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2013年北京市顺义区高三二模数学理科含答案


北京市顺义区 2013 届高三第二次统练
数学试卷(理工类)
一、选择题.共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题所列出的四个选项中,选出符 合题目要求的一项. 1.已知集合 A ? ?x ? R ? 3 ? x ? 2?, B ? x ? R x 2 ? 4 x ? 3 ? 0 ,则 A ? B ? A. ?? 3,1? 3 ? 2i ? 2.复数 1? i 1 5 A. ? i 2 2 B. ?? 3,1?

?

C. ?1,2?

?

D. ?? ?,2? ? ?3,???

1 5 ? i D. ? 2 2 ?? 2 ? 3? ? 3.在极坐标系中,直线 l 的方程为 ? sin?? ? ? ? ,则点 A? 2, 4? 2 ? 4 ? 离为

B.

1 5 ? i 2 2

C. ?

1 5 ? i 2 2

? ? 到直线 l 的距 ?

2 2 C. 2 ? 2 2 4.执行如图所示的程序框图,输出的 s 值为 A. ? 10 B. ? 3 C.4 D.5
A. 2 B. 5.已知数列 ?an ? 中, an ? ?4n ? 5 ,等比数列 ?bn ? 的 公 比 q 满 足 q ? an ? an?1 ?n ? 2? , 且 b1 ? a 2 , 则

D. 2 ? 开始
k ? 1, s ? 1

2 2

k ? k ?1 k ? 5?

b1 ? b2 ? ?? bn ?
A. 1 ? 4 1 ? 4n C. 3
n



s ? 2s ? k

B. 4 ? 1 4n ? 1 D. 3
n

否 输出 s

? x ? 2 y ? 2, ? 结束 6.设变量 x, y 满足约束条件 ?2 x ? y ? 4, 则 2 3 x? y ?4 x ? y ? ?1 ? 的取值范围是 ? 2 1? ? 2 ? ?1 ? ? 1 ? , ? ,64? A. ? B. ? ,64? C. ? D. ? ,2 2 ? ?2 ? ? 64 ? ? 4 2? ? 4 ? 7.已知正三角形 ABC 的边长为 1,点 P 是 AB 边上的动点,点 Q 是 AC 边上的动点,

且 AP ? ? AB, AQ ? ?1 ? ? ?AC, ? ? R ,则 BQ? CP 的最大值为 3 3 3 3 A. B. ? C. D. ? 2 8 2 8 8.设 m, n ? R ,若直线 l : m x ? ny ? 1 ? 0 与 x 轴相交于点 A ,与 y 轴相交于点 B ,且坐 标原点 O 到直线 l 的距离为 3 ,则 ?AOB 的面积 S 的最小值为

高三数学(理工类)试卷

第 1 页(共 12 页)

A.

1 2

B.2

C.3

D.4

二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在题中的横线上)

1? ? 9. ? x ? ? 的展开式中含 x 5 的项的系数为 x? ?

9

(用数字作答).
1 ? , ?B ? , b ? 5 ,则 3 4

10.设 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且 cos A ?
sin C ?

, ?ABC 的面积 S ?

.

11.如图,已知圆中两条弦 AB 与 CD 相交于点 F, E 是 AB 延长线上一点,且 DF ? CF ? 2 , AF ? 2BF , 若 CE 与圆相切,且 CE ?

D A F BE C

7 ,则 BE ? 2

.

12.一个几何体的三视图如图所示,若该几何体的表 面积为 92m2,则 h ? m. h

正(主)视图 5

侧(左)主视图

4

2 俯视图 13. 已 知 双 曲 线
x y 2 6 ? 2 ? 1?a ? 0, b ? 0? 的 离 心 率 为 ,顶点与椭圆 2 3 a b
2 2

x2 y2 ? ? 1 的焦点相同,那么该双曲线的焦点坐标为 8 5

,渐近线方程

为 . 14.设定义在 R 上的函数 f ?x ? 是最小正周期为 2? 的偶函数, f ?? x ? 是 f ?x ? 的导函 ? ?? ? 数.当 x ? ?0, ? ? 时, 0 ? f ?x ? ? 1 ;当 x ? ?0, ? ? 且 x ? 时, ? x ? ? f ??x ? ? 0 .则函数 2 2? ? y ? f ?x ? ? cos x 在 ?? 3? ,3? ? 上的零点个数为 .

