0, c ? 0 ,且 a ? b ? c ? 1 时, 0 ? a ? 1, 0 ? b ? 1, 0 ? c ? 1 , 所以

a b c 27 27 ? ? ? [2(a ? b ? c) ? (a 2 ? b 2 ? c 2 )] ? [2 ? (a 2 ? b 2 ? c 2 )]. 2 2 2 1? a 1? b 1? c 50 50

又因为 (a ? b ? c)2 ? a2 ? b2 ? c2 ? 2ab ? 2bc ? 2ca ? 3(a2 ? b2 ? c2 ) ,

1 . 3 a b c 27 1 9 ? ? ? (2 ? ) ? 故 . 2 2 2 1? a 1? b 1? c 50 3 10 1 当且仅当 a ? b ? c ? 时,取等号. 3
所以 a ? b ? c ?
2 2 2

20.(1)设 C(x,y) ,由 MA ? MB ? MC ? 0 知,? M 是 ?ABC 的重心,? M ( , ). 又 | NA |?| NB | 且向量 MN 与 AB 共线,? N 在边 AB 的中垂线上,? N (0, ). 而 | NC |? 7 | NA | ,? x ?
2

x y 3 3

y 3

4 2 a2 y2 y2 y ? 7( ? ) ,即 x 2 ? ? a2 . 9 7 9 3

(2)设 E( x1 , y1 ) 、F( x2 , y2 ) ,过点 P( 0, a )的直线方程为 y ? kx ? a ,代入 x ?
2

y2 ? a2 3

得 (3 ? k 2 ) x2 ? 2akx ? 4a2 ? 0 ,?? ? 4a2 k 2 ? 16a2 (3 ? k 2 ) ? 0 ,即 k ? 4.
2

? k 2 ? 3 ? 1,?

4 4 ? 4或 2 ? 0. k ?3 k ?3
2

? x1 ? x2 ?

2ak ?4a 2 , x x ? . 1 2 3? k2 3? k2 ?4a 2 (1 ? k 2 ) 3? k2

? PE ? PF ? ( x1 , y1 ? a) ? ( x2 , y2 ? a) ? x1 x2 ? kx1 ? kx2 ? (1 ? k 2 ) x1 x2 ?
? 4a 2 (1 ? 4 ) ? (??, 4a 2 ) (20a 2 , ??). k ?3
2

(3)设 Q ( x0 , y0 )( x0 ? 0, y0 ? 0) ,则 x0 ?
2

2 y0 2 2 2 ? a 2 ,即 y0 ? 3( x0 ? a0 ). 3

当 QH ? x 轴时, x0 ? 2a, y0 ? 3a,?? QGH= 当 QH 不垂直 x 轴时, tan ? QHG ? ?

? ,即 ? QHG=2QGH,故猜想 ? ? 2. 4

y0 y , tan ? QGH= 0 , x0 ? 2a x0 ? a

2 y0 x0 ? a y0 2 tan ?QGH ? tan 2? QGH= ?? ? tan ?QHG. = x0 ? 2a 1 ? tan 2?QGH 1 ? ( y0 ) 2 x0 ? a
又 2 ? QGH 与 ? QHG 同在 (0,

?

故存在 ? ? 2 ,使 2 ? QGH= ? QHG 恒成立.

) ( , ? ) 内,? 2 ? QGH= ? QHG. 2 2

?

21. (1)

a1 ?

1 (n ? 1)(2an ? n) , an?1 ? , 2 an ? 4n

3 8 ? a2 ? 0, a3 ? ? , a4 ? ? .????????????????????????(3 分) 4 5

(n ? 1)(2an ? n) ? t (n ? 1) an ?1 ? t (n ? 1) an ? tn an ? 4 n a ? tn ? ? ? n (2) (n ? 1)(2an ? n) an ?1 ? n ? 1 an ? n an ? n ? n ?1 an ? 4n

?

(t ? 2)an ? (4t ? 1)n an ? tn t ? 1 ? ? , 3an ? 3n an ? n 3

? a ? tn ? t ?1 的等差数列. ? 数列 ? n ? 是公差为 3 ? an ? n ?
由题意,知

t ?1 ? ?1 ,得 t ? ?2. ??????????????????(7 分) 3

(3)由(2)知

an ? 2n a1 ? 2 ? ? (n ? 1) ? (?1) ? ?n , an ? n a1 ? 1

? n 2 ? 2n , ???????????????????(9 分) 所以 an ? n ?1
此时 bn ?

3

n?2 2

1 ?n ? 3 1 1 1 ? ? [ ? ], 2 n?2 n?2 ?(n ? 2) ? 2(n ? 2) ( 3) (n ? 2)n 2 ( 3) (n ? 2) ( 3) n n ? n?3

1 1 1 1 1 ? Sn ? [ ? ? ? ? 2 ( 3)3 ? 3 3 ( 3) 4 ? 4 ( 3) 2 ? 2 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? ] 5 3 n?2 ( 3) ? 5 ( 3) ? 3 ( 3) ? ( n ? 2) ( 3) n ? n

1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 ?1 ? [? ? ? ? ] ? ? (? ? )?? . n ?1 n?2 2 12 3 6 ( 3) ? (n ? 1) ( 3) ? (n ? 2) 2 3 6
故 Sn ? ? 分)

2 3 ?1 . ??????????????????????????????(14 12



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