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上海市华东师范大学第二附属中学创新班和理科班用高三数学学案:第五章 三角比 5.3 同角三角比的关系

§ 5.3 同角三角比的关系和诱导公式 我们知道,角 ? 的六个三角比都是用其终边上一点的坐标来定义的,从中可以发现六个三角 比之间存在着一定的关系: (1)倒数关系: sin ? ? csc ? ? 1 , cos ? ? sec ? ? 1 , tan ? ? cot ? ? 1 . (2)商数关系: tan ? ? sin ? cos ? , cot ? ? . cos ? sin ? (3)平方关系: sin 2 ? ? cos 2 ? ? 1 , 1 ? tan 2 ? ? 1 , 1 ? cot 2 ? ? csc2 ? . 以上这些关系式都是恒等式,即当 ? 取使关系式的两边都有意义的任意值时,关系式两过的 值都相等. 当知道了角 ? 的一个三角比,可由上面的同角三角比的关系求出角 ? 的其他三角比,同 样当知道了角 ? 的一个三角比,能否求出与角 ? 有特殊关联的角的三角比呢 ? 如 2 kπ ? ? , π 3 ? ? , π ? ? , ? k ? Z ? 等.这就是诱导公式要解决的问题: 2 2 (1) 2 kπ ? ? (以下 k ? Z )的诱导公式: π ? ? , ?? , sin ? 2kπ ? ? ? ? sin ? , cos ? 2kπ ? ? ? ? cos ? , tan ? 2kπ ? ? ? ? tan ? , cot ? 2kπ ? ? ? ? cot ? 这组诱导公式可根椐终边重合的角的同名三角比相等(都存在)来证明. (2) ?? 的诱导公式: sin ? ?? ? ? ? sin ? , cos ? ?? ? ? cos? , tan ? ?? ? ? ? tan ? , cot ? ?? ? ? ? cot ? . 证明:因为角 ? 和 ?? 的终边关于轴对称,在角 ? 的终边上取一点 P ,使 OP ? 1 ,则点 P sin ? ? ,点 P 关于轴的对称点 P? ? cos ? , -sin ? ? 一定在角 ?? 的终边上,且 的坐标为 ? cos ? , OP? ? 1 ,所以点 P? 的坐标又可表示为 P? ? cos ? ?? ? , sin ? ?? ?? ,因此有 sin ? ?? ? ? ? sin ? , cos ? ?? ? ? cos? ,再由商数关系得 tan ? ?? ? ? ? tan ? , ? cot ? ?? ? ? ? cot ? . (3) π ? ? 的诱导公式: sin ? π ? ? ? ? ? sin ? , cos ? π ? ? ? ? ? cos? , tan ? π ? ? ? ? tan ? , cot ? π+? ? ? cot ? . 证明:将角 ? 的终边绕着原点 O 按逆时针方向旋转弧度,得到角 π ? ? 的终边,显然角 ? 和角 π ? ? 终 边 关 于 原 点 对 称 . 在 角 ? 的 终 边 上 取 一 点 P , 使 OP ? 1 , 则 点 P 的 坐 标 为 n ? ,因为点 P 关于原点的对称点 P? 在角 π ? ? 的终边上,所以点 P? 的坐标为 ? c o s? , s i? ?? ? ? cos? ,? sin 也 可 以 是 n? ? ? ? ?c o? πs? ? ? ,s i? π , 所 以 sin ? π+? ? ? ? sin ? , cos ? π ? ? ? ? ? cos? ,再由商数关系得 tan ? π ? ? ? ? tan ?? , cot ? π ? ? ? ? cot ? . (4) π ? ? 的诱导公式: 证明:只须在上一组诱导公试中的 ? 换成 ?? 就可得证. 例 1.已知 sin ? ? m ,求目的其余五个三角比的值. 解: (1)当的终边在轴上时 cot ? , csc ? 不存在, tan ? ? 0 . 当的终边在轴正半轴时, cos ? ? 1 , . 当的终边在轴负半轴时, cos ? ? ?1 , sec ? ? ?1 . (2)当的终边在轴上时, tan ? , sec ? 不存在, cot ? ? 0 , cos ? ? 0 , csc? ? (3)当的终边在一、四象限时, m cos? ? 1 ? m2 , tan ? ? 1 ? m2 sec ? ? 1 1 ? m2 1 m , cos ? ? 1 ? m2 1 , cot ? ? m m (4)当的终边在二、三象限时, m cos? ? ? 1 ? m2 , tan ? ? ? 1 ? m2 sec ? ? ?1 1 ? m2 , csc? ? 1 ? m2 1 , cot ? ? ? m m 例 2.化简: sin3 ? ?1 ? cot ? ? ? cos3 ? ?1 ? tan ? ? . 解: sin3 ? ?1 ? cot ? ? ? cos3 ? ?1 ? tan ? ? sin ? ? ? cos ? ? ? 3 = sin 3 ? ?1 ? ? ? cos ? ?1 ? ? sin ? ? ? ? cos ? ? = sin3 ? cos ? ? sin ? sin ? ? cos ? ? cos3 ? sin ? cos ? = sin 2 ? ? cos? ? sin ? ? ? cos2 ? ? cos ? ? sin ? ? = ? cos? ? sin ? ? sin2 ? ? cos2 ? = cos ? ? sin ? 例 3.证明: cos? ? 2sec? ? tan ? ?? sec? ? 2 tan ? ? ? 2cos? ? 3tan ? . sin ? ?? 1 2sin ? ? ? 2 ? ? 证明:左边 ? cos ? ? ?? ? ? cos ? cos ? ?? cos ? cos ? ? ? ? = = = 1 ? 2 ? si

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