高三数学(理工类)试卷

第 2 页(共 12 页)

三、解答题(本大题共 6 小题,满分 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步 骤) 15.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ?x ? ?

?

?? ? (I)求 f ? ? 的值; ?3? (II)求函数 f ?x ? 的最小正周期及单调递减区间.

3 cos x ? sin x sin 2 x 1 ? . 2 cos x 2

?

16.(本小题满分 14 分) 如 图 , 在 长 方 体 ABCD? A1 B1C1 D1 中, AA1 ? AD ? 1 , E 为 CD 的中点, F 为 AA 的中点. 1 (I)求证: AD1 ? 平面 A1 B1 E ; (II)求证: DF // 平面 AB1 E ; (III)若二面角 A ? B1 E ? A1 的大小为 ? 45 ,求 AB 的长.

A1 B1
F

D1 C1

A
E

D

17.(本小题满分 13 分) 为增强市民的节能环保意识,某市面向全市征召义务宣传志愿者.从符合条件 的 500 名志愿者中随机抽取 100 名志愿者,其年龄频率分布直方图如图所示,其中 年龄分组区间是: ?20,25?, ?25,30?, ?30,35?, ?35,40?, ?40,45? . (I)求图中 x 的值并根据频率分布直方图估计这 500 名志愿者中年龄在 ?35,40? 岁的人数; (II)在抽出的 100 名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取 20 名参加中心 广场的宣传活动,再从这 20 名中采用简单随机抽样方法选取 3 名志愿者担任主要 负责人.记这 3 名志愿者中“年龄低于 35 岁”的人数为 X ,求 X 的分布列及数学 期望.
频率/组距 0.07 x

B

C

0.04 0.02 0.01 O 20 25 30 35 40 45 年龄/岁

高三数学(理工类)试卷

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18.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ?x ? ? (I)若 x ?
ex ,其中 a 为正实数, e ? 2.718 ? . 1 ? ax2

1 是 y ? f ?x ?的一个极值点,求 a 的值; 2

(II)求 f ?x ? 的单调区间.

19.(本小题满分 14 分) 已知椭圆 C :
x2 y2 ? 2 ? 1?a ? b ? 0? 的两个焦点分别为 F1 , F2 ,且 F1 F2 ? 2 ,点 P a2 b

在椭圆上,且 ?PF1 F2 的周长为 6. (I)求椭圆 C 的方程; (II)若点 P 的坐标为 ?2,1? ,不过原点 O 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A, B 两点,设线段
AB 的 中 点 为 M , 点 P 到 直 线 l 的 距 离 为 d , 且 M , O, P 三 点 共 线 . 求

12 13 2 2 AB ? d 的最大值. 13 16

20.(本小题满分 13 分) 已 知 函 数 f ?x? ? 2aex ? 1, g ?x? ? ln x ? ln a ? 1 ? ln 2 , 其 中 a 为 大 于 零 的 常 数, e ? 2.718 ? ,函数 y ? f ?x ? 的图像与坐标轴交点处的切线为 l1 ,函数 y ? g ?x ? 的 图像与直线 y ? 1 交点处的切线为 l 2 ,且 l1 // l 2 . (I)若在闭区间 ?1,5? 上存在 x 使不等式 x ? m ? x f ?x? ? x 成立,求实数 m 的取 值范围; (II) 对 于 函 数 y ? f ?x ? 和 y ? g ?x ? 公 共 定 义 域 内 的 任 意 实 数 x0 , 我 们 把

f ?x0 ? ? g?x0 ? 的值称为两函数在 x0 处的偏差.求证:函数 y ? f ?x ? 和 y ? g ?x ? 在其
公共定义域内的所有偏差都大于 2.

高三数学(理工类)试卷

第 4 页(共 12 页)

顺义区 2013 届高三第二次统练
数学试卷(理工类)参考答案 一、ABBA BCDC 二、9.36 10.
4 ? 2 100 ? 25 2 , 6 9

11.

1 2

12.4

13. ? 2 2 ,0 , y ? ?

?

?

15 x 3

14.6

?? ? 三、15.解:(I) f ? ? ? ?3?

? ? ? ? 3 cos ? sin 3 3 ?

