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4.3.1 空间直角坐标系


4.3.1 空间直角坐标系 学习目标 主要概念: 空间直角坐标系----从空间某一个定点 O 引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴 Ox、Oy、 Oz,这样的坐标系叫做空间直角坐标系 O-xyz,点 O 叫做坐标原点,x 轴、y 轴、z 轴叫做坐标 轴。 坐标平面----通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为 xOy 平面、yOz 平面、zOx 平 面。 空间直角坐标系中的坐标----对于空间任一点 M,作出 M 点在三条坐标轴 Ox 轴、Oy 轴、Oz 轴上的射影,若射影在相应数轴上的坐标依次为 x、y、z,则把有序实数对(x, y, z)叫做 M 点在此空 间直角坐标系中的坐标,记作 M(x, y, z),其中 x 叫做点 M 的横坐标,y 叫做点 M 的纵坐标,z 叫 做点 M 的竖坐标。 教材分析 一、重点难点 本节教学重点是建立空间直角坐标系,难点是用空间直角坐标系刻画点的位置和根据点的位置 表示出点的坐标。 二、教材解读 本节教材的理论知识有问题提出、知识探求、思考交流三个板块组成。 第一板块 问题提出 解读 借助平面直角坐标系,我们 类比于平面直角坐标系的建立。通过具体情境,如要 就可以用坐标表示平面上任意一 确定教室内所挂电灯的位置,一方面发现用平面直角坐标 点的位置,那么空间的点如何表 系不能再确定点的位置,需要第三个坐标,拓宽了思维空 示呢? 间;另一方面感受建立空间直角坐标系的必要性。 第二板块 知识探求 解读 如何建立空间直角坐标系? 1、在平面直角坐标系的基础上,通过原点再增加一 根竖轴,就成了空间直角坐标系。 2、如无特别说明,本书建立的坐标系都是右手直角 坐标系。 3、空间直角坐标系象平面直角坐标系一样,有“三 要素”:原点、坐标轴方向、单位长度。 4、在平面上画空间直角坐标系 O-xyz 时,一般使 ?xOy ? ?xOz ? 135? , ?yOz ? 90 ,且使 y 轴和 z 轴 ? 第三板块 思考交流 1、为什么空间的点 M 能用 有序实数对(x, y, z)表示? 的单位长度相同,x 轴上的单位长度为 y 轴(或 z 轴)的单位 长度的一半,即用斜二测的方法画。 解读 设点 M 为空间直角坐标系中的一点,过点 M 分别作 垂直于 x 轴、y 轴、z 轴的平面,依次交 x 轴、y 轴、z 轴 于 P、Q、R 点,设点 P、Q、R 在 x 轴、y 轴、z 轴上的坐 标分别是 x、y 和 z,那么点 M 就有唯一确定的有序实数组 (x, y, z);反过来,给定有序实数组(x, y, z),可以在 x 轴、 y 轴、z 轴上依次取坐标为 x、y 和 z 的点 P、Q 和 R,分别 过 P、Q 和 R 点各作一个平面,分别垂直于 x 轴、y 轴、z 轴,这三个平面的唯一的交点就是有序实数组(x, y, z)确定 的点 M。 拓展阅读 如果把坐标法理解为通过某一特定系统中的若干数量来决定空间位置的方法,那么战国时代魏 人石申用距度(或入宿度)和去极度两个数据来表示恒星在天球上位置的星表,可以说是一种球面 坐标系统的坐标法。古希腊的地理学家和天文学家也广泛地使用球面坐标法。西晋人裴秀(223- 271)提出“制图六体”,在地图绘制中使用了相当完备的平面网络坐标法。 用坐标法来刻划动态的、连结的点,是它沟通代数与几何而成为解析几何的主要工具的关键。 阿波罗尼在<<圆锥曲线论>>中,已借助坐标来描述曲线。十四世纪法国学者奥雷斯姆用“经度” 和“纬度”(相当于纵坐标和横坐标)的方程来刻划动点的轨迹。十七

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