2? ? ? sin 1 3 ? ? ? 2 2 cos 3

? 1 3? 3 ? 3? ? ?? ? ? 2 2 2 ? 1 ?? ? 1 2 2? 2 1 ? 0? 2 1 ? .???????????????????????4 分 2 ? (II) cos x ? 0 ,得 x ? k? ? ?k ? Z ? 2

? ? ? 故 f ?x ? 的定义域为 ? x ? R x ? k? ? , k ? Z? . 2 ? ?
因为 f ?x ? ?

?

3 cos x ? sin x sin 2 x 1 ? 2 cos x 2

?

? sin x 3 cos x ? sin x ?

?

?

1 2

?

3 1 sin 2 x ? sin 2 x ? 2 2 3 1 ? cos 2 x 1 sin 2 x ? ? 2 2 2 3 1 sin 2 x ? cos2 x 2 2

?

?

高三数学(理工类)试卷

第 5 页(共 12 页)

?? ? ? sin? 2 x ? ? , 6? ?
所以 f ?x ? 的最小正周期为 T ?
2? ??. 2

? 3? ? ? 因为函数 y ? sin x 的单调递减区间为 ?2k? ? ,2k? ? ?k ? Z? , 2 2 ? ? ?
由 2k? ? 得 k? ?

?
2

? 2x ?

?
6

? 2k? ?

?
6

? x ? k? ?

2? ? , x ? k? ? ?k ? Z ? , 3 2

3? ? , x ? k? ? ?k ? Z ? , 2 2

? ??? ? 2? ? ? 所以 f ?x ? 的单调递减区间为 ?k? ? , k? ? ?, ? k? ? , k? ? ?k ? Z? . 6 2?? 2 3 ? ? ?
???????????????????????13 分 16.(I)证明:在长方体 ABCD? A1 B1C1 D1 中, 因为 A1 B1 ? 平面 A1 ADD1 , 所以 A1 B1 ? AD1 . 因为 AA1 ? AD , 所以四边形 ADD1 A1 为正方形, 因此 AD1 ? A1 D , 又 A1 B1 ? A1 D ? A1 , 所以 AD1 ? 平面 A1 B1 D . 又 A1 B1 // CD ,且 A1 B1 ? CD , 所以四边形 A1 B1CD 为平行四边形. 又 E 在 CD 上, 所以 AD1 ? 平面 A1 B1 E . ???????????????????????4 分 (II)取 AB1 的中点为 N ,连接 NF . 因为 F 为 AA1 的中点,所以 NF //
1 1 A1 B1 且 NF ? A1 B1 , 2 2
第 6 页(共 12 页)

高三数学(理工类)试卷

因为 E 为 CD 的中点,所以 DE ? 而 CD // A1 B1 ,且 CD ? A1 B1 ,

1 CD , 2

所以 NF // DE ,且 NF ? DE , 因此四边形 NEDF 为平行四边形, 所以 DF // EN ,而 EN ? 平面 AB1 E , 所以 DF // 平面 AB1 E . ???????????????????????9 分 (III)如图,以 A 为坐标原点,建立空间直角坐标系 A ? xyz ,设 AB ? a ,
?a ? 则 A?0,0,0?, D?0,1,0?, D1 ?0,1,1?, E? ,1,0 ?, B1 ?a,0,1? , ?2 ? ?a ? 故 AD1 ? ?0,1,1?, AB1 ? ?a,0,1?, AE ? ? ,1,0 ? . ?2 ?

由(I)可知 AD1 ? 平面 A1 B1 E , 所以 AD1 是平面 A1 B1 E 的一个法向量. 设平面 AB1 E 的一个法向量为 z

n ? ?x, y, z ? ,
则 n ? AB1 ? 0, n ? AE ? 0 ,

A1 B1
F N

D1 C1

?ax ? z ? 0, ? 所以 ? a ?2 x? y ? 0 ?
a 令 x ? 1 ,则 y ? ? , z ? ? a , 2

y

A
x

a ? ? 所以 n ? ?1,? ,?a ? . 2 ? ?

E

D

B

C

设 AD1 与 n 所成的角为 ? ,则
n ? AD1 n AD1 a ?a 2 . a2 2 1? ? a2 4 ?
高三数学(理工类)试卷 第 7 页(共 12 页)

cos? ?

?

因为二面角 A ? B1 E ? A1 的大小为 45? ,
3a 2 2 1? 5a 2 4

所以 cos? ? cos45? ,即

?

2 , 2

解得 a ? 1 , 即 AB 的长为 1.???????????????????????14 分 17.解:(I)∵小矩形的面积等于频率, ∴除 ?35,40? 外的频率和为 0.70,
?x ? 1 ? 0.70 ? 0.06 .?????????????????????3 分 5

500 名志愿者中,年龄在 ?35,40? 岁的人数为 0.06 ? 5 ? 500 ? 150 (人). (II)用分层抽样的方法,从中选取 20 名, 则其中年龄“低于 35 岁”的人有 12 名, “年龄不低于 35 岁”的人有 8 名. 故 X 的可能取值为 0,1,2,3,

P? X ? 0 ? ?

3 C8 14 , ? 3 285 C20

1 C12 C82 28 , P? X ? 1? ? ? 3 95 C20 2 1 C12 C8 44 , P? X ? 2 ? ? ? 3 95 C 20

P? X ? 3? ?

3 C12 11 , ? 3 C20 57

故 X 的分布列为
X P

0
14 285

1
28 95

2
44 95

3
11 57

所以 EX ? 0 ?

14 28 44 11 171 ? 1? ? 2? ? 3? ? . 285 95 95 57 95

???????????????????????13 分

高三数学(理工类)试卷

第 8 页(共 12 页)

18.解: f ??x ? ? (I)因为 x ?

?ax

2

?1 ? ax ?

? 2ax ? 1 e x
2 2

?

.

1 是函数 y ? f ?x ? 的一个极值点, 2

?1? 所以 f ?? ? ? 0 , ?2?
1 a ? a ?1 ? 0 , 4 4 解得 a ? . 3 4 1 4 经检验,当 a ? 时, x ? 是 y ? f (x) 的一个极值点,故所求 a 的值为 . 3 3 2 ???????????????????????4 分

因此

(II) f ??x ? ?

?ax

2

?1 ? ax ?

? 2ax ? 1 e x
2 2

? ?a ? 0?

令 f ??x? ? 0 得 ax2 ? 2ax ? 1 ? 0 ??①
2 (i)当 ? ? ?? 2a? ? 4a ? 0 ,即 a ? 1 时,方程①两根为

2a ? 4a 2 ? 4a a ? a2 ? a a ? a2 ? a . x1 ? ? , x2 ? 2a a a
此时 f ?? x ? 与 f ?x ? 的变化情况如下表:

x
f ?? x ? f ?x ?

2 ? ? ? ?, a ? a ? a ? a ?

? ? ? ?

a ? a2 ? a a

? a ? a2 ? a a ? a2 ? a ? , ? a a ?

? ? ? ?

a ? a2 ? a a

? a ? a2 ? a ? ? ,?? ? ? ? a ? ?

?


0 极大值

— ↘

0 极小值

?


? a ? a2 ? a 所以当 a ? 1 时, f ?x ? 的单调递增区间为 ? ? ?, ? a ?

? ? ? a ? a2 ? a ?,? ,?? ? ; ? ? ? a ? ? ?

? a ? a2 ? a a ? a2 ? a , f ?x ? 的单调递减区间为 ? ? a a ?

? ?. ? ?

(ii)当 ? ? 4a 2 ? 4a ? 0 时,即 0 ? a ? 1 时, ax2 ? 2ax ? 1 ? 0 , 即 f ??x? ? 0 ,此时 f ?x ? 在 ?? ?,??? 上单调递增.

高三数学(理工类)试卷

第 9 页(共 12 页)

所以当 0 ? a ? 1 时, f ?x ? 的单调递增区间为 ?? ?,??? . ???????????????????????13 分 19.解:(I)由已知得 2c ? 2 且 2a ? 2c ? 6 , 解得 a ? 2, c ? 1, 又 b2 ? a 2 ? c2 ? 3 ,
x2 y2 ? ?1. 所以椭圆 C 的方程为 4 3

???????????????????????3 分 (II)设 A?x1 , y1 ?, B?x2 , y2 ? . 当直线 l 与 x 轴垂直时,由椭圆的对称性可知,点 M 在 x 轴上,且与 O 点不重合, 显然 M , O, P 三点不共线,不符合题设条件. 故可设直线 l 的方程为 y ? kx ? m?m ? 0? .

? y ? kx ? m, 由? 2 消去 y 整理得 3x ? 4 y 2 ? 12 ?

?3 ? 4k ?x
2

2

? 8kmx? 4m2 ? 12 ? 0 .?????????????????①

则 ? ? 64k 2 m 2 ? 4 3 ? 4k 2 4m 2 ? 12 ? 0 ,
8km ? ? x1 ? x 2 ? ? 3 ? 4k 2 , 4km 3m ? ? 所以点 M 的坐标为 ? ? , ? 2 2 2 ? 3 ? 4k 3 ? 4k ? x x ? 4m ? 12 ? 1 2 3 ? 4k 2 ?

?

??

?

? ?. ?

因为 M , O, P 三点共线,所以 k OM ? k OP , 因为 m ? 0 ,所以 k ? ?
3 , 2
2

3m ? 2km ? , 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2

? x1 ? x 2 ? m, ? 此时方程①为 3x ? 3m x ? m ? 3 ? 0 ,则 ? ? 3 12 ? m ? 0 , ? m2 ? 3 x1 x 2 ? ? 3 ?
2

?

2

?

所以 AB ? ? x 2 ? x1 ? ? ? y 2 ? y1 ?
2 2

2

? 1 ? k 2 ?x1 ? x2 ? ? 4x1 x2
2

?

??

?
第 10 页(共 12 页)

高三数学(理工类)试卷

?

13 12 ? m 2 , 12

?

?

又d ?

8 ? 2m 32 ? 2 2

?

2m? 4 13

,

?m ? 4? ? ? 3 ? m ? 4 ? ? 52 , 12 13 2 2 所以 AB ? d ? 12 ? m 2 ? ? ? 13 16 4 4? 3? 3

?

?

2

2

4 12 13 2 52 2 ? ? 2 3 ,0 时, AB ? d 的最大值为 . 3 3 13 16 ???????????????????????13 分

故当 m ? ?

?

?

20.解:(I)函数 y ? f ?x ? 的图像与坐标轴的交点为 ?0,2a ? 1? , 又 f ??x? ? 2aex ,? f ??0? ? 2a . 函数 y ? g ?x ? 的图像与直线 y ? 1 的交点为 ?2a,1? , 又 g ?? x ? ?
1 1 ,? g ??2a ? ? . x 2a 1 1 ,? a 2 ? , 由题意可知, 2a ? 2a 4 1 又 a ? 0 ,所以 a ? .????????????????????3 分 2

不等式 x ? m ? x f ?x? ? x 可化为 m ? x ? x f ?x? ? x , 即 m ? x ? xex .

? 1 ? 令 h?x? ? x ? x e x ,则 h??x ? ? 1 ? ? ? x ?e x , ? ? ?2 x ?
? x ? 0,? 1 2 x ? x ? 2.

又 x ? 0 时, e x ? 1 ,

? 1 ? ?? ? x ?e x ? 1 , ? ? ?2 x ?
故 h??x ? ? 0 ,

? h?x ? 在 ?0,??? 上是减函数,
即 h?x ? 在 ?1,5? 上是减函数,

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第 11 页(共 12 页)

因此,在闭区间 ?1,5? 上,若存在 x 使不等式 x ? m ? x f ?x? ? x 成立, 只需 m ? h?1? ? 1 ? e , 所以实数 m 的取值范围是 ?? ?,1 ? e? .?????????????8 分 (II)证明: y ? f ?x ? 和 y ? g ?x ? 公共定义域为 ?0,??? ,由(I)可知, a ?
? f ? x ? ? g ? x ? ? e x ? ln x .

1 . 2

令 q?x ? ? e x ? x ? 1,则 q??x? ? e x ? 1 ? 0 ,

? q?x ? 在 ?0,??? 上是增函数,
故 q?x? ? q?0? ? 0 ,即 e x ?1 ? x .① 令 m?x? ? ln x ? x ? 1 ,则 m?? x ? ?
1 ?1, x

当 x ? 1 时, m??x? ? 0 ;当 0 ? x ? 1 时, m??x ? ? 0 ,

? m?x ? 有最大值 m?1? ? 0 ,因此 ln x ?1 ? x .②
由①②得 e x ? 1 ? ln x ? 1 ,即 e x ? ln x ? 2 . 又由①得 e x ? x ? 1 ? x , 由②得 ln x ? x ? 1 ? x ,
? e x ? ln x ,

? f ?x? ? g?x? ? e x ? ln x ? 2 ,
故函数 y ? f ?x ?和 y ? g ?x ? 在其公共定义域内的所有偏差都大于 2.

高三数学(理工类)试卷

第 12 页(共 12 页)


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